多粒子系統(tǒng)的熱運(yùn)動(dòng)

1、第二篇 多粒子系統(tǒng)的熱運(yùn)動(dòng)1熱運(yùn)動(dòng)的研究方法：1.宏觀法. 最基本的實(shí)驗(yàn)規(guī)律邏輯推理(運(yùn)用數(shù)學(xué)) -稱為熱力學(xué)(thermodynamics) 優(yōu)點(diǎn)：可靠、普遍。 缺點(diǎn)：未揭示微觀本質(zhì)。2.微觀法. 物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu) + 統(tǒng)計(jì)方法 -稱為統(tǒng)計(jì)物理學(xué)(statistical physics) 其初級(jí)理論稱為氣體分子運(yùn)動(dòng)論(氣體動(dòng)理論) 優(yōu)點(diǎn)：揭示了熱現(xiàn)象的微觀本質(zhì)。 缺點(diǎn)：可靠性、普遍性差。熱運(yùn)動(dòng)(thermal motion)：微觀粒子永恒的雜亂無(wú)章的運(yùn)動(dòng)。2第五章 氣體動(dòng)理論5-1 熱力學(xué)系統(tǒng) 平衡態(tài)熱力學(xué)研究的對(duì)象，它包含極大量的分子、原子。 外界：熱力學(xué)系統(tǒng)以外的物體。一、熱力學(xué)系統(tǒng)(th

2、ermodynamic system)開放系統(tǒng) 孤立系統(tǒng) 封閉系統(tǒng)熱力學(xué)系統(tǒng)根據(jù)能量與質(zhì)量傳遞的不同例：若汽缸內(nèi)氣體為系統(tǒng)，其它為外界。3箱子假想分成兩相同體積的部分，達(dá)到平衡時(shí)，兩側(cè)粒子有的穿越界線，但兩側(cè)粒子數(shù)相同。粒子數(shù)是宏觀量平衡態(tài)(equilibrium state):在無(wú)外界影響下， 系統(tǒng)所有可觀察的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變。指出（1）平衡態(tài)是一種熱動(dòng)平衡；處在平衡態(tài)的大量分子仍在作熱運(yùn)動(dòng)，而且因?yàn)榕鲎玻?每個(gè)分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時(shí)間 改變。二、平衡態(tài) 狀態(tài)參量4（2）平衡態(tài)是一種理想概念。 對(duì)熱力學(xué)系統(tǒng)的兩種描述方法：1. 宏觀量 從整體上描述系統(tǒng)的狀態(tài)量，一般可

3、以直接測(cè)量。 如 壓強(qiáng)P、體積V、溫度 T 等。單位壓強(qiáng)-帕斯卡 體積-立方米 溫度-開爾文52. 微觀量 描述系統(tǒng)內(nèi)微觀粒子的物理量。 如分子的質(zhì)量、 直徑、速度、動(dòng)量、能量 等。微觀量與宏觀量有一定的內(nèi)在聯(lián)系。熱力系處于平衡態(tài)的標(biāo)志：表征系統(tǒng)的狀態(tài)參量 各具有確定的量值，并且不隨時(shí)間變化。6質(zhì)量摩爾質(zhì)量普適氣體常量理想氣體當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，三個(gè)狀態(tài)參量存在一定的函數(shù)關(guān)系：物態(tài)方程(狀態(tài)方程)三、物態(tài)方程 理想氣體遵循玻意爾定律、查理定律、蓋呂薩克定律7例題氧氣瓶的壓強(qiáng)降到106Pa即應(yīng)重新充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶。今有一瓶氧氣，容積為32L，壓強(qiáng)為1.3107Pa，若每天用105P

4、a的氧氣400L，問(wèn)此瓶氧氣可供多少天使用？設(shè)使用時(shí)溫度不變。解: 根據(jù)題意，可確定研究對(duì)象為原來(lái)氣體、用去氣體和剩余氣體，設(shè)這三部分氣體的狀態(tài)參量分別為使用時(shí)的溫度為T設(shè)可供x天使用原有每天用量剩余8分別對(duì)它們列出狀態(tài)方程，有95-2 物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)及統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本概念一、物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)1、宏觀物質(zhì)是由大量不連續(xù)的微觀粒子-分子（或原子）組成的多粒子體系。一摩爾的任何物質(zhì)的分子數(shù)都相同2、分子都在永不停息地作雜亂無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)3、分子間存在相互作用力（分子力）10分子間既有引力作用 又有斥力作用平衡位置斥力起主要作用引力起主要作用R分子有效作用半徑 102v12rdv12=0分子有效直徑 1

