分形幾何期末報告

1、分形學(xué)期末報告人們常說，數(shù)學(xué)是一門古老的學(xué)科，無論是歷史悠久的九章算術(shù)，還是讓歐幾里德全球聞名的不朽名著幾何原本，都在古代起就對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的發(fā)展起到極其重要的作用。但是也有一些新問題是在二十世紀(jì)中后期才被發(fā)現(xiàn)的分形幾何就是其中最具有代表性的。分形幾何被譽為大自然的幾何學(xué)，它又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個嶄新分支。它的發(fā)現(xiàn)填補了數(shù)學(xué)領(lǐng)域上實際應(yīng)用較少的空白，但是它的本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。它的發(fā)現(xiàn)是人類打開了一個完全嶄新、令人興奮中帶著些驚訝的幾何學(xué)大門。但人熟知分形幾何時，他們會有不可思議的發(fā)現(xiàn)原來分形幾何無處不在，而且正因為在地球上有了分形幾何之一學(xué)科，世界才會變得更加精彩分形（Fractal

2、）理論，主要研究和揭示復(fù)雜的自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中所隱藏的規(guī)律性、層次性和標(biāo)度不變性，為通過部分認(rèn)識整體、從有限中認(rèn)識無限提供了一種新的工具。它是在“分形”概念的基礎(chǔ)上升華和發(fā)展起來的。分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的。許多社會經(jīng)濟現(xiàn)象等都是分形理論的研究對象。分形的類型有自然分形、時間分形、社會分形、經(jīng)濟分形、思維分形等。它被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個領(lǐng)域，從而形成了許多新的學(xué)科生長點。隨著分形理論在地理學(xué)研究中的應(yīng)用，到了20世紀(jì)90年代，逐漸形成了一個新興的分支學(xué)科，即分形地理學(xué)。什么是分形“分形”這個名詞是由美國IBM公司研究中心物理部研究員暨哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)教授曼

3、德勃羅特（BenoitB.Mondelbrot）在1975年首次提出（創(chuàng)造）的，其原義是“不規(guī)則的，分?jǐn)?shù)的，支離破碎的”物體，這個名詞是參照了拉丁文fractus（弄碎的）后造出來的。它含有英文中frature（分裂）fraction（分?jǐn)?shù)）的雙重意義。而我國在山西五臺山南山寺的影壁墻上的碑文中，早在清朝時代就有了“日月光明，分形變化”的語句。人類在認(rèn)識世界和改造世界的活動中離不開幾何學(xué)。在歷史上，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與幾何學(xué)的進(jìn)步始終是密切相關(guān)的。在生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中，人們用以描述客觀世界的幾何學(xué)是歐幾里德幾何學(xué)，以及解析幾何、射影幾何、微分幾何等，它們能有效地描述三維世界的許多現(xiàn)象，如各種工業(yè)

4、產(chǎn)品的現(xiàn)狀，建筑的外形和結(jié)構(gòu)等。但是，自然界大多數(shù)的圖形都是十分復(fù)雜而且不規(guī)則的。另外，在科學(xué)研究中，對許多非規(guī)則性對象建模分析，如星系分布、滲流、金融市場的價格浮動等復(fù)雜對象，都需要一種新的幾何學(xué)來描述。所以,一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的狀態(tài)，是沒有特征長度的圖形和構(gòu)造以及現(xiàn)象的總稱。描述分形的幾何，稱為分形幾何，又稱為描述大自然的幾何。下面給出“分形”的三個定義：定義1（Mandelbrot,1986）,部分以某種形式與整體相似的形狀叫分形。定義2（Edgar,1990）,分形集合是這樣一種集合，它比傳統(tǒng)幾何學(xué)研究的所有集合還更加不規(guī)則（irregular）,無論是放大還是縮小，甚

5、至進(jìn)一步縮小，這種集合的不規(guī)則性仍然是明顯的。定義3（現(xiàn)代）設(shè)幾何F的Hausdorff維度是D，如果F的Hausdorff維度D嚴(yán)格大于其拓補維度，我們稱F為分形集。分形的自相似性分形具有“粗糙和自相似”的直觀特點。一個系統(tǒng)的自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性。一般情況下自相似性有比較復(fù)雜的表現(xiàn)形式，而不是局域放大一定倍數(shù)以后簡單地和整體完全重合。一棵大樹由許多樹枝和樹葉組成，若把一根樹枝與該棵大樹相比，在構(gòu)成形式上完全相似。又會發(fā)現(xiàn)該樹枝上分叉長出

6、來的更小的細(xì)枝條，仍具有大樹構(gòu)成的特點。當(dāng)然，這只能是在一定尺度上呈現(xiàn)相似性，不會無限擴展下去。另外，樹枝與樹枝之間，樹葉與樹葉之間，也呈現(xiàn)出明顯的自相似性。再仔細(xì)觀察樹葉的葉脈，也可以發(fā)現(xiàn)類似的自相似結(jié)構(gòu)。由上面我們可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是嚴(yán)格的，而是，在統(tǒng)計意義下的自相似性，海岸線也是其中一個例子。凡是滿足統(tǒng)計自相似性的分形稱之為無規(guī)分形。另外，還有所謂有規(guī)分形,這類分形,由于它是按一定的數(shù)學(xué)法則呈現(xiàn)，因此具有嚴(yán)格的自相似性。所謂koch曲線，就是屬于有規(guī)分形,如圖1所示。圖1三次koch曲線它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間一段用夾角為600的二條等長(1/3)的

