高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件導(dǎo)數(shù)與微分

1、第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié) 求導(dǎo)法則第三節(jié) 微分及其在近似計(jì)算中的作用導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念一 兩個(gè)實(shí)例四 求導(dǎo)舉例二 導(dǎo)數(shù)的概念三 可導(dǎo)與連續(xù)一、 兩個(gè)實(shí)例1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則 到 的平均速度為而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)2. 曲線的切線斜率曲線在 M 點(diǎn)處的切線割線 M N 的極限位置 M T(當(dāng) 時(shí))割線 M N 的斜率切線 MT 的斜率兩個(gè)問題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增

2、量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題二、導(dǎo)數(shù)的概念定義1 . 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點(diǎn)處可導(dǎo), 在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù). 運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在 M 點(diǎn)處的切線斜率說明: 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).若上述極限不存在 ,在點(diǎn) 不可導(dǎo). 若也稱在若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就說函數(shù)就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo). 的導(dǎo)數(shù)為無窮大 .在點(diǎn)的某個(gè)右 鄰域內(nèi)2. 左 右導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在 處的右 導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)定義2 . 設(shè)函數(shù)有定義,存在,定理

3、 函數(shù)在點(diǎn)且存在簡(jiǎn)寫為在點(diǎn)處右 導(dǎo)數(shù)存在定理3. 函數(shù)在點(diǎn)必 右 連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在 ,則稱在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間 上可導(dǎo).可導(dǎo)的充分必要條件是且3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與 x 軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與 x 軸垂直 .曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:三、 可導(dǎo)與連續(xù)定理1.證: 設(shè)在點(diǎn) x 處可導(dǎo),存在 ,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù) .注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).即*例 3 求函數(shù) y = c(c為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù).解 因?yàn)?y = c為常數(shù),所以 y = 0,這就是

4、說:常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零.即例如:若 y = 8 ,則四、求導(dǎo)舉例 解(sin x) = cos x.(cos x) = - sin x.*例 4求函數(shù) y = sin x 的導(dǎo)數(shù).即同理可得1,2,3步合并解即(ex) = ex.特別地,當(dāng)a=e 時(shí),有(ax) = ax lna .例 5求函數(shù) y = ax ( a0 , a1) 的導(dǎo)數(shù) .(當(dāng)x0 時(shí),與 xlna 是等價(jià)無窮小)1,2,3合并*例 6求函數(shù) y = ln x (x (0, ) ) 的導(dǎo)數(shù).解即同理可得1,2,3合并y = (x+ x)3 - x3 = 3x2x + 3x(x)2 + (x)3 解3x2+ 3xx + (x)2

5、即 例 8 求函數(shù) y = x3 的導(dǎo)數(shù).同理可得冪函數(shù)求導(dǎo)公式: ( a 為任意實(shí)數(shù) )例 9求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù):(1)(2)解(1) 因?yàn)樗?2) 因?yàn)樗运伎碱}： 3. 函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù) ,是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?？與導(dǎo)函數(shù)4. 設(shè)存在 , 則小結(jié) 1.導(dǎo)數(shù)的概念:2.可導(dǎo)與連續(xù):3.求導(dǎo)舉例:可導(dǎo)必定連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo)4.已學(xué)過的導(dǎo)數(shù)公式(sin x) = cos x.(cos x) = - sin x.(ex) = ex.(ax) = ax lna .作業(yè) P60 2. 3. 6. 7謝謝同學(xué)們 一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 二、復(fù)

6、合函數(shù)的求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 五、三個(gè)求導(dǎo)方法六、高階導(dǎo)數(shù)第二節(jié) 求導(dǎo)法則 第二節(jié) 求導(dǎo)法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 例2. 求證證: 類似可證:二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則證:在點(diǎn) u 可導(dǎo),故（當(dāng) 時(shí) )故有例如,關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.解 對(duì)于復(fù)合函數(shù)的分解比較熟悉后,就不必再寫出中間變量,而可以采用下列例題的方式來計(jì)算 例5. 求下列導(dǎo)數(shù):解: (1)(2)(3)說明: 類似可得例6. 設(shè)求解:思考: 若存在 , 如何求的導(dǎo)數(shù)?這兩個(gè)記號(hào)含義不同練習(xí): 設(shè)例7. 設(shè)解:記則(反雙曲正弦)的

7、反函數(shù)三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證:在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此例9. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解: 1) 設(shè)則類似可求得利用, 則2) 設(shè)則特別當(dāng)時(shí),小結(jié):解:1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 小結(jié).和，差，積，商求導(dǎo)法則.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.反函數(shù)求導(dǎo)法則.初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、進(jìn)一步練習(xí) 練習(xí)1 電流電路中某點(diǎn)處的電流i是通過該點(diǎn)處的求其電流函數(shù)i(t) ？ (2)t=3時(shí)的電流是多少？ (3) 什么時(shí)候電流為28？電量q關(guān)于時(shí)間的

