用分形幾何來表征粗糙表面

1、用分形幾何來表征粗糙表面的幾何形狀加工表面的微觀幾何特征主要包括表面粗糙度和表面波度兩部分組成，表面 粗糙度是波距L小于1mm的表面微小波紋；表面波度是指波距L在120mm之間 的表面波紋。通常情況下，當(dāng)L/H（波距/波高） 1000）與表面粗糙度（L 3/H 3 50）之間。加工表面的微觀幾何特征是表面質(zhì)量的重要組成部分，而零件的表面質(zhì)量是 又機(jī)械加工質(zhì)量的重要組成部分，表面質(zhì)量是指：機(jī)械加工后零件表面層的微觀 幾何結(jié)構(gòu)及表層金屬材料性質(zhì)發(fā)生變化的情況。經(jīng)機(jī)械加工后的零件表面并非理 想的光滑表面，它存在著不同程度的粗糙波紋、冷硬、裂紋等表面缺陷。雖然只 有極薄的一層（0.050 .15mm）

2、，但對機(jī)器零件的使用性能有著極大的影響；零 件的磨損、腐蝕和疲勞破壞都是從零件表面開始的，特別是現(xiàn)代化工業(yè)生產(chǎn)使機(jī) 器正朝著精密化、高速化、多功能方向發(fā)展，工作在高溫、高壓、高速、高應(yīng)力 條件下的機(jī)械零件，表面層的任何缺陷都會加速零件的失效。因此，必須重視機(jī) 械加工表面質(zhì)量。下面介紹一些常見的傳統(tǒng)表面粗糙度表征的方法。峰谷表征參數(shù)：表面粗糙度是表面峰谷高度相對基準(zhǔn)面的變化。常用的表 面粗糙度參數(shù)有兩種，一類是高度分布參數(shù)，包括輪廓算術(shù)平均偏差Ra （最常 用），標(biāo)準(zhǔn)差a，方均根Rq等。另一類是極值高度參數(shù)，包括輪廓最大高度Rt（最常用），最大高峰Rp,最大深谷Rv，微觀不平衡度Rz和平均高度R

3、pm?？臻g表征參數(shù)：表征凸峰的橫向間距參數(shù)或空間波長參數(shù)是對表面高度信 息的補(bǔ)充描述，常用的參數(shù)有兩種，一是凸峰密度Np，二是相交密度n。Np是 單位長度內(nèi)輪廓線上所含局部最大凸峰的頻數(shù)；N0是單位長度內(nèi)輪廓線與平均 線相交的次數(shù)。概論分布和密度函數(shù)：累積概率分布函數(shù)，或簡稱累積分布函數(shù)P(h)，定 義為隨機(jī)變量z(x)忍h的概率，可寫為P (h) =Prob(zh)除此之外，還有矩函數(shù)、凸峰分布函數(shù)等表征方法。這些傳統(tǒng)的表面粗糙度 表征方法直觀、易接受，也很實用，但也有其局限性。以上所提及的方法，只能 從特定的分辨率下準(zhǔn)確地表征，而不能在任意的分辨率下表征，也就是說，用不 同的測量方法，其粗

4、糙度是不一樣的，這就是其局限性。那么，有沒有一種表征 方法，可以彌補(bǔ)上述缺陷呢？分形幾何學(xué)作為一種新的方法起著重要作用。它是一種使用迭代的方法來研 究的幾何分支，它能夠展現(xiàn)出我們歐氏幾何不能實現(xiàn)的不規(guī)則圖形，如山川、云 霞、樹葉以及我們需要研究的表面幾何特征等等。普通幾何學(xué)研究的對象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比如，零維的點、一維的線、 二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。在20世紀(jì)70年代末80年代初，產(chǎn) 生了新興的分形幾何學(xué)(fractal geometry)，空間具有不一定是整數(shù)的維，而 存在一個分?jǐn)?shù)維數(shù)。這是幾何學(xué)的新突破，引起了數(shù)學(xué)家和自然科學(xué)者的極大關(guān) 注。根據(jù)物理學(xué)家李蔭遠(yuǎn)院士的建

