數(shù)學(xué)物理方法 第三章 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

1、上次課復(fù)習(xí)柯西Cauchy定理單連區(qū)域柯西定理：如果函數(shù)f(z)在閉單通區(qū)域B上解析，則沿B上的任一分段光滑閉合曲線l，有復(fù)通區(qū)域柯西定理：如果f(z)是閉復(fù)通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，則幾個(gè)重要的積分結(jié)果：柯西公式若f(z)在閉單通區(qū)域B上解析， l為B的境界線，為B內(nèi)一點(diǎn)，則第三章 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)3、1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)的無(wú)窮級(jí)數(shù)這樣，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題。收斂的充要條件：柯西收斂判據(jù)：對(duì)于任一給定的小正數(shù)，存在一個(gè)N，使得nN時(shí)， ，p為任意正整數(shù)。絕對(duì)收斂：如果復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模（正實(shí)數(shù)）組成的級(jí)數(shù) 收斂，則wk絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂的復(fù)數(shù)

2、項(xiàng)級(jí)數(shù)必是收斂的，各項(xiàng)先后次序可變，其和不改變。設(shè)有兩個(gè)絕對(duì)收斂的復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 把它們逐項(xiàng)相乘，得p1q1+(p1q2+p2q1)+(p1q3+p2q2+p3q1)+也是絕對(duì)收斂的，其和等于兩個(gè)級(jí)數(shù)的和之積。復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)是z的函數(shù)。如果在某個(gè)區(qū)域B（或某根曲線l）上所有點(diǎn)上，級(jí)數(shù)都收斂，就叫做在B（或l ）上收斂。應(yīng)用柯西收斂判據(jù)，復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在B（或l）上收斂的充要條件是：在B（或l）上各點(diǎn)z，對(duì)于任一給定小正數(shù)，存在N(z)，使得nN(z)時(shí)， ，p為任意正整數(shù)。如果N與z無(wú)關(guān)，則復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在B （或l）上一致收斂。xD1D一致收斂判別法（韋爾斯特拉斯判別法）：如果對(duì)于某個(gè)區(qū)域B（或曲線l）

3、上所有各點(diǎn)z，復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)的模 ，而正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂，則復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在B（或曲線l ）上絕對(duì)且一致收斂。在B上一致收斂的復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是B上的連續(xù)函數(shù)，級(jí)數(shù)和也是。在l上一致收斂的復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是l上的連續(xù)函數(shù)，則級(jí)數(shù)的和也是，且級(jí)數(shù)可以沿l逐項(xiàng)積分。3、2 冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)都是冪函數(shù)的復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)其中z0,a0,a1,a2,都是復(fù)常數(shù)。這樣的級(jí)數(shù)叫做以z0為中心的冪級(jí)數(shù)。絕對(duì)收斂：由冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)模組成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)|a0|+|a1|z-z0|+|a2|z-z0|2+|ak|z-z0|k+根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）可知，如果則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。也就是說(shuō)，冪級(jí)數(shù)后

4、面的項(xiàng)的模越來(lái)越大，必然是發(fā)散級(jí)數(shù)。即如果|z-z0|R，則發(fā)散。那么以z0為圓心做一個(gè)半徑為R的圓CR，圓內(nèi)絕對(duì)收斂，圓外發(fā)散。CR稱為冪級(jí)數(shù)的收斂圓，半徑R為收斂半徑。CR上各點(diǎn)冪級(jí)數(shù)是收斂還是發(fā)散，需具體分析。z0RCR在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂。所謂圓內(nèi)是指比這個(gè)收斂圓稍小一些的閉區(qū)域。因此，以z0為圓心做一個(gè)半徑R1稍小于R的圓周CR1，在CR1所圍閉圓域上，冪級(jí)數(shù)的各項(xiàng)模對(duì)于正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ，應(yīng)用比值判別法 收斂，則冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部絕對(duì)且一致收斂。冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂。這就是說(shuō)，它在一個(gè)稍小的圓周CR1上一致收斂。因此，它可以沿CR1逐項(xiàng)積分。為了應(yīng)用柯西公式，把z改為，

