2023屆高三數(shù)學(xué)單元卷七《立體幾何與空間向量》能力提升卷（及答案）

1、單元卷七立體幾何與空間向量(能力提升卷)題號(hào)123456789101112答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.2022北京西城區(qū)一模已知、是三個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線(xiàn)，下列命題中正確的是()A.若，則B.若a，b，則abC.若a，b，則abD.若a，a，則2.2021上海徐匯區(qū)一模如圖，PA平面ABCD，ABCD為矩形，連接AC，BD，PB，PC，PD，下面各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是()A.eq o(PC,sup6()與eq o(BD,sup6() B.eq o(PB,sup6()與eq o(DA,s

2、up6()C.eq o(PD,sup6()與eq o(AB,sup6() D.eq o(PA,sup6()與eq o(CD,sup6()3.2021安徽五校聯(lián)考在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)EF與PQ所成角的大小是()A.eq f(,4) B.eq f(,6) C.eq f(,3) D.eq f(,2)4.2021廣東中山一模算數(shù)書(shū)是我國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)著作，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式Veq f(1,36)L2h，

3、用該術(shù)可求得圓周率的近似值.現(xiàn)用該術(shù)求得的近似值，并計(jì)算得一個(gè)底面直徑和母線(xiàn)長(zhǎng)相等的圓錐的表面積的近似值為9，則該圓錐體積的近似值為()A.eq r(3) B.2eq r(3) C.3eq r(3) D.35.2021上海格致中學(xué)高三三模如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P，Q分別是面對(duì)角線(xiàn)AD1與BD上的動(dòng)點(diǎn)，且APDQ，給出下列兩個(gè)判斷：(1)PQ和A1C1始終是異面直線(xiàn)；(2)PQ長(zhǎng)的最小值是eq f(2r(3),3)；則下列說(shuō)法正確的是()A.(1)正確，(2)錯(cuò)誤 B.(1)錯(cuò)誤，(2)正確C.(1)正確，(2)正確 D.(1)錯(cuò)誤，(2)錯(cuò)誤6.2021福建廈門(mén)市高

4、三三模如圖在四棱錐PABCD的平面展開(kāi)圖中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，三角形ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，HDCFAB90，則四棱錐PABCD外接球的球心到面PBC的距離為()A.eq f(r(30),5) B.eq f(r(30),6) C.eq f(r(5),5) D.eq f(r(5),6)7.2022哈爾濱師大附中一模過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A作平面，使平面A1B1CD，A1D1和D1C1的中點(diǎn)分別為E和F，則直線(xiàn)EF與平面所成角的正弦值為()A.eq f(1,2) B.eq f(r(3),2) C.eq f(r(2),3) D.eq f(r(3),3)8

5、.2021河南鄭州一模如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)F，G分別是PB，PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段PC上，且CE3EP，則()A.PDEFB.直線(xiàn)PA與直線(xiàn)GF相交C.PAEGD.PA平面EFG二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.2021合肥六中期末如圖所示的幾何體是一個(gè)正方體挖掉一個(gè)圓錐(圓錐的底面圓與正方體的上底面正方形各邊相切，頂點(diǎn)在下底面上)，用一個(gè)垂直于正方體某個(gè)面的平面截該幾何體，下列圖形中可能是其截面圖的是()10.2021江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市一模

6、一個(gè)正四面體和一個(gè)正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，將正四面體的一個(gè)面和正四棱錐的一個(gè)側(cè)面緊貼重合在一起，得到一個(gè)新幾何體，對(duì)于該新幾何體，有()A.AFCDB.AFDEC.新幾何體有7個(gè)面D.新幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)不能在同一個(gè)球面上11.2022濟(jì)寧模擬如圖，已知一個(gè)八面體的各條棱長(zhǎng)均為2，四邊形ABCD為正方形，給出下列說(shuō)法，其中正確的是()A.該八面體的體積為eq f(8,3)B.該八面體的外接球的表面積為8C.點(diǎn)E到平面ADF的距離為eq r(3)D.EC與BF所成的角為6012.2021山東菏澤期末沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部