5、議，大陸將fractal 一開始就定譯為“分形”， 而臺灣學(xué)者一般將fractal譯作“碎形”?？陀^自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有 無窮層次。適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)并不改變。不少復(fù)雜的物理現(xiàn) 象，背后就是反映著這類層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)。粗糙表面幾何特征正是如此?？陀^事物有它自己的特征長度，要用恰當(dāng)?shù)某叨热y量。用尺來測量萬里長 城，嫌太短；用尺來測量大腸桿菌，又嫌太長。從而產(chǎn)生了特征長度。還有的事 物沒有特征尺度，就必須同時考慮從小到大的許許多多尺度(或者叫標(biāo)度)，這 叫做“無標(biāo)度性”的問題。粗糙表面的幾何特征同時涉及大量不同尺度，就要借 助“無

6、標(biāo)度性”解決問題，也就需要用分形幾何學(xué)。分形幾何學(xué)的基本思想是:客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、 功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性，稱為自相似性。例如， 一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都 具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺 寸，整個結(jié)構(gòu)不變。分形幾何在粗糙表面幾何特征應(yīng)用中的幾個重要參數(shù)。分形維數(shù)分形維數(shù)。與表面形貌的幅值變化劇烈程度有關(guān)，D值大，則表面高頻成分多， 細(xì)節(jié)豐富；D值小，則表面空間波長長，微觀結(jié)構(gòu)簡單。因此，再分形過程中， 我們應(yīng)該選擇合適的維數(shù)。我們可用下式來求分形維數(shù)其

7、中功率譜斜率。可由下式在雙對數(shù)坐標(biāo)系logP(oJ) 一logoJ中，用最小二 乘法擬合出特征長度尺度G參數(shù)仔反映的是表面微觀形貌的特征長度的尺度范圍，相對于特定表面的所 有空間頻率來說是一個常量，決定著譜在功率軸上的位置。比較實際表面輪廓的 高度方差和W-M函數(shù)的高度分布方差，即可求得G值。理論上，知道了。和6值就可根據(jù)式（1）唯一地確定表面輪廓的形狀。而且， 對于特定的表面輪廓，參數(shù)D和G不隨測量尺度和取樣長度而改變，因而是表征粗 糙表面的“固有參數(shù)”。這一特點不同于傳統(tǒng)的粗糙度評定參數(shù)，如Ra，Ry,Rq等。3 .譜矩參數(shù)隨機(jī)過程參數(shù)（二）傳統(tǒng)粗糙度參數(shù)的分形表征輪廓均方根偏差RqRq為

8、取樣長度內(nèi)輪廓偏距的均方根值，而零階譜矩m0,為輪廓高度分布的 方差。若輪廓高度服從高斯分布或中線選擇一致，則有其中m0可由下式求出輪廓均方根斜率乙qG 2(D-1)1其中m2=jW(2 D - 2) - W(2 D - 2) 2lnY ( 2D -2) L h1 q為取樣長度內(nèi)輪廓線上各點斜率的均方根值，N-階譜矩m2表示輪廓斜率 分布的方差.所以h w2 p (w) dw W!.輪廓均方根曲率p q國標(biāo)和各種參考書中均未曾介紹過該參數(shù)。在此類似地定義，p q為取樣長 度內(nèi)輪廓線上各點曲率的均方根值，而四階譜矩w 4表示輪廓曲率分布的方差，因此P q= ( m 4)；輪廓均方根波長入q入q為

9、輪廓均方根偏差Rq與輪廓均方根斜率之比的2n倍，即入 q= 2n ( 0)2 m2輪廓微觀不平度的平均間距七s是取樣長度內(nèi)輪廓微觀不平度的平均值，式中：D是零交叉密度。由此可見，對于具有分形特征的隨機(jī)表面輪廓，s和 入q能給出相同的結(jié)果。輪廓的單峰平均間距SS是在取樣長度內(nèi)輪廓的單峰間距的平均值，有1S = = 2n D 1式中：D. 輪廓的波峰密度，D，以單峰計算。輪廓峰的密度D(m )rmo 7單位長度內(nèi)的輪廓峰數(shù)。若在取樣長度f內(nèi)計算，有l(wèi)D = 一Sm三維評定參數(shù)現(xiàn)行的國標(biāo)和國際標(biāo)準(zhǔn)中，尚未有一個真正的三維表面形貌評定參數(shù)。而且， 工程表面在實際應(yīng)用中，總是使用其一個區(qū)域，而不是一條輪

