初二講義：勾股定理

1、 有志者事竟成！ 勤奮努力+堅(jiān)持不懈+沉著自信=成功！ PAGE 6“千里之行，始于足下”今日事今日畢，努力從現(xiàn)在開始！初二數(shù)學(xué)講義勾股定理一知識歸納勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖

2、的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證（方法一）（方法二）（方法三）方法二： 四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡得證.勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形.勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長

3、，求第三邊在中，則，知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題5.勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）例題解析題型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的長 已知，求的長分析：直接應(yīng)用勾股定理考點(diǎn)一、已知兩邊求第三邊例已知，如圖在ABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是邊BC上的高求 AD的長；ABC的面積BCA30練習(xí)一1已知直角三角形的兩邊長為3、2，則另一條邊長_2.（2009年濱州）某樓梯

4、的側(cè)面視圖如圖4所示，其中米，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為 3在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)4三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC邊上的高線AD=8,求BC題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例.在中，于，已知直角三角形的兩直角邊長之比為，斜邊長為，則這個(gè)三角形的面積為已知直角三角形的周長為，斜邊長為，則這個(gè)三角形的面積為分析：在解直角三角形時(shí)，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積有時(shí)可根據(jù)勾股定理列方程求解例.如圖中，求的長例4.如圖，,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積考點(diǎn)二、利用列方程求線段的長例如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩

5、村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？ADEBC練習(xí)二如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，長BC為10cm當(dāng)小紅折疊時(shí)，頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE）想一想，此時(shí)EC有多長？題型三：實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理例5.如圖有兩棵樹，一棵高，另一棵高，兩樹相距，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了題型四：與展開圖有關(guān)的計(jì)算例4、如圖一個(gè)圓柱，底圓周長6cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則最少要

6、爬行 cm題型五：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題 例、如圖所示，在一次夏令營活動(dòng)中，小明從營地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60方向走了到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。 （1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離。 （2）確定目的地C在營地A的什么方向。練習(xí).如圖8，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN=300，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否回受到噪聲的影響？說明理由如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18千米/時(shí)，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？圖8 勾股定理提高訓(xùn)練（一）

7、1、在RtABC中,若直角邊的長分別為1cm，2cm ，則斜邊長為_2、已知直角三角形的兩邊長為3、2，則另一條邊長是_3在一個(gè)直角三角形中，若斜邊長為5cm，直角邊的長為3cm，則另一條直角邊的長為( ). A4cm B4cm或 C D不存在4、在直角三角形ABC中，斜邊AB=1，則AB的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.85、直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為_6、如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，第9題ABCDE第7題 在花鋪內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了 步路第6題圖 （假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草 7、如圖，在ABC中，ABAC

8、13，BC10，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)E，則DE的長是_.8、把一根長為10的鐵絲彎成一個(gè)直角三角形的兩條直角邊，如果要使三角形的面積是92，那么還要準(zhǔn)備一根長為_的鐵絲才能把三角形做好9如圖，將一個(gè)邊長分別為4、8的長方形紙片ABCD折疊，使C 點(diǎn)與 A點(diǎn)重合，則EB的長是（ ）A3B4 C D5 BA6cm3cm1cm第10題圖10、如圖，長方體的底面邊長分別為1cm 和3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_cm；如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞3圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_cm11、在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)12、如圖，某學(xué)校（A點(diǎn)）與公路（直線L）的距離為300米，又與公路車站（D點(diǎn)）的距離為500米，現(xiàn)要在公路上建一個(gè)小商店（C點(diǎn)），使之與該校 A及車站D的距離相等，求商店與車站之間的距離13、