新高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題《圓錐曲線》第28講 四點(diǎn)共圓問(wèn)題（解析版）

1、第28講 四點(diǎn)共圓問(wèn)題一、解答題 1已知直線交拋物線于兩點(diǎn)（1）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求證：四點(diǎn)共圓【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，直線方程代入拋物線方程后由判別式得的范圍，由韋達(dá)定理得，再由向量的數(shù)乘可得0，結(jié)合韋達(dá)定理可得值；（2）設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性得，再由在拋物線上，代入變形得與的關(guān)系，然后計(jì)算，得，同理，得證四點(diǎn)共圓【詳解】解：由得設(shè)，則因?yàn)橹本€與相交，所以得（1）由，得，所以，解得從而，因?yàn)樗越獾茫?）設(shè)，因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則解得又于是解得又點(diǎn)在拋物線上，于是因?yàn)樗裕谑且虼耍碛谑屈c(diǎn)在以為直徑的圓上，即四點(diǎn)共圓

2、【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線相交問(wèn)題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法，如設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理可得，再利用向量的線性運(yùn)算求得關(guān)系，從而可求得值2已知橢圓上三點(diǎn)、與原點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形（1）若點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若、四點(diǎn)共圓，求直線的斜率【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知可得，由，且，設(shè)， 代入橢圓方程解方程即可得解；（2）因?yàn)椤⑺狞c(diǎn)共圓，則平行四邊形是矩形且，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理代入 ，化簡(jiǎn)計(jì)算求解即可.【詳解】解析：（1）如圖所示：因?yàn)?，四邊形為平行四邊形，所以，且設(shè)點(diǎn)，則因?yàn)辄c(diǎn)M、A在橢圓C上，所以，解得

3、，所以（2）因?yàn)橹本€的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，由消去y得，則有，因?yàn)槠叫兴倪呅危砸驗(yàn)?，所以，所以因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程化得因?yàn)锳、M、B、O四點(diǎn)共圓，所以平行四邊形是矩形，且，所以因?yàn)椋裕糜山獾茫藭r(shí)，因此所以所求直線的斜率為【點(diǎn)睛】本題主要考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程利用韋達(dá)定理列式表達(dá)斜率以及垂直的方法進(jìn)而代入求解的問(wèn)題，考查計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬于難題.3已知拋物線：（）上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為1（）求和的值；（）求直線：交拋物線于兩點(diǎn)、，線段的垂直平分線交拋物線于兩點(diǎn)、，求證：、四點(diǎn)共圓【答案】（），；（）證明見(jiàn)解析.【分析】（）根據(jù)拋物

4、線的定義可得點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，即可求出，從而得到拋物線方程，再計(jì)算出參數(shù)的值；（）設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)橹本€為線段的垂直平分線，直線的方程為，設(shè)，求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理計(jì)算可得；【詳解】解：（）的準(zhǔn)線為，因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，所以，故，即，又在上，所以；（）設(shè)，聯(lián)立，得，則，且，即，則，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，所以線段中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€為線段的垂直平分線，直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，則，故，線段中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，同理點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以、四點(diǎn)共圓【點(diǎn)睛】(1)直線

5、與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式4已知直線與軸，軸分別交于，線段的中垂線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、（1）求的取值范圍；（2）是否存在，使得，四點(diǎn)共圓，若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，得出其中垂線方程為，與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)即可得結(jié)果；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)為，將（1）和韋達(dá)定理可得，結(jié)合四點(diǎn)共圓的特征得，代入兩點(diǎn)間距離公式可解得的值.【詳解】

6、（1）因?yàn)橹本€與軸，軸分別交于，.所以，所以線段的中點(diǎn)為，所以線段的中垂線的方程為，即.將代入，得，因?yàn)榕c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，.所以，又，所以，即的取值范圍為.（2）若，四點(diǎn)共圓，由對(duì)稱(chēng)性可知，圓心應(yīng)為線段的中點(diǎn)，設(shè)，線段的中點(diǎn)為，則，所以，若，C，四點(diǎn)共圓，則，即，所以.所以，解得，又滿(mǎn)足，所以存在，使得，C，四點(diǎn)共圓.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的特征，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.5已知斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的垂直平分線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）若，求直線的方程以及的取值范圍；（2）不管怎么變化，都有，四點(diǎn)共圓，求的取值范圍.【答案】（

