新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)章節(jié)測(cè)評(píng)卷：期中學(xué)業(yè)水平檢測(cè)

1、期中學(xué)業(yè)水平檢測(cè)山東省煙臺(tái)市20192020學(xué)年度第二學(xué)期高一期中測(cè)試一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.設(shè)復(fù)數(shù)z=(1-2i)i(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.若向量a=(1,2),b=(0,1),ka-b與a+2b共線,則實(shí)數(shù)k的值為()A.-1B.-12C.1D.23.已知正ABC的邊長(zhǎng)為2,那么ABC的直觀圖ABC的面積為()A.62B.34C.3D.684.在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=43,b=12,C=6,則此三角形()

2、A.無(wú)解B.有兩解C.有一解D.解的個(gè)數(shù)不確定5.已知圓柱的高為2,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為26的同一個(gè)球的球面上,則圓柱的表面積為()A.45B.(8+63)C.103D.(10+45)6.在平行四邊形ABCD中,N為對(duì)角線AC上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn),連接BN并延長(zhǎng),交AD于M,則MN=()A.-13AB+16ADB.14AB-13ADC.13AB-16ADD.34AB-14AD7.算數(shù)書竹簡(jiǎn)于20世紀(jì)80年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)計(jì)算其體積V

3、的近似公式V136L2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么,近似公式V7264L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A.227B.258C.15750D.3551138.在三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=33b,且B=2A,則cos 2A等于()A.12B.-12C.32D.-32二、選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分)9.在復(fù)平面內(nèi),下列說法正確的是()A.若復(fù)數(shù)z=1+i1i(i為虛數(shù)單位),則z30=-1B.若復(fù)數(shù)z滿足z2R,則z

4、RC.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR),則z為純虛數(shù)的充要條件是a=0D.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓10.下列敘述錯(cuò)誤的是()A.已知直線l和平面,若點(diǎn)Al,點(diǎn)Bl且A,B,則lB.若三條直線兩兩相交,則三條直線確定一個(gè)平面C.若直線l不平行于平面,且l,則內(nèi)的所有直線與l都不相交D.若直線l1和l2不平行,且l1,l2,=l,則l至少與l1,l2中的一條相交11.下列結(jié)論正確的是()A.若AB,則sin Asin BB.在銳角ABC中,不等式b2+c2-a20恒成立C.在ABC中,若C=4,a2-c2=bc,則ABC為等腰直角三角形D.在ABC中

5、,若b=3,A=60,SABC=33,則ABC的外接圓半徑為3312.在ABC中,D、E、F分別是邊BC、AC、AB的中點(diǎn),則下列說法正確的是()A.AB+AC-AD=0B.DA+EB+FC=0C.若AB|AB|+AC|AC|=3AD|AD|,則BD是BA在BC上的投影向量D.若P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn),且滿足BP=BA+BC,則的最大值為18三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知復(fù)數(shù)z=3i1+i(i為虛數(shù)單位),則|z|=.14.已知向量a,b的夾角為30,|a|=2,|b|=23,則|2a+b|=.15.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若(a+b+c)(

6、a+b-c)=3ab,且a2=bc,則basinA的值為.16.已知一個(gè)高為3的三棱錐,各側(cè)棱長(zhǎng)都相等,底面是邊長(zhǎng)為23的等邊三角形,則三棱錐的表面積為,若三棱錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球,則V的最大值為.四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)如圖,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD為平行四邊形,G為FC的中點(diǎn),平面ABFE平面CDEF=EF.(1)證明:AF平面BDG;(2)證明:ABEF.18.(12分)已知復(fù)數(shù)z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i(i為虛數(shù)單位,aR)為純虛數(shù),z0和b是關(guān)于x的方程x2-(3+2i)x+6

7、i=0的兩個(gè)根.(1)求a,b的值;(2)若復(fù)數(shù)z滿足1|z|a+bi|,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?并求該圖形的面積.19.(12分)已知ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.(1)證明:acos B+bcos A=c;(2)在2c-bcosB=acosA;ccos A=2bcos A-acos C;2a-bcosCcosA=ccosBcosA這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中,并解答.若a=7,b=5,求ABC的周長(zhǎng).注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.20.(12分)如圖,在三棱錐S-ABC中,SC是高,SC=3,ACBC,AC=BC=2.(

