MATLAB現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論與方法之優(yōu)化設(shè)計(jì)

1、第二講 現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論與方法之優(yōu)化設(shè)計(jì)提 綱什么是優(yōu)化設(shè)計(jì)?1優(yōu)化設(shè)計(jì)方法3優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型三要素2優(yōu)化軟件matlab應(yīng)用4 題引:設(shè)計(jì)一對圓柱齒輪減速器,輸入功率為P=100KW，輸入轉(zhuǎn)速為n=730r/min，傳動比i=4.5，工作年限為10年。滿足設(shè)計(jì)要求的各種可行方案結(jié)論：傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)中很早就存在“選優(yōu)”思想；所謂“優(yōu)化方案”是有條件的，是根據(jù)不同的衡量指標(biāo)來評價(jià)的。傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)中“選優(yōu)”方法的不足：給出的設(shè)計(jì)方案有限；不能按衡量指標(biāo)嚴(yán)格計(jì)算出一組最優(yōu)參數(shù)（最優(yōu)方案）。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展優(yōu)化設(shè)計(jì)工具數(shù)學(xué)規(guī)劃理論基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)(優(yōu)化目標(biāo)和最優(yōu)原則)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 在給定的載荷環(huán)境條件下，

2、在對機(jī)械產(chǎn)品的性態(tài)、集合關(guān)系或其他因素的限制（約束）范圍內(nèi)，選取設(shè)計(jì)變量，建立目標(biāo)函數(shù)并的使其獲得最優(yōu)值的一種新的設(shè)計(jì)方法。 優(yōu)化設(shè)計(jì)過程： 第一步：設(shè)計(jì)課題分析。確定設(shè)計(jì)目標(biāo)分析約束條件單目標(biāo)優(yōu)化多目標(biāo)優(yōu)化參數(shù)取值范圍設(shè)計(jì)或技術(shù)性能工藝條件限制 第二步：建立數(shù)學(xué)模型。 第三步：選擇優(yōu)化方法。 第四步：上機(jī)計(jì)算擇優(yōu)。 工程優(yōu)化設(shè)計(jì)的兩個分支： 數(shù)學(xué)規(guī)劃法 準(zhǔn)則法 工程優(yōu)化設(shè)計(jì)的兩個層次： 總體方案優(yōu)化 設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化【優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型】案例一:有一圓形等截面的銷軸，一端固定，一端作用著集中載荷F=1000N和扭矩T=100Nm。由于結(jié)構(gòu)需要，軸的長度L不得小于8cm，已知銷軸材料的許用彎曲應(yīng)力

3、W=120MPa，許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力=80MPa，允許撓度f=0.01cm，密度=7.8t/m3，彈性模量E=2105MPa?，F(xiàn)要求在滿足使用要求的條件下，試設(shè)計(jì)一個用料最?。ㄤN軸質(zhì)量最輕）的方案。課題分析和數(shù)學(xué)模型的建立：課題分析優(yōu)化目標(biāo)用料最省條件強(qiáng)度條件剛度條件邊界條件設(shè) x1=d，x2=l則令且設(shè)計(jì)變量目標(biāo)函數(shù)約束條件數(shù)學(xué)模型三要素 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式:s.t.設(shè)計(jì)變量X屬于n維實(shí)歐氏空間極小化目標(biāo)函數(shù)滿足于不等式約束條件等式約束條件若其中m=p=0,則為無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型上機(jī)計(jì)算最優(yōu)方案最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值 數(shù)學(xué)模型三要素確立的準(zhǔn)則: 設(shè)計(jì)變量X=x1,x2,xn:設(shè)計(jì)過程中要優(yōu)

4、選的變量，一般用向量表示。設(shè)計(jì)方案的集合構(gòu)成設(shè)計(jì)空間。n50小型優(yōu)化問題中型優(yōu)化問題大型優(yōu)化問題變量越多，自由度越大，優(yōu)化效果越好，但是計(jì)算機(jī)時(shí)也相對增加。 對于設(shè)計(jì)變量為離散量的情況，優(yōu)化時(shí)視為連續(xù)量考慮，得到優(yōu)化結(jié)果后進(jìn)行圓整或標(biāo)準(zhǔn)化。 目標(biāo)函數(shù) min f (X)：代表設(shè)計(jì)中某項(xiàng)最重要的特征，為標(biāo)量函數(shù)。max f (X)=min (-f (X)單目標(biāo)優(yōu)化問題多目標(biāo)優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問題的求解愈復(fù)雜。等值線的特點(diǎn)： 不同等值線不相交； 除極值點(diǎn)外，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，等值線不會中斷； 等值線充滿整個設(shè)計(jì)空間； 等值線分布的疏密，反映出函數(shù)值變化的慢快； 對有中心的等值