7、1），；（2）.【分析】（1）將直線的方程代入橢圓方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而可求出的值，進(jìn)而可得到直線的方程，由判別式大于零可求出的取值范圍；（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程中，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式表示出,由于是的垂直平分線，所以同理可表示的長(zhǎng)，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可求出點(diǎn)到的距離，由，四點(diǎn)共圓，將，代入化簡(jiǎn)可得，從而可求出的值，進(jìn)而可求得【詳解】設(shè)，.（1）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，將方程代入得：.由，解得，此時(shí)的方程為.將代入，得.由，解得.（2）設(shè)直線的方程為，將方程代入得：.由題意，即.，同理得，所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，點(diǎn)到的距離為，由，四點(diǎn)共圓，即，不管怎么變化，都有，

8、四點(diǎn)共圓，即上式恒成立，所以，解得，此時(shí)式成立.代入，由得.所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算求解能力，解題的關(guān)鍵是由，四點(diǎn)共圓，將，代入化簡(jiǎn)可得，從而可求出的值，進(jìn)而可求得，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題6已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，且，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（）若的周長(zhǎng)為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若，且， ，四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的值；（）在（）的條件下，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且直線的斜率，試求直線的斜率的取值范圍【答案】（）（）（）【解析】試題解析：（）由題意得，根據(jù)，得結(jié)合，解得所以，橢圓的方程為（）（解法一）由 得設(shè)所以，由、互相平分且共圓，易知，因?yàn)椋?/p>

9、所以即 ，所以有結(jié)合解得，所以離心率（若設(shè)相應(yīng)給分）（解法二）設(shè)，又、互相平分且共圓，所以、是圓的直徑，所以，又由橢圓及直線方程綜合可得：前兩個(gè)方程解出，將其帶入第三個(gè)方程并結(jié)合，解得：，8分（）由（）結(jié)論，橢圓方程為，由題可設(shè)，所以，又 ，即，由可知， 考點(diǎn)：1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2直線與橢圓的位置關(guān)系7如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)點(diǎn)在橢圓上，且（1）若橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為求橢圓的方程；（2）若在軸上方存在兩點(diǎn)，使四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的取值范圍【答案】（1）； （2）.【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意，可得，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，

10、可得的外接圓即為以為直徑的圓，可得，根據(jù)點(diǎn)，均在軸上方，可得，解得即可；【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意，可得，解得，橢圓的方程為，（2）設(shè)，則的外接圓即為以為直徑的圓，由題意，焦點(diǎn)，原點(diǎn)均在該圓上，消去可得，點(diǎn)，均在軸上方，即，故的范圍為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線的圓錐曲線的位置關(guān)系，考查圓的方程及點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，屬于中檔題8已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F的直線m與拋物線E交于兩點(diǎn)，過(guò)F且與直線m垂直的直線n與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M（1）若直線m的斜率為，求的值；（2）設(shè)的中點(diǎn)為N，若四點(diǎn)共圓，求直線m的

11、方程【答案】（1）或；（2）【分析】（1）由拋物線的定義建立方程即可.（2）設(shè)直線m的方程為，用表示坐標(biāo)，再結(jié)合條件得到，建立關(guān)于的方程即可獲解.【詳解】（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，直線m的斜率為直線m的傾斜角為，由拋物線的定義，有，解得：，若時(shí)，同理可得：，或（2）設(shè)直線m的方程為，代入，得設(shè)，則由，得，所以因?yàn)橹本€m的斜率為，所以直線n的斜率為，則直線n的方程為由解得若四點(diǎn)共圓，再結(jié)合，得，則，解得，所以直線m的方程為【點(diǎn)睛】（1）有些題目可以利用拋物線的定義結(jié)合幾何關(guān)系建立方程獲解；（2）直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.9如圖，已知橢圓C的

12、方程為，為半焦距，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓C的離心率為（1）若橢圓過(guò)點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線之間的距離為，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓C相交于，兩點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓，若，試求的最大值【答案】（1）（2）【分析】(1)利用準(zhǔn)線,以及求出離心率,又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn),確定方程.(2)將直線方程代入橢圓方程, 根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)性和四點(diǎn)共圓，所以. 所以三角形是直角三角形,根據(jù)得出取得最大值.【詳解】（1）因?yàn)閮蓷l準(zhǔn)線之間的距離為，所以，又，故，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，由得，解得.由橢圓的中心對(duì)稱(chēng)性得，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以，所以，即，所以三角形是直角三角形，且，所