7、容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱(chēng)為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的eq f(2,3)(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì))，假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.沙漏的側(cè)面積是16eq r(5) cm2B.沙漏中細(xì)沙的體積為1 024 cm3C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為1.2 cmD.該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1 985秒(3.14)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2021河北張家口質(zhì)量

8、檢測(cè)萊昂哈德歐拉是科學(xué)史上一位杰出的數(shù)學(xué)家，他的研究論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支，有許多公式、定理、解法、函數(shù)、方程、常數(shù)等是以歐拉名字命名的.歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F之間總滿(mǎn)足數(shù)量關(guān)系VFE2，此式稱(chēng)為歐拉定理.已知某凸八面體，4個(gè)面是三角形，3個(gè)面是四邊形，1個(gè)面是六邊形，則該八面體的棱數(shù)為_(kāi)，頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi).14.2022淮北模擬如圖，在梯形ABCD中，ABBC，ADBC，AB1，BC1，AD2.取AD的中點(diǎn)E，將ABE沿BE折起，使二面角ABEC為120，則四棱錐ABCDE的體積為_(kāi).15.2021蘭州一模如圖，正方體A1C的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在棱A1D1上

9、，且A1M2MD1，過(guò)點(diǎn)M的平面與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為_(kāi).16.2022河北石家莊期末我國(guó)古代九章算術(shù)中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱(chēng)為芻童.如圖的芻童ABCDEFGH有外接球，AB2eq r(6)，AD2eq r(2)，EHeq r(15)，EFeq r(5)，平面EFGH與平面ABCD的距離為1，則該芻童外接球的體積為_(kāi).四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)2021江西南昌一模如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，ABC60，對(duì)角面AA1C1C是矩形，且平

10、面AA1C1C平面ABCD.(1)證明：四棱柱ABCDA1B1C1D1是直四棱柱；(2)設(shè)ACBDO，若ABAA1，求二面角DOB1C1的余弦值.18.(12分)2022山西太原一模如圖，在三棱錐PABC中，PAPBeq r(2)，ACBCPCeq r(5)，AB2，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn).(1)證明：平面PAB平面ABC；(2)設(shè)點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上，且eq o(BF,sup6()eq o(FC,sup6()，若二面角CAEF的大小為45，求實(shí)數(shù)的值.19.(12分)2022四川成都二模如圖，在等腰三角形PBC中，PBPC3eq r(5)，BC6，D，E滿(mǎn)足eq o(BD,sup6()2eq o(DP

11、,sup6()，eq o(CE,sup6()2eq o(EP,sup6().將PDE沿直線(xiàn)DE折起到ADE的位置，連接AB，AC，得到如圖所示的四棱錐ABCED，點(diǎn)F滿(mǎn)足eq o(BF,sup6()2eq o(FA,sup6().(1)證明：DF平面ACE；(2)當(dāng)ABeq r(29)時(shí)，求平面ACE與平面DEF所成銳二面角的余弦值.20.(12分)2021湖南五市聯(lián)考如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAB底面ABCD，側(cè)面PAD底面ABCD，ADBC，ABBC，ABeq r(3)AD，ACB30.(1)證明：PA平面ABCD.(2)當(dāng)直線(xiàn)PC與平面PBD所成的角最大時(shí)，求二面角PBDC的余弦

12、值.21.(12分)2021福州一中期末木工技藝是我國(guó)傳統(tǒng)文化瑰寶之一，體現(xiàn)了勞動(dòng)人民的無(wú)窮智慧.很多古代建筑和家具保存到現(xiàn)代依然牢固，這其中，有連接加固功能的“楔子”發(fā)揮了重要作用.如圖，楔子狀五面體EFABCD的底面ABCD為一個(gè)矩形，AB8，AD6，EF平面ABCD，棱EAEDFBFC5，設(shè)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn).(1)證明：E，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共面，且平面EFNM平面ABCD；(2)若二面角FBCA的大小為eq f(,3)，求直線(xiàn)BF與平面EFCD所成角的正弦值.22.(12分)2021江蘇南京高三三模如圖，在直三棱柱中ABCA1B1C1，ABAC，AB3，AC4，B1CAC1.(