5、線族，其共同中心就是極值點(diǎn)； 約束條件：對設(shè)計(jì)變量取值時(shí)的限制條件。gu (X)0 可用-gu (X)0表示。性能約束邊界約束等式約束不等式約束等式約束中只有約束線上的點(diǎn)滿足約束。不等式約束中約束邊界將設(shè)計(jì)空間劃分為滿足約束不不滿足約束兩部分。起作用約束可行域等式約束的個數(shù) p 必須小于設(shè)計(jì)變量的個數(shù) n。？思考題：有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角各裁去一個小的方塊，作成一個無蓋的盒子。試確定裁去小正方形的邊長，以使盒子容積最大。直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設(shè)計(jì)：已知下列數(shù)據(jù)：傳動比i，轉(zhuǎn)速n1，傳動功率P，小齒輪許用接觸應(yīng)力H1，小齒輪許用彎曲應(yīng)力F1，大齒輪許用彎曲應(yīng)力F2，并已知兩齒輪所用材料

6、及熱處理后的硬度。設(shè)計(jì)該齒輪副，使其體積最小。提示：圓柱齒輪的體積V，可近似地看成是其分度圓面積與齒寬的乘積。優(yōu)化設(shè)計(jì)的分類:約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題一維優(yōu)化問題多維無約束優(yōu)化問題線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題【優(yōu)化設(shè)計(jì)方法】解法分類: 數(shù)學(xué)解析法 圖解法 數(shù)值迭代法用數(shù)學(xué)的微分法和變分法等求解。對于n2的低維優(yōu)化問題，用直接作圖的方法求解。反復(fù)搜索、迭代，逐漸逼近。對于n維的非線性目標(biāo)函數(shù),用常規(guī)的解法求極值,往往是很困難的。有效的辦法是數(shù)值迭代。迭代公式是：一種算法，可以用一個簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)式來定義，或用某個計(jì)算機(jī)程序來定義。其中：按照某一迭代格式，從一個初始點(diǎn)X（0）出發(fā)逐步產(chǎn)生一個點(diǎn)列

7、X（0），X（1），X（2）， X（k）， X（k+1） 若該點(diǎn)列所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值呈下降趨勢 f (X（0）)f (X（1）)f (X（k）)f (X（k+1）)并且該點(diǎn)列的極限就是目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)X*,即則構(gòu)成此點(diǎn)列的方法就是優(yōu)化問題的一種數(shù)值解法，稱下降迭代算法,并稱此點(diǎn)列收斂于極小。優(yōu)化迭代和逼近過程a）無約束條件 b）約束條件g(x) 這樣一個逐步尋優(yōu)的過程跟“盲目登山”很相似，求極大值相當(dāng)于登山頂，求極小值相當(dāng)于下山谷。以盲人登山為例，它有兩個特點(diǎn)；一是每走一步都要認(rèn)真研究這個新點(diǎn)周圍的信息，以確定下一步的方向和步長，然后到達(dá)下一點(diǎn)；二是每走一步都比前一步高。正是由于這兩個特點(diǎn)，盲

8、人總是可以到達(dá)山頂。優(yōu)化算法也應(yīng)具備這種步步登高的性質(zhì)。對于目標(biāo)函數(shù)是多“峰”的情況，這不僅要求得局部最優(yōu)，還要采用一定的方法求得全局最優(yōu)。在尋優(yōu)過程中，最重要的是確定每一步的搜索方向和迭代步長，而各種優(yōu)化算法的主要區(qū)別也在這里。對于約束極值問題，其數(shù)值解法的基本思想仍然是搜索、迭代和逼近，不同的是需要考慮約束條件的存在，如圖b）所示，如果增加一個約束條件g (X)，就好像盲人登山過程中遇到一堵墻，所能達(dá)到的最高點(diǎn)必須在墻內(nèi)，攀登的路線也會隨之改變。盲人登山，主要目標(biāo)是登上山頂，同時(shí)也希望越快越好。優(yōu)化算法也有類似的兩個標(biāo)準(zhǔn)，即收斂性和收斂速度，這是衡量算法優(yōu)劣的兩個重要指標(biāo)。 基本的迭代格式

