自動控制理論第十六講

1、 主要內(nèi)容第五節(jié) 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能一、利用根軌跡分析系統(tǒng)基本步驟二、利用根軌跡分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能三、附加開環(huán)零點對根軌跡的影響四、附加開環(huán)極點對根軌跡的影響五、開環(huán)偶極子對根軌跡的影響六、穩(wěn)態(tài)性能分析七、根軌跡分析舉例第六節(jié) 用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡一、求開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點二、繪制常規(guī)根軌跡三、繪制帶阻尼比和自然振蕩頻率柵格四、系統(tǒng)性能分析第十六講 利用根軌跡分析系統(tǒng)性能第五節(jié) 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能一、利用根軌跡分析系統(tǒng)基本步驟利用根軌跡法分析系統(tǒng)性能的基本步驟 繪制系統(tǒng)根軌跡； 依題意確定閉環(huán)主導(dǎo)極點位置； 確定其它閉環(huán)極點； 根據(jù)主導(dǎo)極點，估算系統(tǒng)性能系統(tǒng)性能系統(tǒng)的開環(huán)

2、零、極點位置根軌跡閉環(huán)極點位置二、利用根軌跡分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能 設(shè)系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，此外還有若干實數(shù)零點和極點，系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為。當(dāng)Sk 為實數(shù)極點時q為sk右面零、極點數(shù)目之和設(shè)S1、S2 為共軛復(fù)數(shù)極點主導(dǎo)極點具有一對共軛復(fù)數(shù)極點的零型系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為超調(diào)量和調(diào)整時間近似估算公式系統(tǒng)閉環(huán)零、極點位置與暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系：（1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于閉環(huán)極點的位置。（2）如果閉環(huán)極點均為負(fù)實數(shù)，且無零點，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為非振蕩的，響應(yīng)時間取決于距離虛軸最近的極點，若其它極點距離虛軸的距離比最近極點的距離大5倍以上，可以忽略不計。（3）如果系統(tǒng)具有一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，則系統(tǒng)的

3、暫態(tài)響應(yīng)呈振蕩性質(zhì)，其超調(diào)量主要取決于主導(dǎo)極點的衰減率并與其它極點接近原點的程度有關(guān)，調(diào)整時間主要取決于主導(dǎo)極點的實部（4）如果系統(tǒng)中存在非常接近的零點和極點，其相互距離比其本身的模值小一個數(shù)量級以上，則把這對閉環(huán)零、極點稱為偶極子。偶極子的位置距離原點非常近時，其對暫態(tài)響應(yīng)的影響一般需要考慮，但不會影響閉環(huán)主導(dǎo)極點的主導(dǎo)作用。偶極子的位置距離原點較遠(yuǎn)時，其對暫態(tài)響應(yīng)的影響可以忽略。（5）除其它閉環(huán)主導(dǎo)極點外的其它極點的存在會增大系統(tǒng)的阻尼比，使響應(yīng)速度減慢，超調(diào)量減少。閉環(huán)零點的存在減小系統(tǒng)阻尼，使響應(yīng)速度加快，超調(diào)量增加。三、附加開環(huán)零點對根軌跡的影響漸近線與實軸傾角隨著m數(shù)增大而增加根軌

4、跡向左方向彎曲漸近線與實軸交點隨著Zc增大（Zc點在實軸上向右移）而左移提高了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性【例1】系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為分析附加一個零點S+Z時系統(tǒng)根軌跡的變化 在控制系統(tǒng)設(shè)計中有時為改善系統(tǒng)的性能而增設(shè)零點，由此給根軌跡帶來明顯的改變。 附加一個零點相當(dāng)于增加一個比例微分環(huán)節(jié)，在實際中，能夠得到的比例微分作用的環(huán)節(jié)是比例環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的復(fù)合環(huán)節(jié)。只要選取P5Z，可以產(chǎn)生類似附加單純零點的作用。增加的零點相對靠近虛軸而起主導(dǎo)作用零極點對應(yīng)的矢量幅角 附加提供一個超前角 開環(huán)傳遞函數(shù)上附加極點降低了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性漸近線與實軸傾角隨著n數(shù)增大而減小根軌跡向右方向彎曲漸近線與實軸交點隨著

