高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義數(shù)列概念及等差數(shù)列

1、數(shù)列概念及等差數(shù)列.【課標(biāo)要求】.數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法；通過(guò)日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種 簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)；.通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式；.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的 問(wèn)題。體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.【命題走向】數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個(gè)客觀性題目和 一個(gè)解答題。對(duì)于本將來(lái)講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、 通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等基本知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對(duì)基本的計(jì)算技能要 求比較高預(yù)測(cè)2010

2、年高考：.題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識(shí)的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決 生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題的解答題；.知識(shí)交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問(wèn)題聯(lián)系的 綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題.【要點(diǎn)精講】.數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作 為 ,在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng) （或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號(hào)為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作an ;數(shù)列的一般形式：a1,%，93,，a:，簡(jiǎn)記作 nh(2)通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式 表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通

3、項(xiàng)公式例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式是an= n (n 7, ne N十)，數(shù)列的通項(xiàng)公式是an =1n (nN說(shuō)明：心表示數(shù)列，8表示數(shù)列中的第n項(xiàng)，an= f(n)表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯-1,n =2k -1 (-1)n= , 1,n =2k(k Z)；不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如， 1, 1.4,1.41, 1.414,(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示:序號(hào)：123456項(xiàng)：456789上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的 映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集 N+ (或它的有限子集)的 函數(shù)f(n)當(dāng)自變量n從1開(kāi)始依次取

4、值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值f(1)，f(2)，f (3)，f(n),.通常用an來(lái)代替f(n),其圖象是一群孤立點(diǎn)。(4)數(shù)列分類(lèi)：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列； 按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列(5)遞推公式定義：如果已知數(shù)列 G”的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)小與它的前一項(xiàng)黑。(或前幾項(xiàng))問(wèn)的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式2.等差數(shù)列(1)等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公 差，公差通常用字母d表示。

5、用遞推公式表示為anan=d(n22)或an+-an=d(n 河。(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an =& +(n-1)d ；說(shuō)明：等差數(shù)列(通?？煞Q(chēng)為AP數(shù)列)的單調(diào)性：d0為遞增數(shù)列，d=0為常數(shù)列，d 0為遞減數(shù)列。(3)等差中項(xiàng)的概念:定義：如果a, A, b成等差數(shù)列,A =那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。其中a, A, b成等差數(shù)列e(4)等差數(shù)列的前n和的求和公式:Snng an)n(n -1)二 na1 d四.【典例解析】題型1:數(shù)列概念(2009安徽卷文)已知J為等差數(shù)列，%+/+出二姬的+4+緯=為,則與等于A. -1B. 1C. 3D.7【解析】:a1+a3+a5=105 即.=

6、105 .a3=35同理可得a4=33 .公差 d =a4a3=-2.a20 =a4 十20 -4)xd =1.選 B【答案】B2.根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式：1, 3, 5, 7； TOC o 1-5 h z 22 一132 -142 -152 -1，丁，丁1111-1*2 , 2*3 , -3*4 , 4*5。2n(n 1) -1(-1)解析：(1) an=2n-1；(2) an= n+1;(3) an = n(n+1)0點(diǎn)評(píng)：每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)到另一個(gè)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這對(duì)考生的歸納推理能力有較高的要求n例2.數(shù)列an中，已知n -1(n N )一2_一二

7、1010-1 _ 109a10332 22n n -1 n4n2 -1an2 一 3 一 3792 nT(2)令33,解方程得n =15，或 n = -16(1)寫(xiě)出/, an書(shū)，an2 ；(2)3是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？n n T /an =(n N )解析：(1) V 3_(n+1 2 +(n+1 )7 n2 +3n+1 an 133.792匚N+，；n=l5,即3為該數(shù)列的第15項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會(huì)判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬 題型2:數(shù)列的遞推公式例3.如圖，一粒子在區(qū)域(x,y)1x0,y20上運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(0,1),接著按圖中箭頭所示方向在x軸、