9、: 下降迭代法要解決的三個問題: 選擇搜索方向; 確定迭代步長; 給定終止準(zhǔn)則; 常用的迭代終止準(zhǔn)則: 點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則 函數(shù)下降量足夠小準(zhǔn)則 函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則一般收斂精度=10-5。以上終止準(zhǔn)則是針對于無約束優(yōu)化問題的求解；而對于約束優(yōu)化問題，不同的優(yōu)化方法有不同的終止準(zhǔn)則。優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)課件現(xiàn)代工程計(jì)算- MATLAB MATLAB界面 優(yōu)化計(jì)算 MATLAB界面 Command Window(命令窗口)一行可寫入一個或多個命令，命令之間用逗號或分號隔開，如果命令尾帶分號將不顯示該命令的執(zhí)行結(jié)果；如果命令有返回結(jié)果，如果不賦給自定義變量，將默認(rèn)賦給變量ans；變量還可有續(xù)行；最后用回車提交命

10、令。 Workspace(工作區(qū)) 程序運(yùn)行中的自定義變量和默認(rèn)變量都包含在工作區(qū)中。可通過工作區(qū)觀察變量的大小、類型，雙擊變量名可查看數(shù)值大小。也可用who和whos命令查看。 Command History(命令記錄) 記錄了Command Window 中的每一條命令，雙擊Command History中的命令，即可重復(fù)那條命令。函 數(shù)描 述fgoalattain多目標(biāo)達(dá)到問題fminbnd有邊界的標(biāo)量非線性最小化fmincon有約束的非線性最小化fminimax最大最小化fminsearch, fminunc無約束非線性最小化fseminf半無限問題linprog線性規(guī)劃quadpro

11、g二次規(guī)劃線性規(guī)劃及其優(yōu)化函數(shù)線性規(guī)劃問題是目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性函數(shù)的問題。 min sub.to： 其中f、x、b、beq、lb、ub為向量，A、Aeq為矩陣。其它形式的線性規(guī)劃問題都可經(jīng)過適當(dāng)變換化為此標(biāo)準(zhǔn)形式。函數(shù) linprog格式 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x,fval = linprog() x,fval,exitflag =

12、 linprog() x,fval,exitflag,output = linprog() x,fval,exitflag,output,lambda = linprog() 說明 f:是優(yōu)化參數(shù)x的系數(shù)矩陣； lb,ub:設(shè)置優(yōu)化參數(shù)x的上下界； fval: 返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的函數(shù)值； exitflag:返回算法的終止標(biāo)志； output:返回優(yōu)化算法信息的一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。說明：若exitflag0表示函數(shù)收斂于解x，exitflag=0表示超過函數(shù)估值或迭代的最大數(shù)字，exitflagf = -5; -4; -6;A = 1 -1 1;3 2 4;3 2 0;b = 20; 42;

13、30;lb = zeros(3,1);x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(f,A,b,lb)結(jié)果為：x = %最優(yōu)解 0.0000 15.0000 3.0000fval = %最優(yōu)值 -78.0000exitflag = %收斂 1output = iterations: 6 %迭代次數(shù) cgiterations: 0 algorithm: lipsol %所使用規(guī)則lambda = ineqlin: 3x1 double eqlin: 0 x1 double upper: 3x1 double lower: 3x1 doublelambda為解x的

14、Lagrange乘子 lambda.ineqlinans = 0.0000 1.5000 0.5000 lambda.lowerans = 1.0000 0.0000 0.0000表明：不等約束條件2和3以及第1個下界是有效的練習(xí)解下面線性規(guī)劃問題某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需要材料9Kg、3個工時(shí)、4KW電，可獲利60元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需要材料4Kg、10個工時(shí)、5KW電，可獲利120元。若每天能供應(yīng)材料360Kg，有300個工時(shí)，能供200KW電，問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件，才能獲得最大的利潤。提示：非線性規(guī)劃及其優(yōu)化函數(shù) 有約束的一元函數(shù)的最小值sub.to 函數(shù)