5、并把級(jí)數(shù)的和記作w()，w()=a0+a1(-z0)+a2(-z0)2+取任一內(nèi)點(diǎn)z，用有界函數(shù) 遍乘w()該級(jí)數(shù)仍在CR1上一致收斂，可以沿CR1逐項(xiàng)積分。因?yàn)樵搩缂?jí)數(shù)在開(kāi)平面上是解析的，上式右邊各項(xiàng)可以分別利用柯西公式，得：也就是說(shuō)，冪級(jí)數(shù)的和可以表示為連續(xù)函數(shù)的回路積分，而連續(xù)函數(shù)的回路積分可在積分號(hào)下求導(dǎo)任意多次，亦即是解析函數(shù)。這樣，冪函數(shù)的和在收斂圓的內(nèi)部是解析函數(shù)，在收斂圓內(nèi)不可能出現(xiàn)奇點(diǎn)。改用有界函數(shù) 遍乘w(),得：沿回路CR1逐項(xiàng)積分并應(yīng)用柯西公式，得：這就是說(shuō)，冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)任意多次。因?yàn)槭諗繄A內(nèi)部是單通區(qū)域，所以冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)又可以逐項(xiàng)積分。冪級(jí)數(shù)在收斂

6、圓內(nèi)的性質(zhì)：1、和函數(shù)是解析函數(shù)；2、可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，且收斂半徑不變；3、可以逐項(xiàng)積分，且收斂半徑不變；3、3 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)從上一節(jié)知道，冪級(jí)數(shù)之和在收斂圓內(nèi)部為解析函數(shù)，那么本節(jié)研究解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題。已知，任意階導(dǎo)數(shù)都存在的實(shí)變函數(shù)可以展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，既然解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，也希望能把解析函數(shù)展開(kāi)為復(fù)變項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)。定理：設(shè)f(z)在以z0為圓心的圓CR內(nèi)解析，則對(duì)圓內(nèi)任意z點(diǎn)，f(z)可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)CRCRCRCR泰勒級(jí)數(shù)的唯一性：說(shuō)明：和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析，解析函數(shù)可以展為唯一的泰勒級(jí)數(shù)。即收斂圓等于解析區(qū)域。求收斂半徑的一個(gè)方法：R=|z1-z0|，找到最近的奇點(diǎn)z0，

7、奇點(diǎn)到展開(kāi)中心的距離。3、4 解析延拓xy-11-iixy-11-b: f(z)B: F(z)在b上，f(z)=F(z)F(z)?泰勒級(jí)數(shù)選取b內(nèi)任一內(nèi)點(diǎn)z0,在z0的鄰域上把f(z)展為泰勒級(jí)數(shù)。如果這個(gè)泰勒級(jí)數(shù)的收斂圓有一部分超出b，f(z)的定義域就擴(kuò)大了一步。唯一xy-11-iibB3、5 洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)當(dāng)所研究的區(qū)域上存在函數(shù)的奇點(diǎn)時(shí)，就不能將函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)，而需要考慮除去奇點(diǎn)的環(huán)域上的展開(kāi)，這就是洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)。雙邊冪級(jí)數(shù)簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)節(jié)前內(nèi)容泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)定理：設(shè)f(z)在以z0為圓心的圓CR內(nèi)解析，則對(duì)圓內(nèi)任意z點(diǎn)，f(z)可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)解析延拓洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)xy-11-環(huán)域上的解析函數(shù)

8、的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題說(shuō)明：xy1-3、6 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在某點(diǎn)z0不可導(dǎo)，而在z0的任意小鄰域內(nèi)除z0之外處處可導(dǎo)，則z0為f(z) 的孤立奇點(diǎn)。若在z0無(wú)論多么小的鄰域內(nèi)總可以找到除z0外的不可導(dǎo)點(diǎn)，z0為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。上節(jié)已說(shuō)明，在挖去孤立奇點(diǎn)的環(huán)域上的解析函數(shù)可展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)，其中正冪部分為解析部分，負(fù)冪部分為主要部分，a-1為f(z)在z0的留數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，洛朗級(jí)數(shù)的主要部分有無(wú)限多負(fù)冪項(xiàng)，但具體情況仍有不同，比如前面計(jì)算過(guò)的，在挖去孤立奇點(diǎn)z0而形成的環(huán)域上的解析函數(shù)f(z)的洛朗級(jí)數(shù)分三種：（1）無(wú)負(fù)冪項(xiàng) z0為f(z)的可去奇點(diǎn)（2）有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng) z0為f(z)的極點(diǎn)（3）有無(wú)限個(gè)負(fù)冪項(xiàng) z0為f(z)的本性奇點(diǎn)如果z0為f(z)的可去奇點(diǎn)，就是說(shuō)在為z0圓心半徑為0的圓環(huán)域0|z- z0|R (R是某個(gè)有限或無(wú)限的數(shù)值)上