5、1二、理想氣體的微觀模型分子本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略不計(jì)。 （分子可看作質(zhì)點(diǎn)）除碰撞外，分子之間的作用力可忽略不計(jì)。分子間的碰撞是完全彈性的。三、統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本概念什么是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(statistical regularity)大量偶然性從整體上所體現(xiàn)出來(lái)的必然性。例. 扔硬幣理想氣體的分子可視為彈性的、自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)。12 統(tǒng)計(jì)規(guī)律有以下特點(diǎn): （1）只對(duì)大量偶然的事件才有意義. （2）它是不同于個(gè)體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變).統(tǒng)計(jì)平均值算術(shù)平均值為對(duì)某一物理量M 進(jìn)行測(cè)量13統(tǒng)計(jì)平均值算術(shù)平均值出現(xiàn)Mi的幾率(概率)M的統(tǒng)計(jì)平均值等于一切可能的狀態(tài)的幾率W與相應(yīng)的M值乘積的

6、總和。歸一化條件14“漲落”現(xiàn)象-測(cè)量值與統(tǒng)計(jì)值之間總有偏離布朗運(yùn)動(dòng)是可觀測(cè)的漲落現(xiàn)象之一。 處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的宏觀量，如壓強(qiáng)P，不隨時(shí)間改變， 但不能保證任何時(shí)刻大量分子撞擊器壁的情況完全一樣， 分子數(shù)越多，漲落就越小。15統(tǒng)計(jì)分布圖以伽爾頓板實(shí)驗(yàn)為例槽內(nèi)單位寬度的小球數(shù)狹槽位置有陰影的矩形面積為表明落入位置在xx的狹槽內(nèi)小球的個(gè)數(shù)。165-3 麥克斯韋速率分布定律一、 氣體分子的速率分布曲線麥克斯韋速率分布平衡態(tài)下的氣體系統(tǒng)中以分子速率為隨機(jī)變量的氣體分子速度分布函數(shù)。單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比 速率表示速率在vv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比17v0，取dv為分子速率區(qū)間

7、元，相應(yīng)的分子數(shù)為dN分子速率分布函數(shù)vvv+dvv1v2分子出現(xiàn)在v1v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的百分比dNN面積= 出現(xiàn)在vv+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比氣體分子的速率分布曲線18f(v)的物理意義某一分子在速率v附近的單位速率區(qū)間內(nèi)的幾率最可幾速率對(duì)于相同速率區(qū)間而言，速率在包含vp的那個(gè)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。就相同速率區(qū)間而言，某一分子的速率取包含vp的那個(gè)區(qū)間內(nèi)的幾率最大。191860年，麥克斯韋導(dǎo)出f(v)的表達(dá)式麥克斯韋速率分布定律T-溫度 m-氣體分子質(zhì)量 k-玻爾茲曼常數(shù)由此，得二、麥克斯韋速率分布規(guī)律201、最可幾速率與分布函數(shù)F(v)的極大值相

8、對(duì)應(yīng)的速率極值條件2、平均速率大量分子速率的統(tǒng)計(jì)平均值三、分子速率的三個(gè)統(tǒng)計(jì)值21對(duì)于連續(xù)分布3、方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根22 試計(jì)算下列氣體在大氣中的逃逸速度與方均根速度之比：H2(2), He(4), H2O(18), N2(28), O2(32), Ar(40), CO2(44), 括弧內(nèi)的數(shù)字是分子量。設(shè)大氣的溫度為290K，已知地球質(zhì)量M=5.981024kg，地球半徑R=6378km.解：逃逸速度可由分子動(dòng)能等于相對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)的引力勢(shì)能分子量23氣體 H2 He H2O N2 O2 Ar CO2 K 5.88 8.32 17.65 22.0 23.53 26.31

