人教版數(shù)學(xué)九下07《相似多邊形及位似》知識講解+鞏固練習(xí)(基礎(chǔ)版)（含答案）

1、相似多邊形及位似-知識講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握相似多邊形的性質(zhì)及應(yīng)用；2、了解圖形的位似，知道位似變換是特殊的相似變換，能利用位似的方法，將一個(gè)圖形放大或縮小；3、了解黃金分割值及相關(guān)運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似多邊形相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等（2）相似多邊形的周長比等于相似比（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方要點(diǎn)詮釋：用相似多邊形定義判定特殊多邊形的相似情況：（1）對應(yīng)角都相等的兩個(gè)多邊形不一定相似，如：矩形；（2）對應(yīng)邊的比都相等的兩個(gè)多邊形不一定相似，如：菱形；（3）邊數(shù)相同的正多邊形都相似，如：正方形，正五邊形.要點(diǎn)二、位似1.位似圖形定義

2、: 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；（2) 位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比； （3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.要點(diǎn)詮釋：（1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.（2）位似變換中對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.3. 平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同：圖形經(jīng)過平移、旋

3、轉(zhuǎn)或軸對稱的變換后，雖然對應(yīng)位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個(gè)圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的4. 作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線； 第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例； 第四步：順次連接各對應(yīng)點(diǎn). 要點(diǎn)詮釋：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫法.要點(diǎn)三、黃金分割【高清課程名稱： 位似和黃金分割 高清ID號：394501關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：黃金分割及總結(jié)】定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段

4、與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即（此時(shí)線段AP叫作線段PB、AB的比例中項(xiàng)），則P點(diǎn)就是線段AB的黃金分割點(diǎn)（黃金點(diǎn)），這種分割就叫黃金分割要點(diǎn)詮釋：1.黃金分割值：設(shè)AB=1，AP=x，則BP= (舍負(fù))2.黃金三角形：頂角為36的等腰三角形，它的底角為72，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割【典型例題】類型一、相似多邊形1.如圖，矩形草坪長20m，寬16m,沿草坪四周有2m寬的環(huán)形小路，小路內(nèi)外邊緣所形成的兩個(gè)矩形相似嗎？為什么？ABCDEFGH【答案與解析】因?yàn)榫匦蔚乃膫€(gè)角都是直角，所以關(guān)鍵是看矩形ABCD與矩形EFGH的對

5、應(yīng)邊的比是否相等.，而，矩形ABCD與矩形EFGH的對應(yīng)邊的比不相等，因而它們不相似.【總結(jié)升華】兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，必須同時(shí)滿足“對應(yīng)邊的比都相等，對應(yīng)角都相等”這兩個(gè)條件才能相似，缺一不可.舉一反三【變式】（2015梧州一模）如圖，一張矩形紙片ABCD的長AB=a，寬BC=b將紙片對折，折痕為EF，所得矩形AFED與矩形ABCD相似，則a：b=（）A. 2：1 B. ：1 C. 3： D. 3：2【答案】B.提示: 矩形紙片對折，折痕為EF，AF=AB=a，矩形AFED與矩形ABCD相似，=，即=，（）2=2，=故選B 2.（2014甘肅模擬）如圖，在長8cm，寬4cm 的矩形中截去一個(gè)

6、矩形，使留下的矩形（陰影部分）與原矩形相似，那么留下的矩形的面積為（ ） A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm【答案】C.【解析】設(shè)留下的矩形的寬為x，留下的矩形與原矩形相似，x=2，留下的矩形的面積為：24=8（cm2）故答案為：8故選C 【總結(jié)升華】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，在解題時(shí)要能根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出方程是本題的關(guān)鍵類型二、位似3. 利用位似圖形的方法把五邊形ABCDE放大1.5倍.ABCDEA1B1C1D1E1【答案與解析】即是要畫一個(gè)五邊形ABCDE，要與五邊形ABCDE相似且相似比為1.5. ABCDE 畫法是： 1在平面上任取一點(diǎn)O. 2以O(shè)為端