8、y軸及其平行方向上運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度(1)設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn) A &、Cn時(shí)，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為an、bn、Cn ,試 寫(xiě)出hbn、Cn的通相公式；(2)求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(16,44)時(shí)所需的時(shí)間；(3)粒子從原點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)2004秒后，它所處的坐標(biāo),0解析：(1)由圖形可設(shè)A(10)，入(2,0)1人60),當(dāng)粒子從原點(diǎn)到達(dá)4時(shí), 明顯有a 33,a2 = a1 1,a3 = a1 12 = a1 3 4,a4 - a3 1,a5 = a3 20 = a3 5 4,a6 = a5 1,a2n J. = a2n 總. (2n 1) 4,a2n = a2n 1 1,- a2

9、n,=ai +43+5+|+(2n1) _4n2 -1 ,2a2n =%口 +1 =4n o2b2nl =a2n 1 -2(2n -1) =4n -4n 1 ,2,b2n =a2n 2 2n =4n 4n。GnLbzn j(2n-1) =4n2 -2n =(2n-1)2 (2n-1) ,c2n =a2n 2n =4n2 2n =(2n)2 (2n) ,2即 cn =nn0(2)有圖形知，粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(16,44)時(shí)所需的時(shí)間是到達(dá)點(diǎn)C44所經(jīng)過(guò)得時(shí)間。44再加(4416) =28秒，2所以 t=44 +44 + 28 =2008 秒。.-180172 c1三n三(3)由=n n 200

10、4,解得2,取最大得n=44,經(jīng)計(jì)算，得 備=19802, n 匚 N), 22aL =4 an =4 2(n -L) =2n 2. an=2n+2 ,或烝7232,即該密碼的第一個(gè)數(shù)確定的方法數(shù)是L,其余每個(gè)數(shù)都有 正”或負(fù)兩種確定方法，當(dāng)每個(gè)數(shù)確定下來(lái)時(shí)，密碼就確定了，即確定密碼的方法數(shù)是29=512種，故，這種密碼共5侵 種. 16分0點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的思路是先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來(lái)處理。例6.在某報(bào)自測(cè)健康狀況的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi)。年的（捫30既404550606 b收靠壓水褪柱毫米J1101.1512

11、012S130US()14S舒嵌壓水翻柱7C73757880&3)8&答案：140 85解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，照此規(guī)律，60歲時(shí)的收縮壓和舒張壓分別為140; 85.點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查了如何把實(shí)際生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn) 題的能力.它不需要技能、技巧及繁雜的計(jì)算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識(shí)，有效地把 數(shù)學(xué)過(guò)程實(shí)施為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。題型4:等差數(shù)列的概念例7.設(shè)&是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且&=n2,則a/是（）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是

12、等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列答案：B;5(n=1)1 (n = 1)二an =解法一：an=Sn-SnA(n 之 2)2n一1 (n 之 2).an=2n1 (nCN)an 1 _ 2n 1又an+1 an=2為常數(shù)，an2n-1 w常數(shù)an是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.解法二：如果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識(shí)，以及靈活運(yùn)用遞 推式an=SnSn1的推理能力.但不要忽略a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活口例8.設(shè)數(shù)列an、bn、cn滿(mǎn)足：=即一明也，品=an + 2an5+ 3an攵(n

13、= 1,2,3,九證明：an為等差數(shù)列的充分必要條件是cn為等差數(shù)列且bnbn書(shū) (n=1,2,3,證明：1 ：必要性：設(shè)數(shù)列七是公差為&的等差數(shù)列，則：bn+ -bn = (an +一烝 一 (an 一第七)=(七書(shū)-an) - (an y-an )-d1_ d1_0(.bn -bn+ (n=1,2,3, 成立；又 Cn +一Cn (an 書(shū)an ) + 2(an -12anH) + 3(an-l3an42 ) =61(常數(shù))(n = 12 3),數(shù)列Cn為等差數(shù)列。2充分性：設(shè)數(shù)列Cn是公差為d2的等差數(shù)列，且bnh書(shū)(n=1,2,3, )；.cn =an *2an 書(shū) + 3a n -2