13、1)求AA1的長(zhǎng)；(2)試判斷在側(cè)棱BB1上是否存在點(diǎn)P，使得直線(xiàn)PC與平面AA1C1C所成角和二面角BA1CA的大小相等，并說(shuō)明理由.單元卷七立體幾何與空間向量(能力提升卷)1.BA中，若，可能相交也可能平行，A錯(cuò)誤；B中，a，b，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可判斷ab，B正確；C中，a，b，則a，b的位置不定，C錯(cuò)誤；D中，a，a，則，可能相交也可能平行，D錯(cuò)誤.故選B.2.A由PA平面ABCD，ABCD為矩形，A：BD平面ABCD，則PABD，而AC與BD不一定垂直，不一定有BD平面PAC，故BD不一定與PC垂直，所以eq o(PC,sup6()與eq o(BD,sup6()數(shù)量積不一定為0，符合

14、題意；B：由A知PAAD，又DAAB且ABPAA，AB，PA平面PAB，則DA平面PAB，又PB平面PAB，所以PBDA，即eq o(PB,sup6()與eq o(DA,sup6()數(shù)量積為0，不合題意；C：由上易知PAAB，又DAAB且DAPAA，DA，PA平面PAD，則AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD，即eq o(PD,sup6()與eq o(AB,sup6()數(shù)量積為0，不合題意；D：由上知PAAB，而ABCD，所以PACD，即eq o(PA,sup6()與eq o(CD,sup6()數(shù)量積為0，不合題意；故選A.3.C法一如圖，連接A1C1，BC1，則F是A1C1的中點(diǎn)，

15、因?yàn)镋為A1B的中點(diǎn)，所以EFBC1.連接DC1，則Q是DC1的中點(diǎn)，又P為A1D的中點(diǎn)，所以PQA1C1，于是A1C1B或其補(bǔ)角是異面直線(xiàn)EF與PQ所成的角.易知A1C1B是正三角形，所以A1C1Beq f(,3)，所以異面直線(xiàn)EF與PQ所成角的大小是eq f(,3)，故選C.法二以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(1，0，1)，Q(0，1，1)，E(2，1，1)，F(xiàn)(1，1，2)，則eq o(PQ,sup6()(1，1，0)，eq o(EF,sup6()(1，0，1).設(shè)異面直線(xiàn)EF與PQ所成的角為eq blc

16、(rc)(avs4alco1(blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，則cos eq f(|o(EF,sup6()o(PQ,sup6()|,|o(EF,sup6()|o(PQ,sup6()|)eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,r(2)r(2)eq f(1,2)，所以eq f(,3)，故選C.4.A設(shè)該圓錐底面圓的半徑為r，高為h，則底面周長(zhǎng)L2r，則圓錐的體積Veq f(1,36)(2r)2heq f(1,3)r2h，解得3，又底面直徑和母線(xiàn)長(zhǎng)相等的圓錐的表面積的近似值為9，所以3r223r29，解得r1，則heq r(3)，所以該圓錐的體積為eq f(1,3)312

17、eq r(3)eq r(3)，故選A.5.B(1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)APDQeq r(2)a，則P(2a，0，a)，Q(a，a，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，(0a2).所以eq o(A1C1,sup6()(2，2，0)，eq o(A1P,sup6()(a，0，a2)，eq o(A1Q,sup6()(a2，a，2).設(shè)平面A1C1P的法向量為n1(x1，y1，z1)，所以eq blc(avs4alco1(o(A1C1,sup6()n12x12y10，,o(A1P,sup6()n1ax1（a2）z10，)n(a2，a2，a).設(shè)平面A1C1Q的法向量為n2(x2，y

18、2，z2)，所以eq blc(avs4alco1(o(A1C1,sup6()n22x22y20，,o(A1Q,sup6()n2（a2）x2ay22z20，)n2(1，1，a1).如果PQ和A1C1共面，則平面A1C1P和平面A1C1Q重合，所以eq f(a2,1)eq f(a2,1)eq f(a,a1)，所以a24a20，a2eq r(2)0，2.所以PQ和A1C1始終是異面直線(xiàn)錯(cuò)誤；(2)由題得|PQ|eq r(（2a2）2a2a2)eq r(6a28a4)，因?yàn)?a2，所以aeq f(2,3)時(shí)，PQ長(zhǎng)的最小值是eq f(2r(3),3).所以(1)錯(cuò)誤，(2)正確.故選B.6.C該幾何體

