初一上學(xué)期數(shù)學(xué)之有理數(shù)與數(shù)軸

1、有理數(shù)與數(shù)軸*模塊一有理數(shù)基本概念示例剖析4正數(shù)：1, 2.5, 一，3負(fù)數(shù)：-1 -5 ,2一個(gè)數(shù)字前面的” 號(hào)叫做它的符號(hào).正數(shù)前而的+ ”可以省略，注 意3與+3表示是同一個(gè)正數(shù).譬如：用正數(shù)表示向南，那么向 北3km可以用負(fù)數(shù)表示為-3km正數(shù)：像3、1、+0.33等的數(shù)，叫做正數(shù).在小學(xué)學(xué) 過的數(shù)，除0外都是正數(shù).正數(shù)都大于0.負(fù)數(shù)：像-1、-3.12. 、-2008等在正數(shù)前加上 5“-”（讀作負(fù)）號(hào)的數(shù)，叫做負(fù)數(shù).負(fù)數(shù)都小于0.0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).用正、負(fù)數(shù)表示根反啟乂矽墾：如果正數(shù)表示某種意義，那么負(fù)數(shù)表示它的相反的意 義，反之亦然.“相反意義的雖”包括兩個(gè)方而的含意：一

2、是相反意 頭;二是相反意義的基礎(chǔ)上要有量.有理數(shù)：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).正整數(shù)零 負(fù)整數(shù) 正分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)正整數(shù) 正分?jǐn)?shù)有理數(shù)（按定義分類人整數(shù)、分?jǐn)?shù)有理數(shù)（按符號(hào)分類）零自然數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)：1, 2, 10,負(fù)整數(shù)：一3, -6, -15,7正分?jǐn)?shù)：1.5, 0.3,負(fù)分?jǐn)?shù)：W , -3.25 , -1.62,注：（I）正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)：（2）負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)：（3）正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)：負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù).夯實(shí)基礎(chǔ)【例1】（!）下列各組量中，具有相反意義的量是（）A 節(jié)約汽油10升和浪費(fèi)糧食IOkg向東走8公里和向北走8公里收入300元和支岀100元D身髙180Cm和

3、身髙90Cm 規(guī)定向前.收入為正，后退、支出為負(fù)，那么下而四個(gè)語句中錯(cuò)誤的是（）A.前進(jìn)-18米的意義是后退18米B-4萬元的意義是虧損4萬元收入的相反意義是支出后退一4米的意義是前進(jìn)4米如果零上5C記作+5C,那么零下5C記作（）A-5B. -10C. -5CD-IOoC 如果水位升髙4m時(shí)水位變化記作Mm,那么水位下降3m記作m,水位不升不降時(shí)水位變化記作m 甲.乙兩地的海拔髙度分別為200米，-150米，那么甲地比乙地髙岀（）A. 200 米B. 50 米C. 300 米D. 350 米 學(xué)而思飲料公司生產(chǎn)的一種瓶裝飲料外包裝上印有60030（ml）字樣,請(qǐng)問60030ml 是什么含義？

4、質(zhì)檢局對(duì)該產(chǎn)品抽査5瓶，容雖:分別為6O3ml, 61 Iml,589ml, 573ml, 627nl,問抽査產(chǎn)品的容量是否合格？,/能力提升亠葷gn（7）在下表適當(dāng)?shù)目崭窭锎蛏稀癡”號(hào).整 數(shù)分 數(shù)正數(shù)負(fù)整 數(shù)數(shù)非負(fù) 數(shù)非負(fù)整 數(shù)無理 數(shù)0-1.514+0.6230.3i兀9【例2】（1） 一種零件的長(zhǎng)度在圖紙上是（20：盂）米，表示這種零件加工要求最大 不超過粒最小不小于米.（北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)）1是（）A.最小的整數(shù) B.最小的正整數(shù)C.最小的自然數(shù) D.最小的有理數(shù)-4.5, 6, 0, 2.4, , 一丄，-O.3i3, 34, -11 以上各數(shù)中2 屬于負(fù)數(shù)，屬于非正數(shù)，屬于

