第二輪第2講數(shù)學填空題的常用解法

1、PAGE PAGE 10第2講 高考填空題的常用方法數(shù)學填空題是一種只要求寫出結(jié)果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數(shù)學中的三種?？碱}型之一，填空題的類型一般可分為：完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題. 這說明了填空題是數(shù)學高考命題改革的試驗田，創(chuàng)新型的填空題將會不斷出現(xiàn). 因此，我們在備考時，既要關注這一新動向，又要做好應試的技能準備.解題時，要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步驟都正確無誤，還要求將答案表達得準確、完整. 合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準確地解答填空題的基本要求.數(shù)學填空題，絕大多數(shù)是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題，應

2、答時必須按規(guī)則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷。求解填空題的基本策略是要在“準”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、數(shù)行結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)化法等。一、直接法這是解填空題的基本方法，它是直接從題設條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結(jié)果。例1設其中i，j為互相垂直的單位向量，又，則實數(shù)m = 。解：，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得。例2已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 。解：，由復合函數(shù)的增減性可知，在上為增函數(shù)，。例3現(xiàn)時盛行的足球彩票，其規(guī)則如下：全部13場足球比賽，每場比賽有3種結(jié)果：勝、平、負，13長比

3、賽全部猜中的為特等獎，僅猜中12場為一等獎，其它不設獎，則某人獲得特等獎的概率為 。解：由題設，此人猜中某一場的概率為，且猜中每場比賽結(jié)果的事件為相互獨立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎的概率為。二、特殊化法當填空題的結(jié)論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果。例4 在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數(shù)列，則 。解：特殊化：令，則ABC為直角三角形，從而所求值為。例5 過拋物線的焦點F作一直線交拋物線交于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長分別為p、q，則 。分析：此拋物線開口向上，過焦點且斜率為k的

4、直線與拋物線均有兩個交點P、Q，當k變化時PF、FQ的長均變化，但從題設可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數(shù)和應為定值，所以可以針對直線的某一特定位置進行求解，而不失一般性。解：設k = 0，因拋物線焦點坐標為把直線方程代入拋物線方程得，從而。例6 求值 。分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令，得結(jié)果為。三、數(shù)形結(jié)合法對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果。例7 如果不等式的解集為A，且，那么實數(shù)a的取值范圍是 。解：根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)和函數(shù)的圖象（如圖），從圖上容易得出實數(shù)a的取值范

5、圍是。例8 求值 。解：，構(gòu)造如圖所示的直角三角形，則其中的角即為，從而所以可得結(jié)果為。例9 已知實數(shù)x、y滿足，則的最大值是 。解：可看作是過點P（x，y）與M（1，0）的直線的斜率，其中點P的圓上，如圖，當直線處于圖中切線位置時，斜率最大，最大值為。四、等價轉(zhuǎn)化法通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果。例10 不等式的解集為（4，b），則a= ，b= 。解：設，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：a 0，且2與是方程的兩根，由此可得：。例11 不論k為何實數(shù)，直線與曲線恒有交點，則實數(shù)a的取值范圍是 。解：題設條件等價于點（0，1）在圓內(nèi)或圓上，或等價于點

6、（0，1）到圓，。例12 函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為 。解：易知y與y2有相同的單調(diào)區(qū)間，而，可得結(jié)果為。 總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準確地解數(shù)學填空題的關鍵。五、練習1 已知函數(shù)，則講解由，得，應填4.請思考為什么不必求呢？集合的真子集的個數(shù)是講解，顯然集合M中有90個元素，其真子集的個數(shù)是，應填. 快速解答此題需要記住小結(jié)論;對于含有n個元素的有限集合,其真子集的個數(shù)是3若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則講解由已知拋物線的對稱軸為,得，而，有，故應填6.果函數(shù)，那么講解容易發(fā)現(xiàn)，這就是我們找出的有用的規(guī)律，于是原式，應填本題是2002年全國高考題，十分有趣的是，2003年上海春考題中

7、也有一道類似題：設，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的公式的方法，可求得已知點P在第三象限，則角的終邊在第象限.講解由已知得從而角的終邊在第二象限，故應填二.不等式（）的解集為.講解 注意到，于是原不等式可變形為而，所以，故應填如果函數(shù)的圖象關于直線對稱，那么講解，其中.是已知函數(shù)的對稱軸，即，于是故應填 .在解題的過程中，我們用到如下小結(jié)論：函數(shù)和的圖象關于過最值點且垂直于x軸的直線分別成軸對稱圖形.設復數(shù)在復平面上對應向量，將按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，對應的復數(shù)為，則講解應用復數(shù)乘法的幾何意義，得，于是故應填 9設非零復數(shù)滿足，則代數(shù)式的值是_.講解將已知方程變形為，解這個一元二次方程，得

8、顯然有,而,于是原式在上述解法中，“兩邊同除”的手法達到了集中變量的目的，這是減少變元的一個上策，值得重視.10已知是公差不為零的等差數(shù)列，如果是的前n項和，那么講解特別取，有，于是有 故應填2.列中， , 則講解 分類求和，得，故應填以下四個命題：凸n邊形內(nèi)角和為凸n邊形對角線的條數(shù)是其中滿足“假設時命題成立，則當n=k+1時命題也成立.但不滿足“當（是題中給定的n的初始值）時命題成立”的命題序號是.講解 當n=3時，不等式成立；當n=1時，但假設n=k時等式成立，則；，但假設成立，則，假設成立，則故應填.13某商場開展促銷活動，設計一種對獎券，號碼從000000到999999. 若號碼的奇

9、位數(shù)字是不同的奇數(shù)，偶位數(shù)字均為偶數(shù)時，為中獎號碼，則中獎面（即中獎號碼占全部號碼的百分比）為.講解 中獎號碼的排列方法是：奇位數(shù)字上排不同的奇數(shù)有種方法，偶位數(shù)字上排偶數(shù)的方法有，從而中獎號碼共有種，于是中獎面為故應填14 的展開式中的系數(shù)是講解由知，所求系數(shù)應為的x項的系數(shù)與項的系數(shù)的和，即有故應填1008. 15 過長方體一個頂點的三條棱長為3、4、5, 且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的表面積是_.講解長方體的對角線就是外接球的直徑,即有從而，故應填16 若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積是（只需寫出一個可能的值）講解 本題是一道很好的開放題，解題的開竅點是

10、：每個面的三條棱是怎樣構(gòu)造的，依據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊”，就可否定1，1，2，從而得出1，1，1，1，2，2，2，2，2三種形態(tài)，再由這三類面構(gòu)造滿足題設條件的四面體，最后計算出這三個四面體的體積分別為： , ,，故應填.、 、 中的一個即可. eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3) eq oac(,4)ABDCEFA1B1C1D117 如右圖，E、F分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是.（要求：把可能的圖的序號都填上）講解 因為正方體是對稱的幾何體，所以四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可分為

11、：上下、左右、前后三個方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.四邊形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如圖 eq oac(,2)所示；四邊形BFD1E在該正方體對角面的ABC1D1內(nèi)，它在面ADD1A1上的射影顯然是一條線段，如圖 eq oac(,3)所示. 故應填 eq oac(,2) eq oac(,3).18 直線被拋物線截得線段的中點坐標是_.講解由消去y，化簡得設此方程二根為，所截線段的中點坐標為，則故 應填 . 19 橢圓上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，則當m取最大值時，點P的坐標是_.講解 記橢圓的二焦點為，有 則知 顯然當，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得