2023屆高三數學單元卷七《立體幾何與空間向量》能力提升卷（及答案）

1、單元卷七立體幾何與空間向量(能力提升卷)題號123456789101112答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.2022北京西城區(qū)一模已知、是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列命題中正確的是()A.若，則B.若a，b，則abC.若a，b，則abD.若a，a，則2.2021上海徐匯區(qū)一模如圖，PA平面ABCD，ABCD為矩形，連接AC，BD，PB，PC，PD，下面各組向量中，數量積不一定為零的是()A.eq o(PC,sup6()與eq o(BD,sup6() B.eq o(PB,sup6()與eq o(DA,s

2、up6()C.eq o(PD,sup6()與eq o(AB,sup6() D.eq o(PA,sup6()與eq o(CD,sup6()3.2021安徽五校聯考在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點，則異面直線EF與PQ所成角的大小是()A.eq f(,4) B.eq f(,6) C.eq f(,3) D.eq f(,2)4.2021廣東中山一模算數書是我國現存最早的數學著作，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式Veq f(1,36)L2h，

3、用該術可求得圓周率的近似值.現用該術求得的近似值，并計算得一個底面直徑和母線長相等的圓錐的表面積的近似值為9，則該圓錐體積的近似值為()A.eq r(3) B.2eq r(3) C.3eq r(3) D.35.2021上海格致中學高三三模如圖，棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P，Q分別是面對角線AD1與BD上的動點，且APDQ，給出下列兩個判斷：(1)PQ和A1C1始終是異面直線；(2)PQ長的最小值是eq f(2r(3),3)；則下列說法正確的是()A.(1)正確，(2)錯誤 B.(1)錯誤，(2)正確C.(1)正確，(2)正確 D.(1)錯誤，(2)錯誤6.2021福建廈門市高

4、三三模如圖在四棱錐PABCD的平面展開圖中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，三角形ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，HDCFAB90，則四棱錐PABCD外接球的球心到面PBC的距離為()A.eq f(r(30),5) B.eq f(r(30),6) C.eq f(r(5),5) D.eq f(r(5),6)7.2022哈爾濱師大附中一模過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A作平面，使平面A1B1CD，A1D1和D1C1的中點分別為E和F，則直線EF與平面所成角的正弦值為()A.eq f(1,2) B.eq f(r(3),2) C.eq f(r(2),3) D.eq f(r(3),3)8

5、.2021河南鄭州一模如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點F，G分別是PB，PD的中點，點E在線段PC上，且CE3EP，則()A.PDEFB.直線PA與直線GF相交C.PAEGD.PA平面EFG二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.2021合肥六中期末如圖所示的幾何體是一個正方體挖掉一個圓錐(圓錐的底面圓與正方體的上底面正方形各邊相切，頂點在下底面上)，用一個垂直于正方體某個面的平面截該幾何體，下列圖形中可能是其截面圖的是()10.2021江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市一模

6、一個正四面體和一個正四棱錐的所有棱長都相等，將正四面體的一個面和正四棱錐的一個側面緊貼重合在一起，得到一個新幾何體，對于該新幾何體，有()A.AFCDB.AFDEC.新幾何體有7個面D.新幾何體的六個頂點不能在同一個球面上11.2022濟寧模擬如圖，已知一個八面體的各條棱長均為2，四邊形ABCD為正方形，給出下列說法，其中正確的是()A.該八面體的體積為eq f(8,3)B.該八面體的外接球的表面積為8C.點E到平面ADF的距離為eq r(3)D.EC與BF所成的角為6012.2021山東菏澤期末沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部

7、容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的eq f(2,3)(細管長度忽略不計)，假設該沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結論錯誤的是()A.沙漏的側面積是16eq r(5) cm2B.沙漏中細沙的體積為1 024 cm3C.細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為1.2 cmD.該沙漏的一個沙時大約是1 985秒(3.14)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2021河北張家口質量

8、檢測萊昂哈德歐拉是科學史上一位杰出的數學家，他的研究論著幾乎涉及所有數學分支，有許多公式、定理、解法、函數、方程、常數等是以歐拉名字命名的.歐拉發(fā)現，不論什么形狀的凸多面體，其頂點數V、棱數E、面數F之間總滿足數量關系VFE2，此式稱為歐拉定理.已知某凸八面體，4個面是三角形，3個面是四邊形，1個面是六邊形，則該八面體的棱數為_，頂點的個數為_.14.2022淮北模擬如圖，在梯形ABCD中，ABBC，ADBC，AB1，BC1，AD2.取AD的中點E，將ABE沿BE折起，使二面角ABEC為120，則四棱錐ABCDE的體積為_.15.2021蘭州一模如圖，正方體A1C的棱長為1，點M在棱A1D1上