19、的直觀圖如圖所示，分別取AD，BC的中點(diǎn)O，M，連接OM，PM，PO1，OM2，PMeq r(PB2BM2)eq r(61)eq r(5)，OP2OM2PM2，OPOM，又POAD，OMADO，OM，AD平面ABCD，由線(xiàn)面垂直的判定定理得出PO平面ABCD.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq o(OA,sup6()，eq o(OM,sup6()，eq o(OP,sup6()的正方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(1，2，0)，P(0，0，1)，設(shè)四棱錐PABCD外接球的球心N(0，1，a)，eq o(PN,sup6()(0，1，a1)，eq o(NA,s

20、up6()(1，1，a)，|eq o(PN,sup6()|eq o(NA,sup6()|，1(1a)211a2，解得a0.設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，eq o(PB,sup6()(1，2，1)，eq o(PC,sup6()(1，2，1)，eq o(NP,sup6()(0，1，1).則eq blc(avs4alco1(o(PB,sup6()n0，,o(PC,sup6()n0，)即eq blc(avs4alco1(x2yz0，,x2yz0，)取z2，則n(0，1，2).四棱錐PABCD外接球的球心到平面PBC的距離為d|eq o(NP,sup6()|cosn，eq o(NP,sup6(

21、)|eq o(NP,sup6()|eq blc|rc|(avs4alco1(f(no(NP,sup6(),|n|o(NP,sup6()|)eq f(1,r(5)eq f(r(5),5)，故選C.7.A在正方體ABCDA1B1C1D1中，因?yàn)槠矫嫫矫鍭1B1CD，所以EF與平面所成角的正弦值和EF與平面A1B1CD所成角的正弦值相等.如圖，連接BC1，A1C，取AB的中點(diǎn)G，連接FG，顯然FG與A1C相交，設(shè)交點(diǎn)為O，則點(diǎn)O即正方體的中心.由A1B1BC1，B1CBC1，A1B1B1CB1，A1B1，B1C平面A1B1CD，得C1B平面A1B1CD.由F，G分別為D1C1，AB的中點(diǎn)，可得FGC

22、1B，所以FG平面A1B1CD.作FE的延長(zhǎng)線(xiàn)交B1A1的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，顯然FEEF，連接FO，則FO為線(xiàn)段FF在平面A1B1CD上的投影，F(xiàn)FO即直線(xiàn)EF與平面A1B1CD所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則FOeq f(1,2)FGeq f(r(2),2)a，F(xiàn)F2EF2eq f(r(2),2)aeq r(2)a，所以sinFFOeq f(f(r(2),2)a,r(2)a)eq f(1,2)，即直線(xiàn)EF與平面所成角的正弦值為eq f(1,2)，故選A.8.D如圖， 在CD上取一點(diǎn)H，使得CH3DH，連接EH，HF，又CE3EP，所以PDEH，則直線(xiàn)PD不與EF平行.連接AC，BD，交于點(diǎn)O，由

23、四邊形ABCD是平行四邊形得O為AC，BD的中點(diǎn).因?yàn)镕，G分別為PB，PD的中點(diǎn)，所以GFBD，連接PO，交GF于點(diǎn)M，于是PMMO，在線(xiàn)段EC上取點(diǎn)Q，使得CQ2QE，連接OQ，因?yàn)镻Eeq f(1,3)ECeq f(1,3)3EQEQ，所以E為PQ的中點(diǎn)，又PMMO，連接ME，則MEOQ.因?yàn)镻QQC，AOOC，所以PAOQ，于是PAME，因此直線(xiàn)PA與GF異面，不與直線(xiàn)EG平行，PA平面EFG，故選D.9.ACD用過(guò)圓錐的軸且與上底面一組對(duì)棱垂直的平面截該幾何體可得A圖，用平行于圓錐底面的平面截該幾何體可得C圖，用垂直于圓錐底面且不過(guò)圓錐的軸的平面截該幾何體可得D圖，而B(niǎo)圖用垂直于正方

