空間向量復習

1、空間向量及其運算1.若 a=(2x,1,3)，b = (1，一2y,9)，且 ab，則()11一2, y=23y=2A. x=1, y=11C. x=6,2.(青島月考)3 y=2B. x1D. x=6A|By如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若A=a, AD1 =b, AA=c,則下列向量中與BM相等的向量是().1 , 11 , 1A.+cB.+cC.%-2b+cD.2ab+c3.(廣州調(diào)研)在平行六面體ABCDA B C D中，已知ZBAD=ZAZ AB=ZAZ AD =60，AB = 3, AD=4，AA=5，則IA；? 1=.有下列4個命題：若p

2、=xa+yb，貝V p與a、b共面；若p與a、b共面，則p=xa+yb；若MLP=xMA+yMB，則 P、M、A、B 共面；若 P、M、A、B 共面，則MP=xMA+yMB.其中真命題的個數(shù)是()A. 1B. 2 C. 3 D. 4 A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)這四個點(填共面或不共面).數(shù)列有哪些特征？你能想到的等比數(shù)列有哪些性質(zhì)？知識點一等比數(shù)列定義及相關基本量【知識梳理】空間向量的有關概念空間向量：在空間中，具有 和 的量叫做空間向量.相等向量：方向且模 的向量.共線向量定理對空間任意兩個向量a, b(b尹0), a b的充要條件是推論 如

3、圖所示，點P在l上的充要條件是：OP=OAta其中a叫直線l的方向向量，tR，在l 上取AB=a,則可化為dP=或 OP=(1-t)OA + tOB.(4)共面向量定理如果兩個向量a, b不共線，那么向量p與向量a, b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)?數(shù)對3, y)，使p=xa+yb，推論的表達式為MP=xMA+yMB或?qū)臻g任意一點O有，0P=或O，P=xdAydBz(0M，其中 x+y+z=.空間向量基本定理如果三個向量a, b, c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y, z,使得 p=，把a, b, c叫做空間的一個基底.空間向量的數(shù)量積及運算律數(shù)量積及相關概念兩向量的夾

4、角已知兩個非零向量a, b,在空間任取一點O,作oA=a, oB=b,則 叫做向量an與b的夾角，記作，其范圍是，右a, b=2，則稱a與b，記作 ab.兩向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a, b,則 叫做向量a, b的數(shù)量積，記作，即.空間向量數(shù)量積的運算律結(jié)合律：() b=；交換律：ab=；分配律：a*(b+c)=.空間向量的坐標表示及應用數(shù)量積的坐標運算右a=(i, a2, %)，b = (b, b, b),貝0 ab=.共線與垂直的坐標表示設 a=(a1，a2, a3), b = (b1，b2，b3),貝0 ab(b 尹0)。, , , ab。(a, b 均為非零向量).模、夾角和距離公式

5、設a=(a, a2, a), b = (b、, b?, b3),則 a i=0a=cosa, b=jajjbj=若A(a1, b1, c1), B(a2, b2, c則 lABl=.【例題精講】題型一空間基向量的應用例1已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點，N為AC的中點，P為OA的中點，Q 為OB的中點，若AB = OC，求證：PM刀QN.【課堂練習】1.如圖，在正四面體ABCD中，E、F分別為棱AD、BC的中點，則異面直線AF和CE所 成角的余弦值為.【例題精講】題型二利用向量法判斷平行或垂直例2 (合肥調(diào)研)兩個邊長為1的正方形ABCD與正方形ABEF相交于AB,ZEBC=90, 點

6、M、N分別在BD、AE上，且AN=DM.(1)求證：心平面正8。；(2)求MN長度的最小值.【課堂練習】2.如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2 AF=1, M 是線段EF的中點.求證：(1)AM平面 BDE； (2)AM面 BDF.明理由.【例題精講】題型三利用向量法解探索性問題例3.(泉州月考)如圖，平面PAC平面ABC,AABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F, O 分別為 PA，PB，AC 的中點，AC=16, PA=PC=10.(1)設G是OC的中點，證明尸弓平面BOE；在AOB內(nèi)是否存在一點M,使成上平面80封？若存在，求出點M到OA，OB的