9、，且A1M2MD1，過點M的平面與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為_.16.2022河北石家莊期末我國古代九章算術中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童ABCDEFGH有外接球，AB2eq r(6)，AD2eq r(2)，EHeq r(15)，EFeq r(5)，平面EFGH與平面ABCD的距離為1，則該芻童外接球的體積為_.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)2021江西南昌一模如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，ABC60，對角面AA1C1C是矩形，且平

10、面AA1C1C平面ABCD.(1)證明：四棱柱ABCDA1B1C1D1是直四棱柱；(2)設ACBDO，若ABAA1，求二面角DOB1C1的余弦值.18.(12分)2022山西太原一模如圖，在三棱錐PABC中，PAPBeq r(2)，ACBCPCeq r(5)，AB2，點E為PC的中點.(1)證明：平面PAB平面ABC；(2)設點F在線段BC上，且eq o(BF,sup6()eq o(FC,sup6()，若二面角CAEF的大小為45，求實數的值.19.(12分)2022四川成都二模如圖，在等腰三角形PBC中，PBPC3eq r(5)，BC6，D，E滿足eq o(BD,sup6()2eq o(DP

11、,sup6()，eq o(CE,sup6()2eq o(EP,sup6().將PDE沿直線DE折起到ADE的位置，連接AB，AC，得到如圖所示的四棱錐ABCED，點F滿足eq o(BF,sup6()2eq o(FA,sup6().(1)證明：DF平面ACE；(2)當ABeq r(29)時，求平面ACE與平面DEF所成銳二面角的余弦值.20.(12分)2021湖南五市聯考如圖，在四棱錐PABCD中，側面PAB底面ABCD，側面PAD底面ABCD，ADBC，ABBC，ABeq r(3)AD，ACB30.(1)證明：PA平面ABCD.(2)當直線PC與平面PBD所成的角最大時，求二面角PBDC的余弦

12、值.21.(12分)2021福州一中期末木工技藝是我國傳統(tǒng)文化瑰寶之一，體現了勞動人民的無窮智慧.很多古代建筑和家具保存到現代依然牢固，這其中，有連接加固功能的“楔子”發(fā)揮了重要作用.如圖，楔子狀五面體EFABCD的底面ABCD為一個矩形，AB8，AD6，EF平面ABCD，棱EAEDFBFC5，設M，N分別是AD，BC的中點.(1)證明：E，F，M，N四點共面，且平面EFNM平面ABCD；(2)若二面角FBCA的大小為eq f(,3)，求直線BF與平面EFCD所成角的正弦值.22.(12分)2021江蘇南京高三三模如圖，在直三棱柱中ABCA1B1C1，ABAC，AB3，AC4，B1CAC1.(

13、1)求AA1的長；(2)試判斷在側棱BB1上是否存在點P，使得直線PC與平面AA1C1C所成角和二面角BA1CA的大小相等，并說明理由.單元卷七立體幾何與空間向量(能力提升卷)1.BA中，若，可能相交也可能平行，A錯誤；B中，a，b，根據線面垂直的性質可判斷ab，B正確；C中，a，b，則a，b的位置不定，C錯誤；D中，a，a，則，可能相交也可能平行，D錯誤.故選B.2.A由PA平面ABCD，ABCD為矩形，A：BD平面ABCD，則PABD，而AC與BD不一定垂直，不一定有BD平面PAC，故BD不一定與PC垂直，所以eq o(PC,sup6()與eq o(BD,sup6()數量積不一定為0，符合

14、題意；B：由A知PAAD，又DAAB且ABPAA，AB，PA平面PAB，則DA平面PAB，又PB平面PAB，所以PBDA，即eq o(PB,sup6()與eq o(DA,sup6()數量積為0，不合題意；C：由上易知PAAB，又DAAB且DAPAA，DA，PA平面PAD，則AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD，即eq o(PD,sup6()與eq o(AB,sup6()數量積為0，不合題意；D：由上知PAAB，而ABCD，所以PACD，即eq o(PA,sup6()與eq o(CD,sup6()數量積為0，不合題意；故選A.3.C法一如圖，連接A1C1，BC1，則F是A1C1的中點，