8、瞬時(shí)變化率，如果一電路中的電量為。解(1)(2) (3) 解方程得即當(dāng) 練習(xí)2 速度已知某物體做直線運(yùn)動(dòng)，路程(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系為 ，求物體在解物體運(yùn)動(dòng)的速度為乘積的求導(dǎo)法則時(shí)的速度？R為的電路中的電壓由下式給出： 解電壓V關(guān)于可變電阻R的變化率為：商的求導(dǎo)法則在時(shí)電壓關(guān)于可變電阻R的變化率為：練習(xí)3 電壓的變化率 一個(gè)電阻為 ，可變電阻時(shí)電壓關(guān)于可變電阻R的變化率求在練習(xí)4 制冷效果 某電器廠在對(duì)冰箱制冷后斷電問冰箱溫度T關(guān)于時(shí)間t的變化率是多少？解冰箱溫度T關(guān)于時(shí)間t的變化率為測(cè)試其制冷效果，t小時(shí)后冰箱的溫度為 練習(xí)5 并聯(lián)電阻當(dāng)電流通過兩個(gè)并聯(lián)電阻r1,r2時(shí)，總電

9、阻由下式給出： 求R關(guān)于r1的變化率，假定r2是常量.解由 知 ，因?yàn)閞2是常數(shù)，所以 練習(xí)6 放射物的衰減放射性元素碳-14（1g） 的衰減由下式給出： 其中Q是t年后碳-14存余的數(shù)量(單位：g)問碳-14的衰減速度（單位：g/年）是多少？解碳-14的衰減速度v為 (g/年) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 案例7 電阻中電流與電壓的關(guān)系解 因?yàn)槠渲?是電流的峰值（最大值），稱振幅，相位 由 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求電流i.在電容器兩端加正弦電流電壓從而可知，電容器上電流與電壓有下列關(guān)系：（1）電流i與電壓U是同頻率的正弦波；（2）電流i比電壓Uc相位提前（3）電壓峰值與電流峰值之比為電工中稱為容抗（容性

10、電抗）. 作業(yè) P6.(2)(3)(5)(6)(9) 10. 15.(2)(7)(11)謝謝同學(xué)們五、三個(gè)求導(dǎo)方法若由方程可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .例如,可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此.隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)例12. 求由方程在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故確定的隱函數(shù)例13. 求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解: 橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)故切線方程為即例14. 求的導(dǎo)數(shù) . 解: 兩邊取對(duì)數(shù) , 化為隱式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)2

11、.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 1) 對(duì)冪指函數(shù)可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :說明:按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:例14 求對(duì) x 求導(dǎo)兩邊取對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 3.由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù)可導(dǎo), 且則時(shí), 有時(shí), 有(此時(shí)看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,不要求掌握切線方程為:例17. 拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻 t 的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè) 為切線傾角,則拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出 (即 t = 0 )時(shí), 傾角為達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)

12、刻高度落地時(shí)刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向六、高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運(yùn)動(dòng)定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,或的二階導(dǎo)數(shù) ,記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推 ,分別記作則稱(sin x) = cos x.(cos x) = - sin x.設(shè)求解:依次類推 ,例19.思考: 設(shè)問可得例20. 設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定 0 ! = 1思考:例21. 設(shè)求例22. 設(shè)求解: 一般地 ,類似可證:作業(yè) P6221.(1) 24.(2) 25.(2) 27 謝謝同學(xué)們 一、微分的概念 二、微分的幾何意義 三、微分的運(yùn)算法則 四、微分

13、在近似計(jì)算中的應(yīng)用 第三節(jié) 微分及其在近似計(jì)算中的作用一、微分的概念 例1: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x , 面積為 A , 則面積的增量為關(guān)于x 的線性主部高階無窮小時(shí)為故稱為函數(shù)在 的微分當(dāng) x 在取得增量時(shí),變到邊長(zhǎng)由其的微分,定義: 若函數(shù)在點(diǎn) 的增量可表示為( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù)而 稱為記作即定理: 函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,說明:時(shí) ,所以時(shí)很小時(shí), 有近似公式與是等價(jià)無窮小,當(dāng)故當(dāng)二 微分的幾何意義當(dāng) 很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記三、 微分的運(yùn)算法則設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則(C 為常數(shù))分別可微 ,的微分為微分形式不變5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P57表)例9.求 解:例10. 設(shè)求 解: 利用一階微分形式不變性 , 有例11. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意: 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如四、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用