24、體的任何面的平面截都無(wú)法得到.故選ACD.10.ABD由題意，正四面體和正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，設(shè)G，H分別為BC，ED的中點(diǎn)，連接FG，AH，AG，GH，則FGBC，AGBC，GHBC，BC平面AFG，BC平面AGH，A，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，四邊形AFGH為平行四邊形，AFGHCD，AFDE，故A，B正確.AFCD，A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面，即新幾何體為斜三棱柱，有5個(gè)面且無(wú)外接球，C錯(cuò)誤，D正確.故選ABD.11.BDA.由題易得，該八面體的體積為2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)22r(2)eq f(8r(2),3)，A錯(cuò)誤；B.該八面體的外接球的球心為正方形ABC

25、D對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，易得外接球的半徑為eq r(2)，則表面積為8，B正確；C.取AD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，EF，易得EGFGeq r(3).過(guò)點(diǎn)E作EHFG，交FG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H.由題可得ADEG，ADGF，則AD平面EFH，所以EHAD，又ADFGG，所以EH平面ADF.令FEG，則HEGeq f(,2)2.由題可得sin eq f(r(3),3)，cos eq f(r(6),3)，所以sin 22sin cos eq f(2r(2),3)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2)sin 2eq f(2r(2),3)，所以在RtEHG中，eq f(EH,EG)eq

26、 f(2r(2),3)，即eq f(EH,r(3)eq f(2r(2),3)，解得EHeq f(2r(6),3)，所以點(diǎn)E到平面ADF的距離為eq f(2r(6),3)，C錯(cuò)誤；D.因?yàn)镋DBF，所以EC與BF所成的角即為EC與ED所成的角，為60.12.ABC一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為eq r(82blc(rc)(avs4alco1(f(8,2)sup12(2)4eq r(5) cm，側(cè)面積為eq f(1,2)4eq r(5)816eq r(5) cm2，所以沙漏的側(cè)面積為216eq r(5)32eq r(5) cm2，故A錯(cuò)誤；細(xì)沙在上部時(shí)，由題意知細(xì)沙成底面直徑和高均為8eq f(2,3)eq

27、f(16,3) cm的圓錐，因此體積為eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,3)eq sup12(2)eq f(16,3)eq f(1 024,81) cm3，故B錯(cuò)誤；細(xì)沙全部漏入下部后，沙堆的高度為eq f(3f(1 024,81) ,16 )eq f(64,27)2.37 cm，故C錯(cuò)誤；該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是eq f(1 024,81)0.021 985秒，故D正確.故選ABC.13.159因?yàn)槟惩拱嗣骟w的4個(gè)面是三角形，3個(gè)面是四邊形，1個(gè)面是六邊形，所以該八面體的棱數(shù)Eeq f(43346,2)15.設(shè)頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為x，因?yàn)轫旤c(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F之間總

28、滿(mǎn)足數(shù)量關(guān)系VFE2，所以x8152，解得x9.14.eq f(r(6),12)梯形ABCD的面積Seq f(（12）1,2)eq f(3,2)，SABEeq f(1,2)11eq f(1,2)，SBCDEeq f(3,2)eq f(1,2)1.如圖，取BE中點(diǎn)H，連接AH，CH，AHBE，CHBE，AHC為二面角ABEC的平面角，AHC120.過(guò)點(diǎn)A作CH的垂線(xiàn)，交CH的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，則AHeq f(r(2),2)，AKAHsin 60eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)eq f(r(6),4)，所以VABCDEeq f(1,3)AKSBCDEeq f(1,3)eq f(r(6)

29、,4)1eq f(r(6),12).15.3eq r(2)如圖，在線(xiàn)段D1C1上取點(diǎn)N，使C1N2ND1，連接MN，則MNA1C1.在CC1上取點(diǎn)P，使C1P2PC，連接NP，則NPA1B.在BC上取點(diǎn)Q，使BQ2QC.連接PQ，則PQBC1.在AB上取點(diǎn)E，使BE2EA，連接EQ，則EQA1C1.在AA1上取點(diǎn)F，使A1F2FA，連接EF，則EFA1B.連接MF，則平面MNPQEF平面A1BC1，即平面MNPQEF為平面，所以六邊形MNPQEF為滿(mǎn)足條件的截面多邊形.因?yàn)镸NEFPQeq f(1,3)A1C1eq f(r(2),3)，F(xiàn)MQENPeq f(2,3)A1Beq f(2r(2),