15、因為E為A1B的中點，所以EFBC1.連接DC1，則Q是DC1的中點，又P為A1D的中點，所以PQA1C1，于是A1C1B或其補角是異面直線EF與PQ所成的角.易知A1C1B是正三角形，所以A1C1Beq f(,3)，所以異面直線EF與PQ所成角的大小是eq f(,3)，故選C.法二以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則P(1，0，1)，Q(0，1，1)，E(2，1，1)，F(1，1，2)，則eq o(PQ,sup6()(1，1，0)，eq o(EF,sup6()(1，0，1).設異面直線EF與PQ所成的角為eq blc

16、(rc)(avs4alco1(blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，則cos eq f(|o(EF,sup6()o(PQ,sup6()|,|o(EF,sup6()|o(PQ,sup6()|)eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,r(2)r(2)eq f(1,2)，所以eq f(,3)，故選C.4.A設該圓錐底面圓的半徑為r，高為h，則底面周長L2r，則圓錐的體積Veq f(1,36)(2r)2heq f(1,3)r2h，解得3，又底面直徑和母線長相等的圓錐的表面積的近似值為9，所以3r223r29，解得r1，則heq r(3)，所以該圓錐的體積為eq f(1,3)312

17、eq r(3)eq r(3)，故選A.5.B(1)如圖所示，建立空間直角坐標系.設APDQeq r(2)a，則P(2a，0，a)，Q(a，a，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，(0a2).所以eq o(A1C1,sup6()(2，2，0)，eq o(A1P,sup6()(a，0，a2)，eq o(A1Q,sup6()(a2，a，2).設平面A1C1P的法向量為n1(x1，y1，z1)，所以eq blc(avs4alco1(o(A1C1,sup6()n12x12y10，,o(A1P,sup6()n1ax1（a2）z10，)n(a2，a2，a).設平面A1C1Q的法向量為n2(x2，y

18、2，z2)，所以eq blc(avs4alco1(o(A1C1,sup6()n22x22y20，,o(A1Q,sup6()n2（a2）x2ay22z20，)n2(1，1，a1).如果PQ和A1C1共面，則平面A1C1P和平面A1C1Q重合，所以eq f(a2,1)eq f(a2,1)eq f(a,a1)，所以a24a20，a2eq r(2)0，2.所以PQ和A1C1始終是異面直線錯誤；(2)由題得|PQ|eq r(（2a2）2a2a2)eq r(6a28a4)，因為0a2，所以aeq f(2,3)時，PQ長的最小值是eq f(2r(3),3).所以(1)錯誤，(2)正確.故選B.6.C該幾何體

19、的直觀圖如圖所示，分別取AD，BC的中點O，M，連接OM，PM，PO1，OM2，PMeq r(PB2BM2)eq r(61)eq r(5)，OP2OM2PM2，OPOM，又POAD，OMADO，OM，AD平面ABCD，由線面垂直的判定定理得出PO平面ABCD.以點O為坐標原點，eq o(OA,sup6()，eq o(OM,sup6()，eq o(OP,sup6()的正方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(1，2，0)，P(0，0，1)，設四棱錐PABCD外接球的球心N(0，1，a)，eq o(PN,sup6()(0，1，a1)，eq o(NA,s

20、up6()(1，1，a)，|eq o(PN,sup6()|eq o(NA,sup6()|，1(1a)211a2，解得a0.設平面PBC的法向量為n(x，y，z)，eq o(PB,sup6()(1，2，1)，eq o(PC,sup6()(1，2，1)，eq o(NP,sup6()(0，1，1).則eq blc(avs4alco1(o(PB,sup6()n0，,o(PC,sup6()n0，)即eq blc(avs4alco1(x2yz0，,x2yz0，)取z2，則n(0，1，2).四棱錐PABCD外接球的球心到平面PBC的距離為d|eq o(NP,sup6()|cosn，eq o(NP,sup6(

21、)|eq o(NP,sup6()|eq blc|rc|(avs4alco1(f(no(NP,sup6(),|n|o(NP,sup6()|)eq f(1,r(5)eq f(r(5),5)，故選C.7.A在正方體ABCDA1B1C1D1中，因為平面平面A1B1CD，所以EF與平面所成角的正弦值和EF與平面A1B1CD所成角的正弦值相等.如圖，連接BC1，A1C，取AB的中點G，連接FG，顯然FG與A1C相交，設交點為O，則點O即正方體的中心.由A1B1BC1，B1CBC1，A1B1B1CB1，A1B1，B1C平面A1B1CD，得C1B平面A1B1CD.由F，G分別為D1C1，AB的中點，可得FGC