8、1)求三棱錐S-ABC的體積;(2)求三棱錐S-ABC的表面積.21.(12分)如圖,四邊形ABCD中,AD=2BC.(1)用AB,AD表示DC;(2)若A=90,點(diǎn)E在AB上,AE=2EB,點(diǎn)P在DE上,DP=2PE,|EB|=|BC|=1,求cosCPD.22.(12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,ADCD,ABAC,AB=23.(1)若ABC=30,CD=3AD,求BD的長(zhǎng);(2)若AC=2,ADB=30,求sinCAD.答案全解全析1.A由已知得z=(1-2i)i=2+i,所以在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,1),位于第一象限.2.B由已知得ka-b=(k,2k-1),a+2b=(1,4

9、),因?yàn)閗a-b與a+2b共線,所以4k=2k-1,解得k=-12.3.D由已知得ABC的面積S=34(2)2=32,所以直觀圖ABC的面積為3224=68.4.B由正弦定理可得csinC=bsinB,所以sin B=bsinCc=12sin 643=32,因此B=3或B=23,故此三角形有兩解.5.D設(shè)圓柱的底面半徑為R,依題意有R2+222=2622,所以R=5,于是圓柱的表面積S=252+2(5)2=(10+45).6.C依題意,ANMCNB,所以NMBN=AMBC=ANNC=12,所以AM=12BC,NM=12BN,因此MN=-13BM=-13(AM-AB)=-1312AD-AB=13

10、AB-16AD.7.A設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則圓錐底面圓周長(zhǎng)L=2r,r=L2,V=13r2h=L2h12.令L2h12=7264L2h,得=227.8.A因?yàn)閍=33b,所以sin A=33sin B,即sin A=33sin 2A=233sin Acos A,于是cos A=32,故cos 2A=2cos 2A-1=12.9.AD對(duì)于選項(xiàng)A,z=1+i1i=i,所以z30=i30=(i2)15=(-1)15=-1,故正確;對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)z2R時(shí)不一定有zR,例如z=i,故錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)為純虛數(shù)的充要條件應(yīng)是a=0且b0,故錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)復(fù)數(shù)z=x+y

11、i(x,yR),由|z|=1得x2+y2=1,故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓,故正確.10.BC若一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在平面內(nèi),故A選項(xiàng)正確;若三條直線兩兩相交,則三條直線可確定1個(gè)平面或3個(gè)平面,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;若直線l不平行于平面,且l,則l與相交,因此內(nèi)存在直線與l相交,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;若直線l1和l2不平行,且l1,l2,=l,則l至少與l1,l2中的一條相交,故D選項(xiàng)正確.11.BCABsin Asin B,只有在三角形中才成立,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;在銳角ABC中,每個(gè)內(nèi)角都是銳角,所以A是銳角,于是cos A=b2+c2-a22bc0,因此b2+c2

12、-a20恒成立,故B選項(xiàng)正確;由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,因?yàn)镃=4,所以c2=a2+b2-2ab,又a2-c2=bc,所以2ab-b2=bc,即2a-b=c,則a=b+c2,所以b+c22-c2=bc,整理可得b=c,于是B=4,A=2,故ABC為等腰直角三角形,即C選項(xiàng)正確;由b=3,A=60,SABC=33,得33=123csin 60,所以c=4,于是a=b2+c2-2bccosA=32+42-23412=13,所以ABC的外接圓直徑2R=asinA=1332=2393,所以ABC的外接圓半徑為393,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.12.BCD由題意得AB+AC-AD=AD0,故

13、A選項(xiàng)錯(cuò)誤;DA+EB+FC=-12(AB+AC)-12(BA+BC)-12(CA+CB)=0,故B選項(xiàng)正確;設(shè)AB|AB|=AM,AC|AC|=AN,則|AM|=|AN|=1,令A(yù)B|AB|+AC|AC|=AQ,則四邊形AMQN為菱形,又因?yàn)锳B|AB|+AC|AC|=3AD|AD|,所以D在BAC的平分線上,于是AB=AC,從而ADBC,所以BD是BA在BC上的投影向量,故C選項(xiàng)正確;由于BP=BA+BC=BA+2BD,而P在線段AD上,所以+2=1,故=12212+222=18,當(dāng)且僅當(dāng)=14,=12時(shí),取得最大值,為18,故D選項(xiàng)正確.13.答案5解析由已知得z=3i1+i=(3-i)

14、(1-i)(1+i)(1-i)=24i2=1-2i,于是z=1+2i,故|z|=5.14.答案213解析|2a+b|=(2a+b)2=4|a|2+4ab+|b|2=422+422332+(23)2=213.15.答案233解析由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得a2+b2-c2=ab,所以cos C=12,于是C=60,又因?yàn)閍2=bc,所以sin2A=sin Bsin C,于是basinA=sinBsin2A=sinBsinBsinC=1sin60=233.16.答案93;4327解析如圖,依題意PD=3,DC=33AB=3323=2,DM=36AB=3623=1,于是側(cè)棱長(zhǎng)PA=22+

