考專4事故樹計算題

1、一、頂上事件發(fā)生的概率1如果事故樹中不含有重復的或相同的基本事件，各基本事件又都是相互獨立的，頂上事件發(fā)生的概率可根據(jù)事故樹的結構，用下列公式求得。用“與門”連接的頂事件的發(fā)生概率為：P(T ) qii1n用“或門”連接的頂事件的發(fā)生概率為：P(T ) 1 (1 qi )i1式中：qi第i個基本事件的發(fā)生概率（i=1，2，n）。n例如：某事故樹共有2個最小割集：E1=X1，X2， E2=X2，X3，X4 。已知各基本事件發(fā)生的概率為： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5； q4=0.5；求頂上事件發(fā)生概率？+E1E2.X3X2X4X1X2T P(T ) 1 (1 0.50.2) (1

2、 0.20.50.5) 0.145P(T ) 1) 0.5 0.2 0.2 0.5 0.5 0.2 0.5 0.5 0.5 0.1252P(T ) 1 (1 PEi ) 1 (1 PE1 ) (1 PE 2 )i123 1 (1i )i1i1 1 (12 ) (13q4 )2但當事故樹含有重復出現(xiàn)的基本事件時，或基本事件可能在幾個最小割集中重復出現(xiàn)時，最小割集之間是相交的，這時，應按以下幾種方法計算。 最小割集法事故樹可以用其最小割集的等效樹來表示。這時，頂上事件等于最小割集的并集。設某事故樹有K 個最小割集： E1 、E2 、 Er、Ek，則有：kT Err 1頂上事件發(fā)生概率為：kP(T

3、) P Er r 1化簡，頂上事件的發(fā)生概率為：式中：r、s、k最小割集的序號，rsk；i 基本事件的序號，1rskk個最小割集中第r、s兩個割集的組合順序； E 屬于第r個最小割集的第i個基本事件；xir E 屬于第r個或第s個最小割集的第i個基x Eirs本事件。kkP(T ) (1)k1qiir 1 xi Er1r sk xi ErEsr 1xi E1E2E3Ek公式中的第一項 “求各最小割集E的發(fā)生概率的和”（將各最小割集中的基本事件的概率積因此，相加）；但有重復計算的情況，在第二項中 “減去每兩個最小割集同時發(fā)生的概率”（將每兩個最小割集并集的基本事件的概率積算的情況，相加）；還有重

4、復計在第三項 “加上每三個最小割集同時發(fā)生的概率” （將每三個最小割集并集的基本事件的概率積相加） ；以此類推，加減號交替，直到最后一項 “計算所有最小割集同時發(fā)生的概率”kkP(T ) (1)k1qiir 1 xi Er1r sk xi ErEsr 1xi E1E2E3Ek例如：某事故樹共有3個最小割集：試用最小割集法計算頂事件的發(fā)生的概率。E1=X1，X2， X3 ， E2=X1，X4 E3=X3，X5已知各基本事件發(fā)生的概率為：q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05求頂上事件發(fā)生概率？E1=X1，X2， X3 ， E2=X1，X4 E3=X

5、3，X5P(T2q324 0.001904kP(T ) qir 1 xi Er最小徑集法根據(jù)最小徑集與最小割集的對偶性，利用最小徑集同樣可求出頂事件發(fā)生的概率。設某事故樹有k個最小徑集：P1、P2、Pr、Pk。用Dr（r=1，2，k）表T示最小徑集不發(fā)生的事件，用上事件不發(fā)生。表示頂由最小徑集定義可知，只要k個最小徑集中有一個不發(fā)生，頂事件就不會發(fā)生，則：kT Drr 1k1 P(T ) P Dr r 1故頂上事件發(fā)生的概率：kkP(T ) 1 1i 11 qi k 1r 1 xi Pr1r sk xi PrPsr 1xi P1P2P3Pk式中：Pr 最小徑集（r=1，2，k）；r、s最小徑集

6、的序數(shù)，rs；k最小徑集數(shù)；（1-qr）第i個基本事件不發(fā)生的概率；xi prxi pr屬于第r個最小徑集的第i個基本事件； ps屬于第r個或第s個最小徑集的第i個基本事件第一項 “減去各最小徑集P實現(xiàn)的概率的和”（將各最小徑集中的基本事件不發(fā)生的概率積復計算的情況，因此，相加）；但有重第二項 “加上每兩個最小徑集同時實現(xiàn)的概率”（將每兩個最小徑集并集中的各基本事件不發(fā)生的概率積加）；還有重復計算的情況，第三項 “減去每三個最小徑集同時實現(xiàn)的概率”每三個最小徑集并集的基本事件不發(fā)生的概率積加） ；相（將相以此類推，加減號交替，直到最后一項 “計算所有最小徑集同時實現(xiàn)的概率”例如：某事故樹共有4

7、個最小徑集，P1=X1，X3 ， P2=X1，X5 ,P3=X3，X4, P4= X2， X4，X5已知各基本事件發(fā)生的概率為：q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05試用最小徑集法求頂上事件發(fā)生概率？P1=X1，X3 ， P2=X1，X5 ,P3=X3，X4, P4= X2， X4，X5P(T ) 1(1 q(1 q1)(10.001904872q1 )(1例如：某事故樹共有2個最小徑集：P1=X1，X2，P2=X2，X3。已知各基本事件發(fā)生的概率為： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5；求頂上事件發(fā)生概率？q q 0.5 0.5 0.

8、P1P2+X2X3X1X2二、基本事件的概率重要度基本事件的重要度：一個基本事件對頂上事件發(fā)生的影響大小?；臼录慕Y構重要度分析只是按事故樹的結構分析各基本事件對頂事件的影響程度，所以，還應考慮各基本事件發(fā)生概率對頂事件發(fā)生概率的影響，即對事故樹進行概率重要度分析。事故樹的概率重要度分析是依靠各基本事件的概率重要度系數(shù)大小進行定量分析。所謂概率重要度分析，它表示第i個基本事件發(fā)生的概率的變化引起頂事件發(fā)生概率變化的程度。由于頂上事件發(fā)生概率函數(shù)是n個基本事件發(fā)生概率的多重線性函數(shù),對自變量qi求一次偏導，即到該基本事件的概率重要度系數(shù)。xi基本事件的概率重要度系數(shù)：i P(T )Igqi式中

9、：P（T）頂事件發(fā)生的概率；qi 第i個基本事件的發(fā)生概率。利用上式求出各基本事件的概率重要度系數(shù)，可確定降低哪個基本事件的概率能迅速有效地降低頂上事件的發(fā)生概率。例如：某事故樹共有2個最小割集：E1=X1，X2，E2=X2，X3。已知各基本事件發(fā)生的概率為： q1=0.4； q2=0.2； q3=0.3；排列各基本事件的概率重要度，+P1P2.X2X3X1X2四、基本事件的臨界重要度（關鍵重要度）一般當各qi不等時，改變qi大的Xi較容易，但概率重要度系數(shù)并未反映qi變化?？紤]從本質(zhì)上反映Xi在事故樹中的重要程度。臨界重要度分析，它表示第i個基本事件發(fā)生概率的變化率引起頂事件概率的變化率；相比概率重要度，臨界重要度更合理更具有實際意義?；臼录呐R界重要度（關鍵重要度）：qiI i I icggP(T )I ic第i個基