22、1B，所以FG平面A1B1CD.作FE的延長線交B1A1的延長線于點F，顯然FEEF，連接FO，則FO為線段FF在平面A1B1CD上的投影，FFO即直線EF與平面A1B1CD所成的角.設正方體的棱長為a，則FOeq f(1,2)FGeq f(r(2),2)a，FF2EF2eq f(r(2),2)aeq r(2)a，所以sinFFOeq f(f(r(2),2)a,r(2)a)eq f(1,2)，即直線EF與平面所成角的正弦值為eq f(1,2)，故選A.8.D如圖， 在CD上取一點H，使得CH3DH，連接EH，HF，又CE3EP，所以PDEH，則直線PD不與EF平行.連接AC，BD，交于點O，由

23、四邊形ABCD是平行四邊形得O為AC，BD的中點.因為F，G分別為PB，PD的中點，所以GFBD，連接PO，交GF于點M，于是PMMO，在線段EC上取點Q，使得CQ2QE，連接OQ，因為PEeq f(1,3)ECeq f(1,3)3EQEQ，所以E為PQ的中點，又PMMO，連接ME，則MEOQ.因為PQQC，AOOC，所以PAOQ，于是PAME，因此直線PA與GF異面，不與直線EG平行，PA平面EFG，故選D.9.ACD用過圓錐的軸且與上底面一組對棱垂直的平面截該幾何體可得A圖，用平行于圓錐底面的平面截該幾何體可得C圖，用垂直于圓錐底面且不過圓錐的軸的平面截該幾何體可得D圖，而B圖用垂直于正方

24、體的任何面的平面截都無法得到.故選ACD.10.ABD由題意，正四面體和正四棱錐的所有棱長都相等，設G，H分別為BC，ED的中點，連接FG，AH，AG，GH，則FGBC，AGBC，GHBC，BC平面AFG，BC平面AGH，A，F，G，H四點共面，四邊形AFGH為平行四邊形，AFGHCD，AFDE，故A，B正確.AFCD，A，F，C，D四點共面，即新幾何體為斜三棱柱，有5個面且無外接球，C錯誤，D正確.故選ABD.11.BDA.由題易得，該八面體的體積為2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)22r(2)eq f(8r(2),3)，A錯誤；B.該八面體的外接球的球心為正方形ABC

25、D對角線的交點，易得外接球的半徑為eq r(2)，則表面積為8，B正確；C.取AD的中點G，連接EG，FG，EF，易得EGFGeq r(3).過點E作EHFG，交FG的延長線于點H.由題可得ADEG，ADGF，則AD平面EFH，所以EHAD，又ADFGG，所以EH平面ADF.令FEG，則HEGeq f(,2)2.由題可得sin eq f(r(3),3)，cos eq f(r(6),3)，所以sin 22sin cos eq f(2r(2),3)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2)sin 2eq f(2r(2),3)，所以在RtEHG中，eq f(EH,EG)eq

26、 f(2r(2),3)，即eq f(EH,r(3)eq f(2r(2),3)，解得EHeq f(2r(6),3)，所以點E到平面ADF的距離為eq f(2r(6),3)，C錯誤；D.因為EDBF，所以EC與BF所成的角即為EC與ED所成的角，為60.12.ABC一個圓錐的母線長為eq r(82blc(rc)(avs4alco1(f(8,2)sup12(2)4eq r(5) cm，側面積為eq f(1,2)4eq r(5)816eq r(5) cm2，所以沙漏的側面積為216eq r(5)32eq r(5) cm2，故A錯誤；細沙在上部時，由題意知細沙成底面直徑和高均為8eq f(2,3)eq

27、f(16,3) cm的圓錐，因此體積為eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,3)eq sup12(2)eq f(16,3)eq f(1 024,81) cm3，故B錯誤；細沙全部漏入下部后，沙堆的高度為eq f(3f(1 024,81) ,16 )eq f(64,27)2.37 cm，故C錯誤；該沙漏的一個沙時大約是eq f(1 024,81)0.021 985秒，故D正確.故選ABC.13.159因為某凸八面體的4個面是三角形，3個面是四邊形，1個面是六邊形，所以該八面體的棱數Eeq f(43346,2)15.設頂點的個數為x，因為頂點數V、棱數E、面數F之間總

28、滿足數量關系VFE2，所以x8152，解得x9.14.eq f(r(6),12)梯形ABCD的面積Seq f(（12）1,2)eq f(3,2)，SABEeq f(1,2)11eq f(1,2)，SBCDEeq f(3,2)eq f(1,2)1.如圖，取BE中點H，連接AH，CH，AHBE，CHBE，AHC為二面角ABEC的平面角，AHC120.過點A作CH的垂線，交CH的延長線于點K，則AHeq f(r(2),2)，AKAHsin 60eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)eq f(r(6),4)，所以VABCDEeq f(1,3)AKSBCDEeq f(1,3)eq f(r(6)