15、(3)2=7,斜高PM=12+(3)2=2,所以三棱錐的表面積S=34(23)2+312232=93.當(dāng)球與三棱錐相切時(shí),其體積最大,設(shè)內(nèi)切球球心為O,半徑為R,作ONPM于點(diǎn)N,則PONPMD,則有ONMD=POPM,即R1=3-R2,解得R=33,于是V=43333=4327.17.證明(1)在平行四邊形ABCD中,連接AC交BD于點(diǎn)O,則O為AC的中點(diǎn),連接OG.(1分)因?yàn)辄c(diǎn)G為CF的中點(diǎn),所以O(shè)G為AFC的中位線,所以O(shè)GAF.(3分)又AF平面BDG,OG平面BDG,所以AF平面BDG.(5分)(2)因?yàn)锳BCD,AB平面CDEF,CD平面CDEF,所以AB平面CDEF.(7分)因

16、為AB平面ABFE,平面ABFE平面CDEF=EF,所以ABEF.(10分)18.解析(1)因?yàn)閦0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i為純虛數(shù),所以lg(a2-4a+4)=0,a2-3a+20,即a2-4a+4=1,a2-3a+20,解得a=3,(3分)此時(shí)z0=2i,由根與系數(shù)的關(guān)系得z0+b=3+2i,z0b=6i,解得b=3.(6分)(2)復(fù)數(shù)z滿足1|z|a+bi|,即1|z|32,(7分)故所求點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心,1和32為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán),包括邊界.(10分)其面積S=(32)2-12=17.(12分)19.解析(1)證明:acos B+bcos A=aa2

17、+c2-b22ac+bb2+c2-a22bc=a2+c2-b22c+b2+c2-a22c=2c22c=c=右邊,所以等式成立.(4分)(2)選擇.由2c-bcosB=acosA可得2ccos A-bcos A=acos B,即2ccos A=bcos A+acos B.所以2ccos A=c,(6分)所以cos A=12,所以A=60.(7分)又因?yàn)閍=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60=5sinB,于是sin B=5314,而ab,所以AB,于是cos B=1114,(9分)從而sin C=sin(A+B)=sin(B+60)=531412+111432=437,(10分)由正弦定理可

18、得7sin60=c437,于是c=8,故ABC的周長(zhǎng)為7+5+8=20.(12分)選擇.由ccos A=2bcos A-acos C可得2bcos A=acos C+ccos A=aa2+b2-c22ab+cb2+c2-a22bc=2b22b=b,(6分)所以cos A=12,所以A=60.(7分)又因?yàn)閍=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60=5sinB,于是sin B=5314,而ab,所以AB,于是cos B=1114,(9分)從而sin C=sin(A+B)=sin(B+60)=531412+111432=437,(10分)由正弦定理可得7sin60=c437,于是c=8,故ABC

19、的周長(zhǎng)為7+5+8=20.(12分)選擇.由2a-bcosCcosA=ccosBcosA可得2a=bcosCcosA+ccosBcosA=bcosC+ccosBcosA,又bcos C+ccos B=ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2a22a=a,所以2a=acosA,(6分)所以cos A=12,所以A=60.(7分)又因?yàn)閍=7,b=5,所以由正弦定理得7sin60=5sinB,于是sin B=5314,而ab,所以AB,于是cos B=1114,(9分)從而sin C=sin(A+B)=sin(B+60)=531412+111432=437,(10分)由正弦定理可得7

20、sin60=c437,于是c=8,故ABC的周長(zhǎng)為7+5+8=20.(12分)20.解析(1)因?yàn)锳CBC,AC=BC=2,所以SABC=12ACBC=1222=2.(2分)又因?yàn)镾C是高,且SC=3,所以VS-ABC=13SABCSC=1323=2.(4分)(2)因?yàn)镾C是高,SC=3,AC=BC=2,所以SSAC=SSBC=12ACSC=1223=3,(6分)SA=SB=32+22=13,AB=22,所以SAB是等腰三角形,且AB邊上的高為(13)2-2222=11,(8分)所以SSAB=122211=22,(10分)由(1)知SABC=2,所以三棱錐S-ABC的表面積為3+3+2+22=8+22.(12分)21.解析(1)因?yàn)锳D=2BC,