14、 . .()Cnl2 一 an 七十 2%七 .3% 七.1)一得：cn- Cn2 -(an_an 2)2(an 1 -an3)3(an 2 _ an4)bn2bn13bn2 cn - cn 2 - (cn _ cn 1)(cn 1 _ cn 2) = -2d2bn +2bn+ +3bn* = 2d?.從而有+ 2bn 書(shū) + 3bn 書(shū)=一22 .得:(bn+ - bn) +2(bn-t - bn 書(shū))+3(0 書(shū) - bn 攵)=。. (bn1bn )- 0bn2bn1 - 0bn3，一 bn2 ,二 0, ， ， ，由得：bn+bn =0 (n=1,2,3,九由此，不妨設(shè) bn =d3

15、(n=1,2,3, )；則 an -an42 = d3 (常數(shù))故cn =an +2an書(shū) +3an也=4an +2an由 _3d3.從而 cn書(shū)=4an書(shū) +2an電-3d3 =4an由 +2an 5d3.得. cn 由一 cn = 2(an 由- an) - 2d31 ,、,1 ,.an 1 -an )(cn 1 -g) 3 =亞 dg 心(n=1,2,3, )；故22(常數(shù)) 數(shù)列an為等差數(shù)列。綜上所述：an為等差數(shù)列的充分必要條件是cn為等差數(shù)列且bn bn書(shū)(n=1,2,3, )-6證法二：令 A = a n+1- a n,由 b n& b n+1 知a n - a n+2& a

16、n+1- a n+3。從而a n+1- a na n+3 - a n+2,即AiAi+2 (n=1,2,3,)由 c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+Mmc n+1-c n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2),即An+2Al+1+3An+2=d2.由此得 TOC o 1-5 h z An+2+2An3+3An+2=d2.-得(An-An+2)+2(A n+1 A n+3)+3(A n+2 A n+4)=0因?yàn)?An-An+20, An+1- An+3,

17、An+2- A n+40所以由得 A-An+2=0(n=1,2,3,)。于是由得4An+2An+i=A+i+2An+2+3A+2=&從而2An+4An+i=4An+i +2An+2=d2由和得 4A+2An+i=2A+4A+i,故An+1= An,即a n+2- a n+i= a n+i- a n(n=1,2,3,),所以數(shù)列a n是等差數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時(shí)積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果題型5:等差數(shù)列通項(xiàng)公式 例9. (2009天津卷文)已知等差數(shù)列 an的公差d不為0,設(shè)Sn =ai +a2q *anqTn =ai -a2q(-1)n4a

18、nqnJ, q - 0, n - N*q = 1,a1 = 1, S3 = 15(i)若,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(n)若& 二d,且,&,&成等比數(shù)列，求q的值。、十門(mén)口2dq(1 - q2n)q 豐 1,證明(1 q) S2n -(1 +q)T2n =2(m)若i-q(1)解：由題設(shè),S3 =a +(a +d)q +(a1 +2d)q2,將q =1,a =1 =15代入解得d =4 ,所以an = 4n _3 n W N *2 ,(2)解.當(dāng) ai =d，Si =d，S2 = d 2dq,S3 = d 2dq 3dq , Si,S2, S3成等比數(shù)列 所 TOC o 1-5 h z 2cc以

19、 S2 =SS3,即(d+2dq) =d (d+2dq+3dq ),注意到 d #0,整理得 q = -2n i(3)證明：由題設(shè)，可得 bn =q ，則22ndS2n =ai+a2q+a3q + a2nq任2T2n =ai -a2q a3q2n 1a2nq電-得，_,32n、S2n T2n =2(azq a4q ，-a2nq )+得,2S2nT2n = 2(aiqa3q.2n_2.a2n/q)式兩邊同乘以q ,得 q(S2n +T2n) = 2(a1q +a3q2 + +a2nq2n)(i -q)S2n所以32n 2dq(i -q 2n )一(i q)T2n =2d(q . q q )=-2