5、非負(fù)有理數(shù).在15, -二，0.15, -30, -12.8,二中，負(fù)分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是（）85A1B. 2C. 3D4(人大附中期中)瘵舁模塊二數(shù)軸QI示例剖析數(shù)軸：規(guī)左了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線.1-1I0I1A(I)原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度稱為數(shù)軸的三要素，畫數(shù)軸的常見錯(cuò)誤：=者缺一不可.11(2)單位長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位是兩個(gè)不同的概念，前23A沿右用占者指所取度量單位的長(zhǎng)度，后者指所取度量單位的名稱，即單位長(zhǎng)度是一條人為規(guī)泄的代表“1”的線段，這條線段可長(zhǎng)可短，按實(shí)際情況來規(guī)泄，同一I數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度一旦確泄，則不能再改變.012(3)數(shù)軸的畫法沒有正方向畫一條水平的直線：在這條直線上適當(dāng)位苣

6、取一實(shí)心點(diǎn)作為原1I-,A占234沒有原點(diǎn)確左向右的方向?yàn)檎较?，用箭頭表不：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度不統(tǒng)一選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作單位長(zhǎng)度，用細(xì)短線畫出，并對(duì)應(yīng)標(biāo)注各數(shù)，同時(shí)要注意同一數(shù)軸的單位長(zhǎng)度I要一致.0沒有單位長(zhǎng)度有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：一切有理數(shù)都口 J以用數(shù)軸上的點(diǎn)表不岀來.-1 0123 4注意：數(shù)軸上的點(diǎn)不都代表有理數(shù)，如兀.利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。篒II I數(shù)軸上右邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所b01 “對(duì)應(yīng)的數(shù).因此，正數(shù)總大于零，負(fù)數(shù)總小于零，h0-10,那么m可以取的不同值有個(gè)，m的最小值為.M A B C D E F 0定義I示例剖析相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱為相反 數(shù).特別地，O的

7、相反數(shù)是0.相反數(shù)必須成對(duì)出現(xiàn)，不能單獨(dú)存在.例如：+5和-5互為相反數(shù)，或者說+5是 -5的相反數(shù)，-5是+5的相反數(shù)：例如：+3與-3互為相反數(shù)，而+3與-2雖 然符號(hào)不同，但它們不是相反數(shù).求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前而添 上“一”號(hào)即可.一般地，數(shù)“的相反數(shù)是-S這里以d表示任意 一個(gè)數(shù)，可以為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，也可以是任意一個(gè) 代數(shù)式.注意-。不一定是負(fù)數(shù).當(dāng)“0時(shí)，一“0：當(dāng)“ =0時(shí)，一“ =0：當(dāng)“0.例如：3的相反數(shù)為-3- 3的相反數(shù)為- (-3)0的相反數(shù)為0-3) 0互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零，即若與b互為 相反數(shù)，則a+b=Qi反之，若a+h = O,則與互為

8、相反數(shù).一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)分別位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且 到原點(diǎn)的距離相等.例如：3與-3互為相反數(shù)，則3+(-3)=0-404A多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：一個(gè)正數(shù)前而不管有多少個(gè) “ + ”號(hào)，都可以全部去掉；一個(gè)正數(shù)前而有偶數(shù)個(gè)-”號(hào)，也可以把 “-”號(hào)全部去掉；一個(gè)正數(shù)前而有奇數(shù)個(gè)“-”號(hào)，則化簡(jiǎn)后只保 留一個(gè)號(hào)，即“奇負(fù)偶正”(其中“奇偶”是 指正數(shù)前而的-”號(hào)的個(gè)數(shù)的奇偶數(shù)，負(fù)正”是 指化簡(jiǎn)的最后結(jié)果的符號(hào))例如：+(+6) = 6-(-6) = 6-(-5) =-5倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)., b互為 倒數(shù)，則 77 = 1：反之亦然.負(fù)倒數(shù)：乘積為-1的兩個(gè)數(shù)互為負(fù)倒數(shù).若方互為負(fù)倒數(shù)，則

9、a b = -.反之亦然.例如：3x1 = 1, 3與丄互為倒數(shù).33若-3l = -l側(cè)一3與丄互為負(fù)倒數(shù).33倒數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能稱為倒數(shù)： 互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定是1； 0沒有倒數(shù)； 求一個(gè)非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可.A. 1B. 77 下列正確的是（）A一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一圧是負(fù)數(shù)B. Tr和-3.14互為相反數(shù)C.所有的有理數(shù)都有相反數(shù)D. 13和31互為相反數(shù) 如果V化簡(jiǎn)下列各數(shù)的符號(hào),并說出是正數(shù)還是負(fù)數(shù)一（+“）:一（一“）: 一+（-:一-（一“）: 一+-（一）-3的倒數(shù)是（A. -13D. 3（北京市中考題）-（-2）的相反數(shù)是: /7 +

