自適應濾波法

1、5自適應濾波法5.1自適應濾波法的基本過程自適應濾波法與移動平均法、指數平滑法一樣，也是以時間序列的歷史觀測值進 行某種加權平均來預測的，它要尋找一組“最佳”的權數，其辦法是先用一組給 定的權數來計算一個預測值，然后計算預測誤差，再根據預測誤差調整權數以減 少誤差。這樣反復進行，直至找出一組“最佳”權數，使誤差減少到最低限度。 由于這種調整權數的過程與通訊工程中的傳輸噪聲過濾過程極為接近，故稱為自 適應濾波法。自適應濾波法的基本預測公式為Nyt+1 = wy,+ w2y_ +. + wNyt-N +1 = z wyt-i+1（33）i=1式（33）中，yti為第t +1期的預測值，w,為第t-

2、i +1期的觀測值權數，yt-i+i為 第t- i +1期的觀測值，n為權數的個數。其調整權數的公式為w. = w. +2k - e y（34）式中，i= 1,2,., N, t = N, N + 1,., n為序列數據的個數，w.為調整前的第i個權 數，w；為調整后的第i個權數，k為學習常數，e為第t + 1期的預測誤差。 式（34）表明：調整后的一組權數應等于舊的一組權數加上誤差調整項，這個調 整項包括預測誤差、原觀測值和學習常數等三個因素。學習常數k的大小決定權 數調整的速度。下面舉一個簡單的例子來說明此法的全過程。設有一個時間序列包括10個觀 測值，如表9所示。試用自適應濾波法，以兩個

3、權數來求第11期的預測值。 表9某時間序列數據表時期 t1 2 3 4 5 6 7 8 9 10觀測值 y 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0本例中N = 2。取初始權數w = 0.5, w = 0.5并設k = 0.9。t的取值由N = 2 開始，當t = 2時：（1）按預測公式（33），求第t + 1 = 3期的預測值。y = y = w y + w y = 0.15 t +131 22 1（2）計算預測誤差。e = e = y - y = 0.3 - 0.15 = 0.15根據式(34)w = w + 2 k - e y 調整權數為w = w

4、+ 2 k - e y = 0.554 w = w + 2 k - e y = 0.527（1）（3）結束，即完成了一次權數調整，然后t進1再重復以前步驟。當t = 3 時：（1）利用所得到的權數，計算第t + 1 = 4期的預測值。方法是，舍去最前面的一個觀測值七，增加一個新的觀測值y3。即y = y = w 1 y + w 1 y = 0.2716 t + 141 32 2計算預測誤差e = e = y - y = 0.13調整權數w = 0.554 + 2 x 0.9 x 0.13 x 0.3 = 0.624w = 0.527 + 2 x 0.9 x 0.13 x 0.2 = 0.564

5、這樣進行到t = 10時y =y = w y + w y t+11111029但由于沒有t = 11的觀測值，因此人e = e = y - y無法計算。這時，第一輪的調整就此結束。把現(xiàn)有的新權數作為初始權數，重新 開始t = 2的過程。這樣反復進行下去，到預測誤差（指新一輪的預測總誤差）沒 有明顯改進時，就認為獲得了一組“最佳”權數，能實際用來預測第11期的數 值。本例在調整過程中，可使得誤差降為零，而權數達到穩(wěn)定不變，最后得到的 “最佳”權數為可使得誤差降為零，而權數達到穩(wěn)定不變，最后得到的“最佳”權數為w = 2.0，w = -1 .0用“最佳”權數預測第11期的取值y = w y + w

6、 y 9111 102 9在實際應用中，權數調整計算工作量可能很大，必須借助于計算機才能實現(xiàn)。計算的MATLAB程序如下：clc,clearyt=0.1:0.1:1;m=length(yt); k=0.9;N=2; Terr=10000;w=ones(1,N)/N;while abs(Terr)0.00001Terr二口；for j=N+1:m-1yhat(j)二w*yt(j-1:T:j-N);err=yt(j)-yhat(j);Terr=Terr,abs(err);w=w+2*k*err*yt(j-1:-1:j-N);endTerr=max(Terr);endw, yhat5.2 N k值和

7、初始權數的確定N , k在開始調整權數時，首先要確定權數個數N和學習常數k。一般說來，當時 間序列的觀測值呈季節(jié)變動時，N應取季節(jié)性長度值。如序列以一年為周期進 行季節(jié)變動時，若數據是月度的，則取N = 12，若季節(jié)是季度的，則取N = 4。 如果時間序列無明顯的周期變動，則可用自相關系數法來確定，即取N為最高自相關系數的滯后時期。k的取值一般可定為L，N，也可以用不同的k值來進行計算，以確定一個能使S最小的k值。初始權數的確定也很重要，如無其它依據，也可用VN作為初始權系數用， 即w, = N (i = 1, 2,., N )自適應濾波法有兩個明顯的優(yōu)點：一是技術比較簡單，可根據預測意圖來選 擇權數的個數和學習常數，以控