§101二重積分的定義與性質(zhì)課件

1、第十章 重 積 分 一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分第1頁，共34頁。1三、二重積分的性質(zhì) 10.1 二重積分的概念與性質(zhì) 一、引例 二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計(jì)算 第2頁，共34頁。2解法: 類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” 第3頁，共34頁。31)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲

2、頂柱體第4頁，共34頁。44)“取極限”令第5頁，共34頁。52. 平面薄片的質(zhì)量 有一個(gè)平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為設(shè)D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .第6頁，共34頁。62)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第 k 小塊的質(zhì)量第7頁，共34頁。7兩個(gè)問題的共性：(1) 解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 第8頁，共34頁

3、。8二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù) I , 使可積 , 在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 第9頁，共34頁。9引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 記作第10頁，共34頁。10二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如, 在D :上二重積分存在 ;在D

4、上 二重積分不存在 . 第11頁，共34頁。11三、二重積分的性質(zhì)( k 為常數(shù)) 為D 的面積, 則 第12頁，共34頁。12特別, 由于則5. 若在D上6. 設(shè)D 的面積為 ,則有第13頁，共34頁。137.(二重積分的中值定理)證: 由性質(zhì)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此第14頁，共34頁。14例1. 比較下列積分的大小:其中解: 積分域 D 的邊界為圓周它與 x 軸交于點(diǎn) (1,0) ,而域 D 位從而于直線的上方, 故在 D 上 第15頁，共34頁。15例2. 估計(jì)下列積分之值解: D 的面積為由于積分性質(zhì)5即: 1

5、.96 I 2D第16頁，共34頁。168. 設(shè)函數(shù)D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對(duì)稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有第17頁，共34頁。17例3. 計(jì)算其中D 由所圍成.解: 令(如圖所示)顯然,第18頁，共34頁。18四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的第19頁，共34頁。19同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算第20頁，共34頁。20例4. 求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性,

6、 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為第21頁，共34頁。21內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義2. 二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法第22頁，共34頁。22被積函數(shù)相同, 且非負(fù), 思考與練習(xí)解: 由它們的積分域范圍可知1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:第23頁，共34頁。232. 設(shè)D 是第二象限的一個(gè)有界閉域 , 且 0 y 1, 則的大小順序?yàn)?( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有第24頁，共34頁。243. 計(jì)算解:第25頁，共34頁。254. 證明:其中D 為解: 利用題中 x , y 位置的對(duì)稱性, 有又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .第26頁，共34頁。26練習(xí)題1. 估計(jì) 的值, 其中 D 為解: 被積函數(shù)D 的面積的最大值的最小值第27頁，共34頁。272. 判斷的正負(fù).解：當(dāng)時(shí)，故又當(dāng)時(shí)，于是第28頁，共34頁。28思考題 將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處.第29頁，共34頁。29 定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重