30、3)，所以截面六邊形MNPQEF的周長(zhǎng)為MNNPPQQEEFFM3eq f(r(2),3)3eq f(2r(2),3)3eq r(2).16.36設(shè)O為芻童外接球的球心，O1，O2分別為矩形EFGH，ABCD的中心，由球的幾何性質(zhì)可知：O，O1，O2三點(diǎn)共線(xiàn)，連接OO1，O1G，OG，O2B，OB，如圖所示：由題知：OO2平面ABCD，OO1平面EFGH，所以O(shè)1O21.因?yàn)镺1Geq f(1,2)eq r(EF2FG2)eq f(1,2)eq r(155)eq r(5)，設(shè)OO2m，在RtOGO1中，OGeq r(OOeq oal(2,1)O1G2)eq r(（m1）25)，因?yàn)镺2Beq

31、f(1,2)eq r(AD2AB2)eq f(1,2)eq r(824)2eq r(2)，在RtOBO2中，OBeq r(OOeq oal(2,2)O2B2)eq r(m28)，設(shè)外接球的半徑為R，則ROGOB，所以eq r(（m1）25)eq r(m28)，解得m1，所以Req r(（11）25)3，Veq f(4,3)R336.17.(1)證明如圖，平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，因?yàn)閷?duì)角面AA1C1C是矩形，所以AA1AC，AA1平面AA1C1C，由面面垂直的性質(zhì)定理得AA1平面ABCD，故四棱柱ABCDA1B1C1D1是直四棱柱.(2)解因?yàn)樗倪呅蜛B

32、CD是菱形，所以ACBD.連接B1D1，設(shè)A1C1B1D1O1，連接OO1，則O1O底面ABCD，從而OB，OC，OO1兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OO1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB2t，因?yàn)镃BA60，所以O(shè)Beq r(3)t，OCt，又ABAA1，所以B1(eq r(3)t，0，2t)，C1(0，t，2t).易知，n1(0，1，0)是平面BDD1B1的一個(gè)法向量.設(shè)n2(x，y，z)是平面OB1C1的法向量，則eq blc(avs4alco1(n2o(OB1,sup6()0，,n2o(OC1,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(

33、r(3)x2z0，,y2z0，)取zeq r(3)，則x2，y2eq r(3)，所以n2(2，2eq r(3)，eq r(3).設(shè)二面角DOB1C1的平面角為，由圖判斷知是銳角，于是cos |cosn1，n2|eq blc|rc|(avs4alco1(f(n1n2,|n1|n2|)eq f(2r(3),r(19)eq f(2r(57),19).故二面角DOB1C1的余弦值為eq f(2r(57),19).18.(1)證明取AB的中點(diǎn)為D，連接CD，PD，如圖，PAPBeq r(2)，AB2，PDAB，PD1，同理可得CDAB，CD2，PC2PD2CD25，PDCD.ABCDD，AB，CD平面A

34、BC，PD平面ABC.PD平面PAB，平面PAB平面ABC.(2)解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量eq o(DB,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(DP,sup6()的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，由題意得A(1，0，0)，C(0，2，0)，B(1，0，0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)，eq o(AC,sup6()(1，2，0).eq o(BF,sup6()eq o(FC,sup6()，eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,1)，f(2,1)，0).設(shè)m(x1，y1，z1)是平面ACE的法向量，則eq blc(avs4alco1(mo(AE,sup6()0，,mo(AC,sup6()0，)eq blc(avs4alco1(x1y1f(1,2)z10，,x12y10，)令y11，則eq blc(avs4alco1(x12，,z12，)m(2，1，2)，設(shè)n(x2，y2，z2)是平面AEF的法向量，則eq blc(avs4alco1(n o(AE,s