7、點(diǎn)作射線OA、OB、OC、OD、OE.3在射線OA、OB、OC、OD、OE上分別取點(diǎn)A、B、C、D、E，使OA:OA OB:OBOC:OCOD:ODOE:OE1.5. 4連結(jié)AB、BC、CD、DE、EA.這樣： EQ f(AB,AB) EQ f(BC,BC) EQ f(CD,CD) EQ f(DE,DE) EQ f(AE,AE)1.5. 則五邊形ABCDE為所求. 另外一種情況，所畫五邊形跟原五邊形分別在位似中心的兩側(cè).【總結(jié)升華】由本題可知，利用位似的方法，可以把一個(gè)多邊形放大或縮小.4. 如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）.畫出以點(diǎn)O為

8、位似中心，矩形OABC的位似圖形OA B C ，使它的面積等于矩形OABC面積的，并分別寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).【答案與解析】因?yàn)榫匦蜲ABC與矩形OABC是位似圖形，面積比為1：4，所以它們的位似比為1：2. 連接OB，（1）分別取線段OA、OB、OC的中點(diǎn)A、B、C，連接O A、AB、BC、 CO，矩形OABC就是所求的圖形. A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，0），B（3，2），C（0，2）.（2）分別在線段OA，OB，OC的反向延長線上截取O A、O B、O C，使OA=OA，OB=OB，O C=OC，連接 AB、BC，則矩形O ABC為所求.A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-3，0）

9、，B（-3，-2），C（0，-2）. 【總結(jié)升華】平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫位似圖形，若沒有明確指出只畫一個(gè)，一定要把兩種情況都畫在坐標(biāo)系內(nèi)，并寫出兩種坐標(biāo).舉一反三【高清課程名稱： 位似和黃金分割 高清ID號： 394501關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：位似作圖及例4】【變式】在已知三角形內(nèi)求作內(nèi)接正方形【答案】作法：（1）在AB上任取一點(diǎn)G，作GDBC；（2）以GD為邊，在ABC內(nèi)作一正方形DEFG；（3）連接BF，延長交AC于F；（4）作FGCB，交AB于G，從F、G分別作BC的垂線FE， GD；四邊形DEFG即為所求類型三、黃金分割5.求做黃金矩形（寫出具體做題步驟）并證明.【答案與解析】寬與

10、長的比是的矩形叫黃金矩形（心理測試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感）黃金矩形的作法如下（如圖所示）：第一步：作一個(gè)正方形ABCD；第二步：分別取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN；第三步：以N為圓心，ND長為半徑畫弧，交BC的延長線于E；第四步：過E作EFAD，交AD的延長線于F即矩形DCEF為黃金矩形證明：在正方形ABCD中，取， N為BC的中點(diǎn)，ABCDEFMN 在中，又 ， 故矩形DCEF為黃金矩形【總結(jié)升華】要求熟練掌握多邊形相似的比例關(guān)系會利用相似比，求未知線段的長度或比值舉一反三【變式】美是一種感覺，當(dāng)人的肚臍是人的身高的黃金分割點(diǎn)時(shí)，人的下半身長與身高之比約為

11、0.618，人的身段成為黃金比例，給人一種美感某女士身高165cm，下半身長與身高的比值是0.60，為盡可能達(dá)到勻稱的效果，她應(yīng)穿高跟鞋的高度大約為（）A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm【答案】D.該女士身高165cm，下半身長與身高的比值是0.60，此女士下半身長是1650.60=99cm，設(shè)需要穿的高跟鞋是xcm，根據(jù)黃金分割的定義得： 0.618， 解得：x8 故選D相似多邊形及位似-鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一. 選擇題1.下面給出了相似的一些命題：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相 似；（5）正六邊形都相似；其中正確的有（）A2個(gè)

12、B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)2.下列說法錯(cuò)誤的是（ ）. A.位似圖形一定是相似圖形.B.相似圖形不一定是位似圖形. C.位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比. D.位似圖形中每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線必相互平行.3.下列說法正確的是（ ） A.分別在ABC的邊AB、AC的反向延長線上取點(diǎn)D、E，使DEBC，則ADE 是ABC放大后的圖形. B.兩位似圖形的面積之比等于相似比. C.位似多邊形中對應(yīng)對角線之比等于相似比. D.位似圖形的周長之比等于相似比的平方.4.平面直角坐標(biāo)系中，有一條“魚，它有六個(gè)頂點(diǎn)”，則（ ） A.將各點(diǎn)橫坐標(biāo)乘以2，縱坐標(biāo)不變，得到的魚與原來的魚位似. B.將

