新編第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課件

1、第三章 導(dǎo) 數(shù) 的 應(yīng) 用(一) 本 章 內(nèi) 容 小 結(jié)(二) 常見問題分類及解法(三) 思 考 題(四) 課 堂 練 習(xí)(一) 本章內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容提要1、拉格朗日中值定理及特例，定理的幾何解釋。2、一階導(dǎo)數(shù)的符號和曲線單調(diào)性的關(guān)系。3、極值存在的必要條件及利用一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)判斷極值。4、求函數(shù)在閉區(qū)間上最大值和最小值，求最值應(yīng)用題。5、利用二階導(dǎo)數(shù)研究曲線凸凹性和拐點(diǎn)，拐點(diǎn)存在必要條件 及判定。6、利用導(dǎo)數(shù)作圖。7、利用洛必達(dá)法則，求未定式極限。*8、曲率公式，弧長的微分公式。二、重點(diǎn)和難點(diǎn) 中值定理的應(yīng)用：曲線的單調(diào)性與極值，曲線的凸凹性與拐點(diǎn)及未定式極限為重點(diǎn)，函數(shù)的作圖是本章難點(diǎn)

2、。三、基本要求1、拉格朗日定理是利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，必須熟記定理的條件和結(jié)論及幾何意義。2、熟練應(yīng)用一階導(dǎo)數(shù)，判斷曲線的增減性，牢固掌握極值存在的必要條件，運(yùn)用一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來判定極值。清楚極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別。3、清楚二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用二階導(dǎo)數(shù)判定曲線凸凹性及求拐點(diǎn)。5、能正確掌握利用一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)研究曲線的性態(tài)并能正確做出常見的初等函數(shù)圖像。四、對學(xué)習(xí)的建議 拉格朗日中值定理是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)理論，因而十分重要，必須弄清它的條件與結(jié)論以及幾何意義。定理的證明只要求理解。 洛必達(dá)法則是求極限的一個(gè)有力工具，在應(yīng)用中須注意以下幾點(diǎn)。2、使用法則前，函

3、數(shù)中若有因式可用無窮小代換，則代換，以便簡化計(jì)算。3、使用法則后，若有因式其極限可以確定，則應(yīng)及時(shí)剝離求出極限，以利繼續(xù)使用法則。4、使用洛必達(dá)法則中，在適當(dāng)?shù)沫h(huán)節(jié)上可結(jié)合其他求極限的方法，以便極限較快求出。另外，法則有時(shí)會(huì)失效，但不能因此確定函數(shù)無極限，可另換他法。 結(jié)合實(shí)際求最值問題，關(guān)鍵在目標(biāo)函數(shù)的建立，這需要一定的其他領(lǐng)域的知識。目標(biāo)函數(shù)建立的恰當(dāng)與否，取決于自變量的選取。這一切都需要多做多看一些不同類型的題目，以便培養(yǎng)這方面的能力。 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用，關(guān)鍵在熟悉和掌握各種概念的含義以及它的數(shù)學(xué)表達(dá)式。五、本章關(guān)鍵詞中值定理極值最大值與最小值洛必達(dá)法則 作函數(shù)的圖形是本章內(nèi)容的大

4、綜合，也是本章一個(gè)難點(diǎn)。正因?yàn)槿绱?，認(rèn)真的按照規(guī)范的步驟做幾道作圖題，對融會(huì)貫通本章知識，了解函數(shù)性態(tài)，提高作圖能力等都是有益的。(二) 常見問題分類及解法一、利用洛必達(dá)法則求未定式例1 求下列極限：解二、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求其極值 函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性可以用此函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定，進(jìn)而可以求出函數(shù)在其定義域內(nèi)的極大值和極小值。需注意的是： 有些導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)； 在單調(diào)區(qū)間內(nèi)的某些離散點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)也可能為零。例2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求其極值：解見表3-1.表 3-1 極值表見表3-2.不存在極小值0極小值0表 3-2 極值表三、求函數(shù)的最大值和最小值 對于由解析式表示

5、的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值問題，可利用比較函數(shù)在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小來求。而對于由實(shí)際問題得到的函數(shù)的最值問題，只要函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以肯定函數(shù)在此駐點(diǎn)處取得最值。解例4 欲用圍墻圍成面積為 216 m2 的一塊矩形土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最??？解圖 3-1 例4 示意四、判斷曲線的凸凹并求曲線的拐點(diǎn) 根據(jù)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的正負(fù)，可以判斷函數(shù)曲線的凸凹，進(jìn)而可以求出函數(shù)曲線在整個(gè)定義域內(nèi)的拐點(diǎn)。解凹拐點(diǎn) (0,1)凸拐點(diǎn) (1,0)凹表 3-3 曲線凸凹表 五、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 對于某些不等式，可以先將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。證(三)思考題答 案答 案答 案答 案1、一階導(dǎo)數(shù)的符號與曲線單調(diào)性的關(guān)系是什么？2、利用一、二階導(dǎo)數(shù)能研究曲線的什么特性？(四)課堂練習(xí)題答 案答 案答 案答 案返 回1、一階導(dǎo)數(shù)的符號為正號，曲線單調(diào)增