20、- q、r Ci(3)證明：-C2= (ak - a,)bi(ak-ai)b2(akai)bn2i2nn_(ki -li)db1 (k2 -l2)dbq (kn -ln)db1qn4因?yàn)閐 bi二0,所以C C2n i-=(i) (k2 -l2)q(kn -ln)qdbi若 kn 01n , Bi=n ,i 1 M j n若 kn =ln ,取 i 滿(mǎn)足 ki #li ,且 kj lj ,由(1) (2)及題設(shè)知，1 i Wn ,且C1 - C2n _1C1-2 =出-1i) (k2 -l2)q (kn -ln)qdbi當(dāng) ki L 時(shí)ki -li - -1 由 q 父 n K L w q 1

21、i =1,2，i 1即 k1 -I1 q -1 (k2 -l2)q 1時(shí)，同理可得db1綜上，C1=C2n項(xiàng)和等基本知【考點(diǎn)定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問(wèn)題的能力已知等比數(shù)列Xn的各項(xiàng)為不等于1的正數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足ynl Ox陰=2(a 0,a =1),設(shè) y3 = 18, y6 = 12。(1)求數(shù)列%的前多少項(xiàng)和最大，最大值為多少?(2)試判斷是否存在自然數(shù)M,使當(dāng)nM時(shí)，Xn 1恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M,若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;令為=logxn xn書(shū)(n 13,nE N),試判斷數(shù)列%的增減性?解：(1)由已知

22、得:yn=210gaXn 設(shè)等比數(shù)列Xn的公比為q(q W1)Xn 1yn 1 -Yn =2(1oga Xn 1 -loga Xn) = 21oga二21ogaq由Xn得外為等差數(shù)列，設(shè)公差為dy3 = 18, y6 = 12d= 2;yn =y3 (n-3)d =24-2ny12 = 011 k 1,則 a12-nl當(dāng)a1時(shí)，n 12,顯然不成立； 當(dāng)。ca12n -11n -12. .存在 M=12, 13, 14,， 當(dāng) nM 時(shí)，Xn112 -n 12 _(n 1) TOC o 1-5 h z 10gx Xn 1 =1ogaa(3)an=nn -10an 1 - an =n -11:二

23、 0n -11 _-1n -12 (n -11)(n -12).an由an； n *3時(shí)數(shù)列an為遞減數(shù)列點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)求通項(xiàng)公式，最終通過(guò)通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問(wèn)題，屬于綜合性的題目，解題過(guò)程中注意觀察規(guī)律題型6:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例11. (1)若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列有(A.13項(xiàng)B.1額C.11 項(xiàng)D.10(2)設(shè)數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,則它11C. 8D, 93(a1 +d) =34，3d + 3d(n-2)=146n(n -1)da1n+ 2- = 390-2的首項(xiàng)是( TOC o

24、 1-5 h z A.1B.2C.4D.6_31S6(3)設(shè)&是等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，若S6 = 3 ,則&2 =()31A. 10B. 3解析：(1)答案：A設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng):3 2S =3a1 + d r=Sn S- =3a1 +3nd -6dQ 0 n+ n(n-1)Sn -a1n- d2. n=13(2)答案：BS3前二項(xiàng)和為 12,a1 + a2+ a3= 12, a2= 3 =4a1 a2,a3= 48,m = 4, .a1a3 = 12,a + a3= 8,把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且a1-(1 + 2-1 )與J2n+1 的大小.取 n=1,有(1+1) 1 +1 ,1取n

25、=2,有(1+1) (1 + 3 ) .2 2 +1 ,11由此推測(cè)(1+1) (1 + 3)(1+2n-1) 厲干.1若式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：Sn 2 lgbn+10 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明式。(i)當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證式成立。(ii)假設(shè)當(dāng) n=k (k 1)時(shí)，式成立，即(1+1) (1 + 3).(i + 2k-1).2k 1111那么，當(dāng)2=卜+1時(shí),(1+1) (1+3)(1+2k-1)1+2(k + 1)-1 J2ki1 2k 1 (1 + 2k +1)= 2k +1 (2k+2)2k 12k 1 (2k+2) 2- ( - 2k 3)24k2 8k 4-(4k2 8k 3)