15、fminbnd格式 x = fminbnd(fun,x1,x2) %返回自變量x在區(qū)間上函數(shù)fun取最小值時(shí)x值，fun為目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式字符串或MATLAB自定義函數(shù)的函數(shù)柄。x = fminbnd(fun,x1,x2,options) % options為指定 優(yōu)化參數(shù)選項(xiàng)x,fval = fminbnd() % fval為目標(biāo)函數(shù)的最小值x,fval,exitflag = fminbnd() %xitflag為終止迭代 的條件x,fval,exitflag,output = fminbnd() % output為優(yōu) 化信息說明 若參數(shù)exitflag0，表示函數(shù)收斂于x，若exitfla

16、g=0，表示超過函數(shù)估計(jì)值或迭代的最大數(shù)字，exitflagx,fval,exitflag,output=fminbnd(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x),0,1)x = 0.5223fval = 0.3974exitflag = 1output = iterations: 9 funcCount: 9 algorithm: golden section search, parabolic interpolation在0，5上求下面函數(shù)的最小值解：先自定義函數(shù)：在MATLAB編輯器中建立M文件為：function f = myfun(x)f = (x-3).3 - 1;保存為

17、myfun.m，然后在命令窗口鍵入命令： x=fminbnd(myfun,0,5)則結(jié)果顯示為：x = 3 無約束多元函數(shù)最小值 多元函數(shù)最小值的標(biāo)準(zhǔn)形式為其中：x為向量，如命令 利用函數(shù)fminsearch求無約束多元函數(shù)最小值函數(shù) fminsearch格式 x = fminsearch(fun,x0) %x0為初始點(diǎn)，fun為目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式字符串或MATLAB自定義函數(shù)的函數(shù)柄。x = fminsearch(fun,x0,options) % options查optimsetx,fval = fminsearch() %最優(yōu)點(diǎn)的函數(shù)值x,fval,exitflag = fminsearc

18、h() % exitflag與單變量情形一致x,fval,exitflag,output = fminsearch() %output與單變量情形一致注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型簡單搜尋法。求解：X=fminsearch(2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2, 0,0)結(jié)果為X = 1.0016 0.8335或在MATLAB編輯器中建立函數(shù)文件function f=myfun(x)f=2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2;保存為myfun.m，在命令窗口鍵入 X=fminsearch

19、 (myfun, 0,0) 或 X=fminsearch(myfun, 0,0)結(jié)果為：X = 1.0016 0.8335的最小值點(diǎn)命令 利用函數(shù)fminunc求多變量無約束函數(shù)最小值函數(shù) fminunc格式 x = fminunc(fun,x0) %返回給定初始點(diǎn)x0的最小函數(shù)值點(diǎn)x = fminunc(fun,x0,options) % options為指定優(yōu)化參數(shù)x,fval = fminunc() %fval最優(yōu)點(diǎn)x處的函數(shù)值x,fval,exitflag = fminunc() % exitflag為終止迭代的條件，與上同。x,fval,exitflag,output = fminu

20、nc() %output為輸出優(yōu)化信息x,fval,exitflag,output,grad = fminunc() % grad為函數(shù)在解x處的梯度值x,fval,exitflag,output,grad,hessian = fminunc() %目標(biāo)函數(shù)在解x處的海賽（Hessian）值注意：當(dāng)函數(shù)的階數(shù)大于2時(shí)，使用fminunc比fminsearch更有效，但當(dāng)所選函數(shù)高度不連續(xù)時(shí)，使用fminsearch效果較好。求 fun=3*x(1)2+2*x(1)*x(2)+x(2)2; x0=1 1; x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc(f

21、un,x0)結(jié)果為：x = 1.0e-008 * -0.7591 0.2665fval = 1.3953e-016的最小值。 有約束的多元函數(shù)的最小值非線性有約束的多元函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為sub.to 其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq為矩陣，C(x)、Ceq(x)是返回向量的函數(shù)，f(x)為目標(biāo)函數(shù)，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非線性函數(shù)。函數(shù) fmincon格式 x = fmincon(fun,x0,A,b)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = fmincon(f

22、un,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x,fval = fmincon()x,fval,exitflag = fmincon()x,fval,exitflag,output = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda,grad = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian = fmincon()參數(shù)說明：fun為目標(biāo)函數(shù)，它可用前面的方法定義；x0為初始值；A、b滿足線性不等