7、距 離；若不存在，說明理由.【課堂練習】3.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以ZABC為直角的等腰直角三角形，AC=2s BB1 = 3a，D為A1C1的中點，E為B1C的中點.求直線BE與A1C所成的角的余弦值；在線段AA1上是否存在點F，使。尸上平面方己尸？若存在，求出AF；若不存在，請說1.下列命題:若A、B、C、D是空間任意四點，則有AB+BC+CD+DA = 0；ai lbl = la+bl是a、b共線的充要條件；若a、b共線，則a與b所在直線平行；對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C,若OP=xOA+yOB+zOC（其中x、y、沱 R ）則尸、A、B、C四點共面.其

8、中假命題的個數(shù)是（）A. 1B. 2C. 32.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中， DC的中點，則直線D. 4O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、OM()既垂直于AC，又垂直于MN垂直于AC，但不垂直于MN垂直于MN，但不垂直于AC與AC、MN都不垂直3.（紹興月考）如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1 中，AA1底面ABC，AB=BC=AA1，ZABC=90，點 E、F分別是棱AB、BB的中點，則直線EF和BC1所成的角是（）Ai。A. 45B. 60做 C. 90D. 1204.設點 C(2a+1，a+1,2)在點 P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1,4)確

9、定的平面上，則 a 等于 ()A. 16B. 4 C. 2 D. 8方法與技巧向量法解立體幾何問題有兩種基本思路：一種是利用基向量表示幾何量，簡稱基向量 法；另一種是建立空間直角坐標系，利用坐標法表示幾何量，簡稱坐標法.利用坐標法解幾何問題的基本步驟是：（1）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，用坐標準確表 示涉及到的幾何量.（2）通過向量的坐標運算，研究點、線、面之間的位置關系.（3）根據(jù) 運算結(jié)果解釋相關幾何問題.【課后作業(yè)】一、選擇題（每小題5分，共25分）下列命題：若A、B、C、D是空間任意四點，則有ABBCCDDA = 0；lai lbl = la+bl是a、b共線的充要條件；若a、b共線，則

10、a與b所在直線平行；對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C,若OP=xOA+yOB+zdC（其中x、y、沱 R ）則尸、A、B、C四點共面.其中假命題的個數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D. 4如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD D1C1的中點，則直線OM（）既垂直于AC，又垂直于MN垂直于AC，但不垂直于MN垂直于MN，但不垂直于AC與AC、MN都不垂直如圖所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1底面 ABC, AB=BC=1,ZABC=90,點E、F分別是棱AB. BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是()A. 45B.

11、60C. 90D. 120設點 C(2a+1, a+1,2)在點 P(2,0,0)、A(1,3,2)、B(8,1,4)確定的平面上，則 a 等于 ()A. 16B. 4 C. 2 D. 8在直角坐標系中，A( 2,3)，B(3，2)，沿尤軸把直角坐標系折成120的二面角，則AB的長度為()-Ae2B. 2、??！C. 3很D. 4.杈二、填空題(每小題4分，共12分)(信陽模擬)如圖所示，已知空間四邊形ABCD，F(xiàn)為BC的中點，E為AD的中點，若EF=X(AB+DC)，則 A=.(銅川模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，給出以下向量表達式:(AM A#) AB；(BC+BBJ DQ ；(A

12、DAB) 2DD1；(B+A+DD.其中能夠化簡為向量尻】的是.(填所有正確的序號)(麗水模擬)如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB = 2，E為PB的中點，cosDP，AE =奈若以DA，DC，豚所在直線分別為x，z軸建立空間直角坐標系，則點、的坐標為三、解答題(共38分)9. (12分)如圖所示，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1 上，且 AE=FC = 1.求證：E、B、F、D1四點共面；2若點G在BC上，BG=3，點M在BB1上，GM1BF，垂足為H，求證：正心上平面 BCC1B1./ s10. (12分)如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，心。上平面ABCD，海上平