10、 4是-(-4)=的相反數(shù).的相反數(shù).互為相反-+（-5）與互為相反數(shù)，-（-u-b）與.數(shù)，+_（_7 + lc）與互為相反數(shù).【例8】若與色匸2互為相反數(shù)，則0=33若兀.y都是有理數(shù)，且使得四個(gè)兩兩不相等的數(shù) + 4. 2x. 2y-7. y能分成兩組，每組的兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)，則x+y的值等于【例9】已知有理數(shù)心b在數(shù)軸上表示如圖，現(xiàn)比較“、b、a、的大小，正確的是（）a0bA-a-babB a-bb-aC-ha a bD ab-b0, 70. a + bO,將四個(gè)數(shù)Ubgb按由小到大的順序排列是探索創(chuàng)新【例10】探究數(shù)字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任

11、何物體到了它那里 都別想再“爬”出來.無獨(dú)有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數(shù)通過一種運(yùn)算, 都能被它“吸”進(jìn)去，無一能逃脫它的魔掌.比如：任意找一個(gè)3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個(gè)數(shù)的每個(gè) 數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加得到一個(gè)新數(shù)，然后把這個(gè)新數(shù)的每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字再立方，求 和，重復(fù)運(yùn)算下去，就能得到一個(gè)固泄不變量的數(shù)T，我們稱它為數(shù)字“黑洞”，T為何具有 如此魔力？通過認(rèn)真觀察、分析，你一泄能發(fā)現(xiàn)它的奧秘請(qǐng)問，數(shù)字“黑洞” T =【例11】電子跳斎落在數(shù)軸上的某點(diǎn)第一步從KU向左跳1個(gè)單位到第二步由Kl向右跳2個(gè)單位 到K?,第三步由2向左跳3個(gè)單位到Ky第四步由心向右跳4個(gè)單位到心,

12、按以上規(guī)律 跳了 100步時(shí)，電*跳條落在數(shù)軸上的點(diǎn)KH）O所表示的數(shù)恰是19.94,試求電子跳條的初始位置Ko 點(diǎn)所表示的數(shù)【例12】動(dòng)點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)3也從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，3秒后，兩 點(diǎn)相距15個(gè)單位長(zhǎng)度.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A, 的速度比是1:4,（速度單位：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度/秒）-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 X求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度，并在數(shù)軸上標(biāo)出A，B兩點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí) 的位置若3兩點(diǎn)從中的位置同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，幾秒時(shí)，原點(diǎn)恰好處在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的正中 間？若A, 3兩點(diǎn)從中的位置同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)C也同時(shí)從B點(diǎn)位置岀發(fā)向 A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

13、，當(dāng)遇到A點(diǎn)后，立即返回向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，遇到3點(diǎn)后又立即返回向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如此 往返，直到3追上A時(shí)，點(diǎn)C立即停止運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)C一直以20單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng), 那么點(diǎn)C從開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)，行駛的路程是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？（北京東城區(qū)期末）知識(shí)模塊一有理數(shù)基本概念 課后演練【演練1】（1）-天早上的氣溫是-TC,中午上升了 11C,半夜又下降了9C,那么半夜的氣溫 TOC o 1-5 h z 是（）A. -5CB. 5CC. -13CD. 13C（八中期中）（2）如果節(jié)約16噸水記作+16噸，則浪費(fèi)6噸水記作.（3）下列說法正確的是（）有最小的負(fù)整數(shù)，沒有最小的正整數(shù)有最小的負(fù)數(shù)，沒有最大的正數(shù)有

14、最大的負(fù)數(shù)，沒有最小的正數(shù)有最大的負(fù)整數(shù)，沒有最大的正整數(shù)（十一學(xué)校期中）（4）把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號(hào)：-2.4, 3, 2.008, 11, -0.15, 0, -（-2）, 3.14. TOC o 1-5 h z 34V正有理數(shù)數(shù)集合：非負(fù)整數(shù)集合：負(fù)分?jǐn)?shù)集合：【演練2】檢驗(yàn)5個(gè)排球，其中超過標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負(fù)數(shù).這5個(gè)排球的記數(shù)分別為: 1號(hào)球，+5； 2號(hào)球，+0.7： 3號(hào)球，-0.6； 4號(hào)球，-3.5； 5號(hào)球，+2.5.從輕重的角度看，最輕 的球是號(hào)球，最接近標(biāo)準(zhǔn)的球是號(hào)球.（八中期中）知識(shí)模塊二數(shù)軸課后演練【演練3】數(shù)軸上，點(diǎn)A.B分別表示-3和5,則線段AB的