29、,4)1eq f(r(6),12).15.3eq r(2)如圖，在線段D1C1上取點N，使C1N2ND1，連接MN，則MNA1C1.在CC1上取點P，使C1P2PC，連接NP，則NPA1B.在BC上取點Q，使BQ2QC.連接PQ，則PQBC1.在AB上取點E，使BE2EA，連接EQ，則EQA1C1.在AA1上取點F，使A1F2FA，連接EF，則EFA1B.連接MF，則平面MNPQEF平面A1BC1，即平面MNPQEF為平面，所以六邊形MNPQEF為滿足條件的截面多邊形.因為MNEFPQeq f(1,3)A1C1eq f(r(2),3)，FMQENPeq f(2,3)A1Beq f(2r(2),

30、3)，所以截面六邊形MNPQEF的周長為MNNPPQQEEFFM3eq f(r(2),3)3eq f(2r(2),3)3eq r(2).16.36設O為芻童外接球的球心，O1，O2分別為矩形EFGH，ABCD的中心，由球的幾何性質可知：O，O1，O2三點共線，連接OO1，O1G，OG，O2B，OB，如圖所示：由題知：OO2平面ABCD，OO1平面EFGH，所以O1O21.因為O1Geq f(1,2)eq r(EF2FG2)eq f(1,2)eq r(155)eq r(5)，設OO2m，在RtOGO1中，OGeq r(OOeq oal(2,1)O1G2)eq r(（m1）25)，因為O2Beq

31、f(1,2)eq r(AD2AB2)eq f(1,2)eq r(824)2eq r(2)，在RtOBO2中，OBeq r(OOeq oal(2,2)O2B2)eq r(m28)，設外接球的半徑為R，則ROGOB，所以eq r(（m1）25)eq r(m28)，解得m1，所以Req r(（11）25)3，Veq f(4,3)R336.17.(1)證明如圖，平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，因為對角面AA1C1C是矩形，所以AA1AC，AA1平面AA1C1C，由面面垂直的性質定理得AA1平面ABCD，故四棱柱ABCDA1B1C1D1是直四棱柱.(2)解因為四邊形AB

32、CD是菱形，所以ACBD.連接B1D1，設A1C1B1D1O1，連接OO1，則O1O底面ABCD，從而OB，OC，OO1兩兩垂直.以O為坐標原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.不妨設AB2t，因為CBA60，所以OBeq r(3)t，OCt，又ABAA1，所以B1(eq r(3)t，0，2t)，C1(0，t，2t).易知，n1(0，1，0)是平面BDD1B1的一個法向量.設n2(x，y，z)是平面OB1C1的法向量，則eq blc(avs4alco1(n2o(OB1,sup6()0，,n2o(OC1,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(

33、r(3)x2z0，,y2z0，)取zeq r(3)，則x2，y2eq r(3)，所以n2(2，2eq r(3)，eq r(3).設二面角DOB1C1的平面角為，由圖判斷知是銳角，于是cos |cosn1，n2|eq blc|rc|(avs4alco1(f(n1n2,|n1|n2|)eq f(2r(3),r(19)eq f(2r(57),19).故二面角DOB1C1的余弦值為eq f(2r(57),19).18.(1)證明取AB的中點為D，連接CD，PD，如圖，PAPBeq r(2)，AB2，PDAB，PD1，同理可得CDAB，CD2，PC2PD2CD25，PDCD.ABCDD，AB，CD平面A

34、BC，PD平面ABC.PD平面PAB，平面PAB平面ABC.(2)解以D為坐標原點，向量eq o(DB,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(DP,sup6()的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系Dxyz，由題意得A(1，0，0)，C(0，2，0)，B(1，0，0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)，eq o(AC,sup6()(1，2，0).eq o(BF,sup6()eq o(FC,sup6()，eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,1)，f(2,1)，0).設m(x1，y1，z1)是平面ACE的法向量，則eq blc(avs4alco1(mo(AE,sup6()0，,mo(AC,sup6()0，)eq blc(avs4alco1(x1y1f(1,2)z10，,x12y10，)令y11，則eq blc(avs4alco1(x12，,z12，)m(2，1，2)，設n(x2，y2，z2)是平面AEF的法向量，則eq blc(avs4alco1(n o(AE,s