13、各點(diǎn)縱坐標(biāo)乘以2，橫坐標(biāo)不變，得到的魚與原來的魚位似. C.將各點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)都乘以2，得到的魚與原來的魚位似. D.將各點(diǎn)橫坐標(biāo)乘以2，縱坐標(biāo)乘以，得到的魚與原來的魚位似.5.（2015杭州模擬）如圖，四邊形ABCD四邊形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，則邊C1D1的長是（）A. 10 B. 12 C. D. 6如果點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且ACBC，則下列各式不正確的是（）A. AB：AC=AC：BC B. AC= C.AB= D.BC0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，若四邊形EFDC

14、與矩形ABCD相似，則AD=（）A. B. C. D.2二. 填空題8. 如果兩個(gè)位似圖形的對應(yīng)線段長分別為3cm和5cm，且較小圖形周長為30cm，則較大圖形周長為_ _. 9.已知ABC，以點(diǎn)A為位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的圖形，則這樣的圖形可以作出_個(gè)，它們之間的關(guān)系是_.10如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形，已知OA=10cm，OA=20cm，則五邊形ABCDE的周長與五邊形的周長的比值是_ 11. ABC中，D、E分別在AB、AC上，DEBC，ADE是ABC縮小后的圖形.若DE把ABC的面積分成相等的兩部分，則AD：AB=_.12.（20

15、15春慶陽校級月考）圖中的兩個(gè)四邊形相似，則x+y=，=13.如圖（1），將一個(gè)正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個(gè)正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取ABC和DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖（2）中陰影部分，取A1B1C1和D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖（3）中陰影部分，如此下去，則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為_.14. 如圖，ABC中，AB=AC=4，BAC=36，ABC的平分線與AC邊的交點(diǎn)D為邊AC的黃金分割點(diǎn)（ADDC），則BC=_.三 綜合題15.如圖，D、E分別AB、AC上的點(diǎn). (1)如果DEBC，那么

16、ADE和 ABC是位似圖形嗎？為什么？(2)如果ADE和 ABC是位似圖形，那么DEBC嗎？為什么？16.（2014南通）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AE為邊作一個(gè)菱形AEFG，且菱形AEFG菱形ABCD，連接EB，GD（1）求證：EB=GD；（2）若DAB=60，AB=2，AG=，求GD的長17. 如圖1，矩形ODEF的一邊落在矩形ABCO的一邊上，并且矩形ODEF矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=4（1）求矩形ODEF的面積；（2）將圖1中的矩形ODEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA，ACE的面積是否存在最大值或最小值？若

17、存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由【答案與解析】一、選擇題1【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定對應(yīng)相等，故錯(cuò)誤；（2）（3）（5）符合相似的定義，故正確；（4）對應(yīng)邊的比不一定相等故錯(cuò)誤 故正確的是：（2）（3）（5）故選B2【答案】D.3【答案】C.4【答案】C. 5【答案】C 【解析】四邊形ABCD四邊形A1B1C1D1，=，AB=12，CD=15，A1B1=9，C1D1=6【答案】D.【解析】ACBC，AC是較長的線段， 根據(jù)黃金分割的定義可知：AB：AC=AC：BC，AC=, AB=AC0.618AB故選D7.【答案】B.【解析】AB=1，設(shè)AD=x，則FD=x-1，F(xiàn)

18、E=1，四邊形EFDC與矩形ABCD相似， ，解得,（負(fù)值舍去），經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解故選B二、填空題8.【答案】50cm.9.【答案】2個(gè)； 全等.10.【答案】1：2 【解析】五邊形ABCDE與五邊形ABCDE位似，OA=10cm，OA=20cm，五邊形ABCDE五邊形ABCDE，且相似比為：OA：OA=10：20=1：2，五邊形ABCDE的周長與五邊形ABCDE的周長的比為：OA：OA=1：2 故答案為：1：211.【答案】 ；【解析】由BCDE可得ADEABC，所以，故. 12.【答案】63，85.【解析】由于兩個(gè)四邊形相似，它們的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等， 18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，則x+y=36+27=63a=360（77+83+115）=85故答案為63，8513. 【答案】.【解析】A1、F1、B1、D1、C1、E1分別是ABC和DEF各邊中點(diǎn)，正六角星形AFBDCE正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比為2：1，正六角星形AFBDCE的面積為1，正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為，同理可得，第三個(gè)六角形的面積為：=，第四個(gè)六