13、以，即，故，所以，即，分離k，e得， 因?yàn)?，所以，令則，所以，令，則，易得當(dāng)，單調(diào)遞減，所以時(shí)，取最大值，即取得最大值為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,含參分式的最值,屬于難題.10如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C：(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)和,橢圓C上三點(diǎn)A,M,B與原點(diǎn)O構(gòu)成一個(gè)平行四邊形AMBO.（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)B是橢圓C左頂點(diǎn),求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若A,M,B,O四點(diǎn)共圓,求直線AB的斜率.【答案】（1）y21；（2）M(1,)；（3）【分析】(1)將點(diǎn)和代入橢圓1求解即可.(2)根據(jù)平行四邊形AMBO可知AMBO,且AMBO2.再設(shè)點(diǎn)M(x0,y

14、0),則A(x02,y0),代入橢圓C求解即可.(3) 因?yàn)锳,M,B,O四點(diǎn)共圓,所以平行四邊形AMBO是矩形,且OAOB,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理代入x1x2y1y20求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓1(ab0)過(guò)點(diǎn)和,所以a2,1,解得b21,所以橢圓C的方程為y21. （2）因?yàn)锽為左頂點(diǎn),所以B (2,0).因?yàn)樗倪呅蜛MBO為平行四邊形,所以AMBO,且AMBO2.設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),則A(x02,y0).因?yàn)辄c(diǎn)M,A在橢圓C上,所以解得所以M(1,). （3）因?yàn)橹本€AB的斜率存在,所以設(shè)直線AB的方程為ykxm,A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得(4

15、k21)x28kmx4m240,則有x1x2,x1x2. 因?yàn)槠叫兴倪呅蜛MBO,所以(x1x2,y1y2).因?yàn)閤1x2,所以y1y2k(x1x2)2mk2m,所以M(,). 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上,所以將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程,化得4m24k21.因?yàn)锳,M,B,O四點(diǎn)共圓,所以平行四邊形AMBO是矩形,且OAOB,所以x1x2y1y20.因?yàn)閥1y2(kx1m)(kx1m)k2x1x2km(x1x2)m2,所以x1x2y1y20,化得5m24k24. 由解得k2,m23,此時(shí)0,因此k. 所以所求直線AB的斜率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程的基本求法,同時(shí)也考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程

16、,利用韋達(dá)定理列式表達(dá)斜率以及垂直的方法,進(jìn)而代入求解的問(wèn)題.屬于難題.11如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)與軸平行的直線交橢圓的兩條準(zhǔn)線于點(diǎn)，直線，交于點(diǎn).（1）若與的面積相等，求橢圓的離心率；（2）若，.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；試判斷點(diǎn)，是否四點(diǎn)共圓，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）； ，四點(diǎn)共圓，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)，可表示出直線的方程，從而求得點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)三角形面積相等可構(gòu)造關(guān)于的齊次方程，進(jìn)而求得離心率；（2）根據(jù)，和橢圓的關(guān)系，可求得的值，進(jìn)而得到橢圓方程；設(shè)過(guò)點(diǎn)，三點(diǎn)的圓的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)可求得方程為；驗(yàn)證可知點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，由此得到四點(diǎn)共圓.【

17、詳解】設(shè)，（1）由題意得：，.直線的方程為：，直線的方程為：，將直線與聯(lián)立可得：，即點(diǎn).與的面積相等， ，即橢圓的離心率為.（2），解得：，以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由知：，.設(shè)過(guò)點(diǎn)，三點(diǎn)的圓的方程為，即.將代入該方程得：，過(guò)，三點(diǎn)的圓的方程為：，將代入該方程左邊，則，點(diǎn)也在過(guò)點(diǎn)，三點(diǎn)的圓上，從而點(diǎn)，四點(diǎn)共圓.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到橢圓離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、四點(diǎn)共圓問(wèn)題的證明；證明四點(diǎn)共圓問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)三點(diǎn)坐標(biāo)確定三點(diǎn)所在圓的方程，進(jìn)而代入第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證其滿(mǎn)足方程即可.12（題文）（題文）已知點(diǎn)F(p2,0)，直線l: x=p2，點(diǎn)是l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)垂直于y軸