9、27.59 當(dāng)代宇宙學(xué)告訴我們，宇宙中原初的化學(xué)成分絕大部分是氫（約占3/4）和氦（約占1/4）。任何行星形成之初，原始大氣中都應(yīng)有相當(dāng)大量的氫和氦。但是現(xiàn)在地球的大氣里幾乎沒(méi)有H2和 He，而其主要成分卻是N2和O2。為什么？ 大氣分子的熱運(yùn)動(dòng)促使它們逸散，萬(wàn)有引力阻止它們逃脫。方均根速度標(biāo)志著前者動(dòng)能的大小，逃逸速度標(biāo)志著后者勢(shì)能的大小，例題中的比值K標(biāo)志著二者抗衡中誰(shuí)占先的問(wèn)題。24 K值愈大，表示引力勢(shì)能愈大，分子不易逃脫。K值剛剛大于1顯然不足以有效地阻止氣體分子的散失，因?yàn)檫@時(shí)僅僅具有平均熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的分子被引力拉住，但是按麥克斯韋分布律，氣體中有大量的分子速率大過(guò)、甚至遠(yuǎn)大過(guò)方均根

10、速度，它們?nèi)匀豢梢蕴用摗?duì)于某種氣體需要多大的K值才能將它保?。坷}的結(jié)果表明，K68是不夠大的，這未能把地球大氣里的H2和He保住。K大到2224肯定是夠了，因?yàn)檫@數(shù)值沒(méi)有讓N2和O2散失。25都與 成正比，與 （或 ）成反比f(wàn)(v)v26溫度越高，速率大的分子數(shù)越多溫度越高，分布曲線中的最概然速率vp增大，但歸一化條件要求曲線下總面積不變，因此分布曲線寬度增大，高度降低。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T227例設(shè)想有N個(gè)氣體分子，其速率分布函數(shù)為試求: (1)常數(shù)A；(2)最可幾速率，平均速率和方均根；(3)速率介于0v0/3之間的分子數(shù)；(4)速率介于0v0/

11、3之間的氣體分子的平均速率。解： (1)氣體分子的分布曲線如圖由歸一化條件28(2)最可幾速率由決定，即平均速率方均速率方均根速率為29(3)速率介于0v0/3之間的分子數(shù)(4)速率介于0v0/3之間的氣體分子平均速率為30討論速率介于v1v2之間的氣體分子的平均速率的計(jì)算對(duì)于v的某個(gè)函數(shù)g(v)，一般地，其平均值可以表示為315-4 玻爾茲曼分布律若氣體分子處于恒定的外力場(chǎng)（如重力場(chǎng)）中氣體分子在空間位置不再呈均勻分布?xì)怏w分子分布規(guī)律如何在麥克斯韋速度分布律中，32玻爾茲曼對(duì)麥克斯韋分布律的推廣：(1)分子在外力場(chǎng)中(2)粒子的分布不僅按速率區(qū)間vv+dv分布，還應(yīng)按位置空間xx+dx,yy

12、+dy,zz+dz分布。分子勢(shì)能dN氣體處在空間任意小體積元dxdydz中的分子數(shù)n0勢(shì)能等于零處的分子數(shù)密度氣體分子按勢(shì)能分布的特點(diǎn)33能級(jí)粒子能量取分立值的情況下玻爾茲曼分布對(duì)于任意兩個(gè)能級(jí)，有在正常狀態(tài)下，能級(jí)越低，粒子數(shù)越多。粒子總是優(yōu)先占據(jù)低能級(jí)狀態(tài)。處于Ei狀態(tài)的粒子數(shù)34例5-2由玻爾茲曼分布律證明恒溫氣壓公式式中P0為n=0處的大氣壓強(qiáng)，P為h處的大氣壓強(qiáng)，m是大氣分子質(zhì)量。證：由氣體狀態(tài)方程大氣密度和壓強(qiáng)隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減?。ǜ呖湛諝庀”。瑲鈮旱停?5兩邊取對(duì)數(shù)測(cè)知地面和高空處的壓強(qiáng)與溫度，可估算所在高空離地面的高度。實(shí)際應(yīng)用36例5-3氫原子基態(tài)能級(jí)E1=-13.6eV