26、12k 1- 2k 12k 1 (2k 2). 2k 3 = 2(k 1) 1.2k =11因而11(1 1)(1) (1)(13 2k -112k 1).2(k-1)1.這就是說(shuō)式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由(i), (ii)知式對(duì)任何正整數(shù)n都成立.1由止匕證得：S 2 lgbn+1。評(píng)述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用， 對(duì)一些綜合性的問(wèn)題要先理清思路再行求解題型7:等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式例13. (1)設(shè)an (nCN)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且&S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(A.dS5D.S6與S7均為6的最大值(2)等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則

27、它的前3m項(xiàng)和為 ) TOC o 1-5 h z A.130B.170C.210D.260解析：(1)答案：C;由 SsS6得a1+a2+a3+a50,又S6=&, . a+a2+a6=a1+a2+%+a7,a7=0,由 S7Ss,得a8S5,即 a6+a7+a8+a90= 2 (a7+as) 0,由題設(shè)a7=0, a80,顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。(2)答案：Cma1+mmTd=30 TOC o 1-5 h z J。八 2ma1 2m(2m 1)d =100 解法一：由題意得方程組I2,4010(m 2)d 三 -2 ,a1二2402 m= 210o視m為已知數(shù)，解得mmS3m =3ma3何3、辦

28、10叫 2) 3m(3) 2m22解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b1,第m+1到2m項(xiàng)之和為b2,第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3,則b1，b2, b3也成等差數(shù)列。于是 b=30, b2=10030=70,公差 d=70 30=40。;b3=b2+d=70+40=110.,前 3m項(xiàng)之和 S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取 m=1,貝Ua1=S=30, a2=S2 Si=70,從而d=a2a1=40。于是 a3=a2+d=70+40=110. . S3=ai+a2+a3=210。點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問(wèn)題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問(wèn)題，等比數(shù)列也有類(lèi)

29、似性質(zhì) .解法三中，從題給 選擇支獲得的信息可知，對(duì)任意變化的自然數(shù)m,題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無(wú)關(guān) 的不變量，在含有某種變化過(guò)程的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用不變量的思想求解，立竿見(jiàn)影。例 14.在 XOW 面上有一點(diǎn)列 Pi (ai, bi), P2 (a2, b2),Pn (an, bn),a對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000 ( 10) x (0a10=的圖象上，且點(diǎn)Pn、點(diǎn) (n, 0)與點(diǎn)(n+1, 0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。(I )求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(H )若對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,以bn, bn+1, bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的 取值范圍；(m)(理)設(shè)

30、Bn=b1, b2 - bn (nCN).若a取(H )中確定的范圍內(nèi)的最小整 數(shù)，求數(shù)列 0的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)口(文)設(shè)ch=lg (bn) (nCN).若a取(H )中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列5前多少項(xiàng)的和最大？試說(shuō)明理由。解析：.解：(I)由題意，an = n+2 ,bn=2000 ( 10)20a(H)二.函數(shù) y=2000 ( 10)x (0abn+1bn + 2則以bn, bn+1, bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是 bn+2 + bn+1 bn ,即(10)2+(10-1)0,解得 a5 (下1), 5 (下-1) a10.(m)(理)v 5 (卡-1) a2, Bn

31、=bnBn 1于是當(dāng) bn1 時(shí)，BnBn 1,當(dāng) bn1 時(shí)，Bn1且bn + 11,得 n0 20.8,bn = 2000 ( 10 )(文): 5(-1) a0,且品+10,得n0 20.8,20。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列 的有關(guān)知識(shí)，及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法 .五.【思維總結(jié)】.數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)：(1)數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集 N (或它的有限子集1,2,3,，n,)上的函數(shù)f (n),當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值: f (1), f (2), f (3),，f (n),。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點(diǎn)構(gòu)成的。(2)對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列 的各項(xiàng)；根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí) 中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)的變化情況， 分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾 項(xiàng)的分解中.哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)的