18、的直線與線段F的垂直平分線相交于點(diǎn)（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若p=2，直線y=x與點(diǎn)的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)的軌跡上是否存在兩點(diǎn)C、D，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）y2=2px；（2）存在a72且a4，a8的無(wú)數(shù)個(gè)圓(xa)2+(y+a4)2=a2+(a+4)2滿(mǎn)足條件.【解析】試題分析：（1）借助點(diǎn)在線段F的中垂線上建立等式并化簡(jiǎn)即可；（2）依據(jù)題設(shè)條件建立方程,通過(guò)方程有無(wú)解的分析析作出推理和判斷即可.試題解析：解: （1）設(shè)(x,y)，依題意，|F|=|，即(xp2)2+y2=|x+p2|化簡(jiǎn)整理得y2=2px（2）把y=x與y

19、2=4x聯(lián)立，解得(0,0)，(4,4)，則線段的垂直平分線方程y=x+4若存在C、D兩點(diǎn)，使得、C、D四點(diǎn)共圓，則圓心必在直線y=x+4上，設(shè)圓心坐標(biāo)(a,a+4)，則半徑r=a2+(a+4)2，圓的方程為(xa)2+(y+a4)2=a2+(a+4)2，將x=y24代入并整理得y4+(168a)y2+32(a4)y=0，則y(y4)(y2+4y+328a)=0， y1=0或y2=4或y2+4y+328a=0， y2+4y+328a=0應(yīng)有除y1=0、y2=4之外的兩個(gè)根， 0，且328a0，42+44+328a0，解得a72且a4，a8存在a72且a4，a8的無(wú)數(shù)個(gè)圓(xa)2+(y+a4)

20、2=a2+(a+4)2滿(mǎn)足條件考點(diǎn)：(1)軌跡方程與探求方法；(2)圓的方程及簡(jiǎn)單高次方程的求解等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用.13從拋物線上各點(diǎn)向軸作垂線段，記垂線段中點(diǎn)的軌跡為曲線（1）求曲線的方程，并說(shuō)明曲線是什么曲線；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)、，線段的垂直平分線交曲線于兩點(diǎn)、，探究是否存在直線使、四點(diǎn)共圓？若能，請(qǐng)求出圓的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）曲線的方程為，曲線是焦點(diǎn)為的拋物線；（2）存在；圓的方程為或【分析】（1）設(shè)拋物線上的任意點(diǎn)為，垂線段的中點(diǎn)為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出，代入等式化簡(jiǎn)可得出曲線的方程，進(jìn)而可得出曲線的形狀；（2）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列

21、出韋達(dá)定理，求出，求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出線段的中垂線的方程，求出，根據(jù)四點(diǎn)共圓結(jié)合垂徑定理可得出關(guān)于的等式，求出的值，進(jìn)一步可求得圓的方程，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)拋物線上的任意點(diǎn)為，垂線段的中點(diǎn)為，故，則，代入得，得曲線的方程為，所以曲線是焦點(diǎn)為的拋物線；（2）若直線與軸重合，則直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意知，設(shè)、，聯(lián)立，得，則，則，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，所以線段中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€為線段的垂直平分線，可設(shè)直線的方程為，則，故，聯(lián)立，得，設(shè)、，則，故，線段中點(diǎn)為，假設(shè)、四點(diǎn)共圓，則弦的中垂線與弦中垂線的交點(diǎn)必為圓心，因?yàn)闉榫€段的中垂線，則可知

22、弦的中點(diǎn)必為圓心，則，在中，所以，則，故，即，解得，即，所以存在直線，使、四點(diǎn)共圓，且圓心為弦的中點(diǎn)，圓的方程為或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為

23、兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.14在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是拋物線上上一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，若、四點(diǎn)共圓，求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可求出，從而得到拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入，得.設(shè)，列出韋達(dá)定理，表示出中點(diǎn)的坐標(biāo)，若、四點(diǎn)共圓，再結(jié)合，得，則即可求出參數(shù)，從而得解；【詳解】解：（1）由拋物線定義，得，解得，所以?huà)佄锞€的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，代入，得.設(shè)，則，.由，得，所以.因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率

24、為，則直線的方程為.由解得.若、四點(diǎn)共圓，再結(jié)合，得，則，解得，所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線綜合問(wèn)題，屬于中檔題.15已知橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，P是C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：直線AP，BP的斜率之積為定值，并求出該定值.（2）設(shè)，直線AP，BP分別交直線l：x=3于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得O，M，N，T四點(diǎn)共圓？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，定值；（2）存在，定點(diǎn).【分析】（1）由題意知，設(shè)P(x0，y0)，y00，則，然后利用斜率公式求化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（2）由題意先求出橢圓C的方程為，設(shè)直線AP的方程為，則直線BP的方程為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立可求出，假設(shè)MNO的外接