5、pc增大（pc點在實軸上向右移）而右移，故更靠近原點 。向右彎曲趨勢隨著所增加的極點移近原點而加劇四、附加極點對根軌跡的影響右移極點增加一個極點的情況【例2】系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為分析附加一個開環(huán)極點S+Pc時系統(tǒng)根軌跡的變化五、開環(huán)偶極子對根軌跡的影響開環(huán)偶極子距離原點較遠(yuǎn)幅值條件和幅角條件中的作用相互抵消； 對離其較遠(yuǎn)的近虛軸區(qū)域的根軌跡形狀和開環(huán)增益幾乎沒有影響，基本上不影響系統(tǒng)靜動態(tài)性能。開環(huán)偶極子位于原點附近幅角條件和幅值條件中作用也基本抵消。零極點自身比值zc /pc- 較大影響系統(tǒng)的開環(huán)增益、改變穩(wěn)態(tài)誤差。提高系統(tǒng)開環(huán)增益10倍六、穩(wěn)態(tài)性能分析根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系 如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點位

6、置已經(jīng)確定，適當(dāng)配置零點，可以對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生積極的影響。實際上附加開環(huán)零點后，除了改變了閉環(huán)極點在S平面的分布，而且也使閉環(huán)傳遞函數(shù)增加了零點，從而對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生影響?！纠?】系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為試分析附加一個零點時的給定穩(wěn)態(tài)誤差解：系統(tǒng)有兩個極點無附加零點時設(shè)附加零點為S+ZC若選擇則有可使系統(tǒng)在斜坡函數(shù)形式的輸入作用下，穩(wěn)態(tài)誤差為零。七、根軌跡分析舉例【例4】 分析K的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試分析系統(tǒng)穩(wěn)定時K的范圍。系統(tǒng)穩(wěn)定的K的范圍為:0K35【解】【例5】 分析K的變化對系統(tǒng)的影響設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 求系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡，并分析 時系統(tǒng)的動

7、態(tài)性能?！窘狻浚?）當(dāng)0K0.686時，閉環(huán)有兩 實極點，響應(yīng)為非周期的；（2）當(dāng)0.686 K23.4時，階躍響應(yīng)又同（1） 但動態(tài)過渡過程較快些。 【例6】 單位反饋系統(tǒng)如圖所示：（1）繪出根軌跡，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；（2）估算 時的K值。【解】【例7】已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，Kg= 0，繪制系統(tǒng)根軌跡并確定： 使系統(tǒng)穩(wěn)定且為欠阻尼狀態(tài)時開環(huán)增益 K 的取值范圍； 復(fù)極點對應(yīng) =0.5 (=60o) 時的 K 值及閉環(huán)極點位置； 當(dāng) 3=-5 時，1，2=？相應(yīng) K=? 當(dāng) Kg=4 時， 求1, 2, 3 并估算系統(tǒng)動態(tài)指標(biāo)( ,ts)。【解】 實軸上的根軌跡：-,-4, -2,0 漸近線： 分離點

8、：整理得：解根： 虛軸交點：依題，對應(yīng) 設(shè)應(yīng)有：解根：比較系數(shù) 使系統(tǒng)穩(wěn)定且為欠阻尼狀態(tài)時開環(huán)增益 K 的取值范圍有： 復(fù)極點對應(yīng) x=0.5 (b=60o) 時的 K 值及閉環(huán)極點位置由根之和解根：試根 當(dāng) l3=-5 時，l1，2=？相應(yīng) K=? 當(dāng) Kg =4時， 求l1, 2, 3 并估算系統(tǒng)動態(tài)指標(biāo)( ,ts)令視 l1,2 為主導(dǎo)極點 當(dāng) Kg=4 時， 求l1, 2, 3 并估算系統(tǒng)動態(tài)指標(biāo)( ,ts)46 用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡一、求開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)開環(huán)零、極點的位置num=2 5 1;den=1 2 3;pzmap(num,den)

9、;titlepole-zero Map分子多項式分母多項式求零極點函數(shù)打印標(biāo)題二、繪制常規(guī)根軌跡例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖num=2 5 1;den=1 2 3;rlocus(num,den);Title（控制系統(tǒng)根軌圖）分子多項式分母多項式繪制根軌跡函數(shù)打印標(biāo)題三、繪制帶阻尼比和自然振蕩頻率柵格例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖及帶阻尼比和自然振蕩頻率柵格。num=2 5 1;den=1 2 3;rlocus(num,den);sgridTitle（控制系統(tǒng)根軌圖和柵格）分子多項式分母多項式繪制根軌跡函數(shù)打印標(biāo)題繪制柵格四、系統(tǒng)性能分析例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖并分析系統(tǒng)性能。num=2 5 1;den=1 2 3;rlocus(num,den);Sgrid;k,p=rlocfind(num,den);Title（控制系統(tǒng)根軌圖和柵格）;分子多項式分母多項式繪制根軌跡函數(shù)打印標(biāo)題繪制柵格求十字光標(biāo)處的閉環(huán)極點