高中數(shù)學選修第一冊：空間向量與空間距離

1、PAGE 空間向量與空間距離（45分鐘 100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.已知ABC的三個頂點的坐標為A(-1,0,1),B(1,3,5),C(-1,-1,1),則BC邊上的中線AD的長為()A.6B.6C.3D.32.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點,則點A1到平面MBD的距離是()A.66aB.36aC.34aD.63a3.(2013開封高二檢測)四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E,F分別為PB,PD的中點,則P到直線EF的距離為()A.1B.22C.32D.624.已知正方體ABCD-A1B1C

2、1D1的棱長為3,E為CD的中點,則點D1到平面AEC1的距離為()A.6B.3C.2D.15.(2013石家莊高二檢測)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則直線A1C1到平面ACD1的距離為()A.1B.33C.63D.3二、填空題(每小題8分,共24分)6.(2013東莞高二檢測)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,則AC1的長為.7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面為直角梯形,ABCD且ADC=90,AD=1,CD=3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中點,則A1B1到平面ABE的距離是.

3、8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,則平面A1BC1與平面ACD1的距離是.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.正方形ABCD的邊長為2,E,F分別是AB和CD的中點,將正方形沿EF折成直二面角(如圖所示),M是矩形AEFD內(nèi)一點,如果MBE=MBC,MB和平面BCFE所成的角的正切值為12,求點M到直線EF的距離.10.(2013濟南高二檢測)如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求|BF|.(2)求點C到平面AEC1F的距離.11.(能力挑戰(zhàn)題)如圖所示

4、,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分別為CC1,B1C1,A1C1的中點,EF與B1D相交于點H.(1)求證:B1D平面ABD.(2)求證:平面EGF平面ABD.(3)求平面EGF與平面ABD的距離.答案解析1.【解析】選A.易知D(0,1,3),AD=(1,1,2),|AD|=6.2.【解析】選A.如圖所示,建立空間直角坐標系,則A1(a,0,a),M(a,0,a2),B(a,a,0),D(0,0,0)MA1=(0,0,a2),DM=(a,0,a2),DB=(a,a,0),設平面MBD的法向量為n=(x,y,z),則 QUOTE n

5、DM=ax+a2z=0,nDB=ax+ay=0, 令x=1,得n=(1,-1,-2)點A1到平面MBD的距離為 QUOTE |nMA1|n| =66a.【一題多解】由于M是AA1的中點,故A1與A到平面MBD的距離相等.又VA-MBD=VB-AMD,即13122a32ah=1312a2aa,解得h=66a.3.【解析】選D.建系如圖,即P(0,0,2),E(1,0,1),F(0,1,1),EP=(-1,0,1),EF=(-1,1,0).EP在EF上的投影為|EPEF|EF|=12=22,點P到直線EF的距離為|EP|2-(22)2=62.4.【解題指南】先求平面AEC1的法向量,代入點面距公式

6、求解.【解析】選A.建立如圖所示空間直角坐標系,則A(3,0,0),D1(0,0,3),E(0,32,0),C1(0,3,3),AE=(-3,32,0),AC1=(-3,3,3),D1C1=(0,3,0),設n=(x,y,z)為平面AEC1的法向量,則令x=1,得y=2,z=-1,n=(1,2,-1).D1到平面AEC1的距離為 QUOTE |D1C1n|n| =|(0,3,0)(1,2,-1)|6=6.5.【解析】選B.易知A1C1平面ACD1,則點A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離.建系如圖,易知AA1=(0,0,1)平面ACD1的一個法向量為n=(1,1,1),

7、故所求的距離為 QUOTE |AA1n|n| =33.6.【解析】AC1=AB+AD+AA1,|AC1|2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1=1+22+32+2|AB|AD|cos+2|AB|AA1|cos+2|AD|AA1|cos=14+212cos 90+213cos 60+223cos 60=23,|AC1|=23,即AC1=23.答案:237.【解析】以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),B(1,23,0),E(0,3,1),A1(1,0,2),AB=(0

8、,23,0),BE=(-1,-3,1),設平面ABE的法向量為n=(x,y,z),則解得x=zy=0,取z=1,則n=(1,0,1).又易證A1B1平面ABE,所以A1B1到平面ABE的距離等于點A1到平面ABE的距離,又AA1=(0,0,2),點A1到平面ABE的距離為 QUOTE |AA1n|n| =22=2.答案:28. 【解析】由AD1BC1,A1BD1C可證得平面A1BC1平面ACD1,建立如圖所示的空間直角坐標系,AB=4,BC=3,CC1=2,則A1(3,0,2),B(3,4,0),C1(0,4,2),A(3,0,0).A1B=(0,4,-2),BC1=(-3,0,2).設平面A

9、1BC1的法向量為n=(x,y,z),則nA1B,nBC1,解得x=23zy=12z,取z=6,則n=(4,3,6),又AB=(0,4,0),則平面A1BC1與平面ACD1的距離為 QUOTE |ABn|n| =1242+32+62=126161.答案:1261619.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,作MNEF,垂足為N,則MN平面BCFE,連接BN,則MBN即為MB與平面BCFE所成的角,tanMBN=12,設M(0,y,z),0y2,0z1,則由題意可知N(0,y,0),而E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),BE=(-1,0,0),BC=(0,2,0),BM=(-1

10、,y,z),BN=(-1,y,0),MN=(0,0,-z),cosMBE=BMBE|BM|BE|=11+y2+z2,cosMBC=BMBC|BM|BC|=2y21+y2+z2=y1+y2+z2,tanMBN=|MN|BN|=z1+y2=12.MBE=MBC,y=1,z=22.因此點M到直線EF的距離為22.10.【解析】以D為原點,DA,DC,DF所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).(1)設F(0,0,a),由AF=EC1,得(-2,0,a)=(-2,0,2),a=2.F(0

11、,0,2),BF=(-2,-4,2).|BF|=26.(2)設n=(x,y,z)為平面AEC1F的法向量,由 QUOTE nAE=0,nAF=0, 得4y+z=0,-2x+2z=0.取z=1,則n=(1,-14,1),又CC1=(0,0,3),C到平面AEC1F的距離d= QUOTE |CC1n|n| =43311.11.【解題指南】尋找條件中的三線兩兩垂直建立空間直角坐標系,正確地求出圖中各點坐標,然后利用向量的坐標運算證明、求解.【解析】如圖所示,建立空間直角坐標系,設A1(a,0,0),則B1(0,0,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,

12、2,2),G(a2,1,0).(1)B1D=(0,2,2),AB=(-a,0,0),BD=(0,2,-2).B1DAB=0+0+0=0,B1DBD=0+4-4=0.B1DAB,B1DBD.又ABBD=B,B1D平面ABD.(2)AB=(-a,0,0),BD=(0,2,-2).GF=(-a2,0,0),EF=(0,1,-1),GF=12AB,EF=12BD.GFAB,EFBD.又GFEF=F,ABBD=B,平面EGF平面ABD.(3)方法一:由(1)(2)知DH為平面EFG與平面ABD的公垂線段.設B1H=B1D=(0,2,2),則EH=(0,2,2-1),EF=(0,1,-1).EH與EF共線,21=2-1-1,即=14,B1H=(0,12,12),HD=(0,32,32),|HD|=322.平面EG