13、，第一激發(fā)態(tài)能級(jí)E2=-3.4eV，求出在室溫T=270C時(shí)原子處于第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)的數(shù)目比。解：在室溫下，氫原子幾乎都處于基態(tài)。375-5 理想氣體的壓強(qiáng)公式、溫度公式和內(nèi)能一理想氣體的壓強(qiáng)公式 一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體。(V,N,m)考慮一個(gè)分子A，以速度vi 奔向一面元，與面元碰撞后返回動(dòng)量改變量為 氣體對(duì)器壁的壓強(qiáng)應(yīng)該是大量分子對(duì)容器不斷碰撞的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果。38把所有分子按速度分為若干組，在每一組內(nèi)的分子速度大小， 方向都差不多。設(shè)s 法向?yàn)?x 軸vi tsx設(shè)第i組分子的速度為共有Ni個(gè)其分子數(shù)密度為在t時(shí)間內(nèi)沿X方向平移的距離為vixt體積為vixts的柱體內(nèi)所有分子都

14、與s相碰39因?yàn)樗俣葹?的分子中， 各占一半 其動(dòng)量改變量速度不同的各組分子與面元相碰后總的動(dòng)量改變量為t時(shí)間內(nèi)，與面元s相碰的速度為 的分子數(shù)為40作用在面元上的作用力壓強(qiáng)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能41二、理想氣體的溫度公式溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能大小的量度42例5-1（1）在一個(gè)具有活塞的容器中盛有一定的氣體。如果壓縮氣體并對(duì)它加熱，使它的溫度從270C升到1770C，體積減少一半，求氣體壓強(qiáng)變化多少？ （2）這時(shí)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能變化多少？解：435-6 能量均分定理 理想氣體的內(nèi)能一、自由度 i（Degree of freedom）確定一個(gè)物體的空間位置 所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。以剛性分子

15、（分子內(nèi)原子間距離保持不變）為例雙原子分子單原子分子平動(dòng)自由度t=3平動(dòng)自由度t=3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r=244三原子分子平動(dòng)自由度t=3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r=3二、能量按自由度均分定理45推廣氣體分子沿X,Y,Z三個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能完全相等，可以認(rèn)為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能 均勻分配在每個(gè)平動(dòng)自由度上。平衡態(tài)下，不論何種運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)于每一個(gè)可能自由度的平均動(dòng)能都是能量按自由度均分定理46如果氣體分子有i個(gè)自由度，則分子的平均動(dòng)能為三、理想氣體的內(nèi)能分子間相互作用可以忽略不計(jì)分子間相互作用的勢(shì)能=0理想氣體的內(nèi)能=所有分子的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之總和1mol理想氣體的內(nèi)能為47一定質(zhì)量理想氣體的內(nèi)能為內(nèi)能僅與溫度有關(guān)，與

16、壓強(qiáng)和體積無(wú)關(guān)溫度改變，內(nèi)能改變量為48例題就質(zhì)量而言，空氣是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三種氣體組成，它們的分子量分別為28、32、40。空氣的摩爾質(zhì)量為28.910-3kg，試計(jì)算1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能。解： 在空氣中N2質(zhì)量摩爾數(shù)O2質(zhì)量摩爾數(shù)49Ar質(zhì)量摩爾數(shù)1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能505-7 氣體分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程氣體分子平均速率氮?dú)夥肿釉?70C時(shí)的平均速率為476m.s-1.矛盾氣體分子熱運(yùn)動(dòng)平均速率高，但氣體擴(kuò)散過(guò)程進(jìn)行得相當(dāng)慢?？藙谛匏怪赋觯簹怏w分子的速度雖然很大，但前進(jìn)中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分子運(yùn)動(dòng)方向就發(fā)生改變，所走的路

17、程非常曲折。51在相同的t時(shí)間內(nèi)，分子由A到B的位移比它的路程小得多擴(kuò)散速率(位移/時(shí)間)平均速率(路程/時(shí)間)分子自由程(free path):氣體分子在連續(xù)兩次碰撞之間自由通過(guò)的路程。碰撞頻率(collision frequency):在單位時(shí)間內(nèi)分子與其他分子碰撞的平均次數(shù)。52 大量分子的分子自由程與每秒碰撞次數(shù)服從統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。可以求出在一秒鐘內(nèi)一個(gè)分子與其他分子碰撞的平均次數(shù)和分子自由程的平均值。平均自由程（mean free path)平均自由程的大小是一定的假定每個(gè)分子都是有效直徑為d的彈性小球。只有某一個(gè)分子A以平均速率 運(yùn)動(dòng)，其余分子都靜止。53Adddvv運(yùn)動(dòng)方向上，以 d 為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子A 碰撞球心在圓柱體內(nèi)的分子一秒鐘內(nèi)