10、廓。因此，目前國 內(nèi)外許多學(xué)者都在積極尋找三維表面形貌的合適評定參數(shù)。而首先考慮的是均一 性問題，即三維表面不同位置上形貌的統(tǒng)計一致性。1.均一性Hm若某一表面凸凹不平、高低各異，大家都認(rèn)為其均一性差；反之，若凸凹均 勻一致，高低平整則認(rèn)為其均一性好。對于鑄造、噴涂、粗加工等工件可能容易 判別，但對于精車、磨削等表面，卻未能給出明確的答復(fù)。從直觀上，我們可以“感覺”到，有些表面直觀性好，條紋有序；而有的表面無 規(guī)則，均一性不好。那么，如何定量地評價這兩個表面呢?為此，定義表面的均 一性為：高度方向的概率分布獨立于測量位置的平移。一個具有紋理的表面也可能是均一的。因此一個“好”的表面應(yīng)該既要求均

11、一性，又要求等方性（覓后）。 只有兩者都滿足時，才說明這個表面是均勻的、各向同性的。根據(jù)Longuet-Higgins等式，零階表面譜矩m可以反映表面的高度分布方 差，對于不均一的表面各處的m是不相等的，因此可用下式評價三維表面的均00一性min m lL0imax m0 ii=1,2,3n若干條平移輪廓的零階譜矩。式中：H 表面高度分布的均一性;m2.等方性八cos 0 sin 0 + m sin 2 0二階輪廓譜矩m（0）為m（0 ） = m cos 2 0 + 2 m它不僅依賴于e值，而且還與表面性質(zhì)（二階表面譜矩）有關(guān)。如果表面為等方性 的，則m（0）必定與。無關(guān)，此時m（0）的軌跡為

12、圓。因此定義隨機(jī)表面的等方 性為：測量坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)時，該隨機(jī)表面各條輪廓高度方向的概率分布不變。輪廓 的二階譜矩，既可以反映輪廓幅度分布，又可以反映頻率特性，而且一般情況下 很強(qiáng)地依賴于被測輪廓的方向，因此可以用其來表征各向異性表面的等方性。具 體地，各向異性表面的等方性A指m20m（0i）2m11=T21m（0 2）2mL 02m（0 ）2式中m , m , m 為其中T2為矩陣系數(shù)A =l時，表示表面是等方性的；否則，表面完全不等方性時，m =0, m或m =0,A =0。所以0忍A W 1，且A越大，等方性越好。表面的高度均方根偏差膈對于均一的等方性表面，由Longuet-Higgins等

13、式知各個方向零階表面譜矩 相等，即m = m（0 ） i=1, 2, 3M m 00 ）2而moo反映的是表面高度分布的方差，所以R =（m ）實際上，若表面為各向異性，可取m0(0 )的平均值近似代替m0表面的均方根斜率 sq類似地，定義表面的均方根斜率為sqj七 j七 z2 (x, y )d dl l o 0 x y式中I ,i分別為x和y方向上的取樣長度表面的二階譜矩可以反映隨機(jī)表面的斜率分布，所以可用表面二階譜矩的平均值表示隨機(jī)表面各點斜率的均方根值。由式m20m（01）2m11=T2-1m（0 2）2mL 02m（0 ）2可知，表面二階譜矩可由輪廓二階譜矩求得，對輪廓二階譜矩在各個方

14、向上積分 后取其平均值，即為表面斜率分布方差的平均值，有j 2 m (0 ) d =(m + m )2n 02022002根據(jù)表面均方根斜率的定義和上式，得sq表面的均方根波長入sq類似地，定義表面的均方根波長為人=2nsqsq式中Rsq表面的均方根偏差； sq表面的均方根斜率。并且我們可以 得到表面峰頂平均間距Ss對于等方性隨機(jī)表面，類似地定義表面的峰頂平均間距為其中Ds是表面峰頂密度， 以上以分形幾何理論為基礎(chǔ)，利用分形維數(shù)D和譜矩的概念推出了一些具有統(tǒng)計 意義的表面粗糙度參數(shù)，另外還有一些較為重要的參數(shù)有待于進(jìn)一步研究。參考文獻(xiàn)：Majumdar A. Bhushan B. Fractal model of geometry in roughness characterization and contact mechanics of surfaces ASME of Tribology, 1990Longuet-Higgins M S. Statistical properties of an isotopic random surface. Philos.Trans. R. Soc., L