7、折線來代替，形成一個生成單元，如圖1(b).然后再把每一條直線段用生成單元進(jìn)行代替，經(jīng)過無窮多次迭代后就呈現(xiàn)一條無窮多彎曲的koch曲線。用它來模擬自然界中的海岸線是相當(dāng)理想的。分形的標(biāo)度不變性所謂標(biāo)度不變性，是指在分形上任選一局部區(qū)域，對它進(jìn)行放大，這時得到的放大圖形又會顯示出原圖的形態(tài)特性。因此,對于分形，不論將其放大或縮小，它的形態(tài)、復(fù)雜程度、不規(guī)則性等各種特點均不會變化。所以標(biāo)度不變性又稱為伸縮對稱性。通俗一點說，如果用放大鏡來觀察一個分形，不管放大倍數(shù)如何變化，看到的情形是一樣的，從觀察到的圖象，無法判斷所用放大鏡的倍數(shù)。所以具有自相似特性的物體（系統(tǒng)），必定滿足標(biāo)度不變性，或者說這

8、類物體設(shè)有特性長度。上面介紹的koch曲線是具有嚴(yán)格的自相似性的有規(guī)分形，無論將它放大與縮小多少倍，它的基本幾何特性都保持不變，很顯然，它具有標(biāo)度不變性。分形維數(shù)的定義和測算維數(shù)是幾何對象的一個重要特征量，傳統(tǒng)的歐氏幾何學(xué)研究、立方體等非常規(guī)整的幾何形體。按照傳統(tǒng)幾何學(xué)的描述，點是零維，線是一維，面是二維，體是三維。但仔細(xì)觀看，對于大自然用分型維數(shù)來描述可能會更接近實際。拓?fù)渚S數(shù)一個幾何對象的拓?fù)渚S數(shù)等于確定其中一個點的位置所需要的獨立坐標(biāo)數(shù)目。對于一個二維幾何體一一邊長為單位長度的正方形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，則覆蓋它所需要的小正方形的數(shù)目N（r）和尺度r滿足如下關(guān)系式（1）2

9、若r=l/4,則二16二亠（1）2當(dāng)r=1/k（k=l，2，3,）時，貝VN（g二k2二（k）2一般地，如果用尺度為r的小盒子覆蓋一個d維的幾何對象，則覆蓋它所需要的小盒子數(shù)目N（r）和所用尺度r的關(guān)系為N（r）=丄，變形得d=迥凹定rdln（1/r）義為拓?fù)渚S數(shù)。Hausdorff維數(shù)幾何對象的拓?fù)渚S數(shù)有兩個特點：一是d為整數(shù)；二是盒子數(shù)雖然隨著測量尺度變小而不斷增大，幾何對象的總長度（或總面積，總體積）保持不變。但總長度會隨測量尺度的變小而變長，最后將趨于無窮大。因此，對于分形幾何對象，需要將拓?fù)渚S數(shù)的定義推廣到分形維數(shù)。因為分形本身就是一種極限圖形，可以得出分形維數(shù)的定義=liminer

10、TOln(1/r)上式就是Hausdorff分形維數(shù)，通常也簡稱為分維。拓?fù)渚S數(shù)是分維的一種特例，分維D大于拓?fù)渚S數(shù)而小于分形所位于的空間維數(shù)。0信息維數(shù)如果將每一個小盒子編上號，并記分形中的部分落入第i個小盒子的概率為P，那么用尺度為r的小盒子所測算的平均信息量為iI=-生PinPiii=1若用信息量I取代小盒子數(shù)N(r)的對數(shù)就可以得到信息維D的定義1迓PinPiiD=iimi=1oin(1/r)如果把信息維看作Hausdorff維數(shù)的一種推廣，那么Hausdorff維數(shù)應(yīng)該看作一種特殊情形而被信息維的定義所包括。對于一種均勻分布的分形，可以假設(shè)分形中的部分落入每個小盒子的概率相同，即p=

11、丄,iN一遲丄in丄NN、.inND=iimi=i=iim1oin(1/r)rTin(l/r)可見，在均勻分布的情況下，信息維數(shù)D和Hausdorff維數(shù)D相等。在非均勻情形，D0為Heaviside階躍函數(shù)。0,x0若r取得太大，所有點對的距離都不會超過它，C(r)=l，lnC(r)=O。測量不出相點之間的關(guān)聯(lián)。適當(dāng)縮小測量尺度r,可能在r的一段區(qū)間內(nèi)有C(r)*rD如果這個關(guān)系存在，D就是種維數(shù)，把它稱為關(guān)聯(lián)維數(shù)，用D表示，即2=limlnC(r)2rTOInr標(biāo)度律與多重分形。標(biāo)度律分形的基本屬性是自相似性。表現(xiàn)為，當(dāng)把尺度r變換為入r時，其自相似結(jié)構(gòu)不變，只不過是原來的放大和縮小，入稱

12、為標(biāo)度因子，這種尺度變換的不變性也稱為標(biāo)度不變性，是分行的一個普適規(guī)律。有N(Xr)=亠DoN(r)。(入r)Do海岸線分形，如果考慮其長度隨測量尺度的變化，L(Xr)=XrN(Xr)=Xi-Dy-N(r)=XL(r)a=1-D為標(biāo)度指數(shù)。上式表明，把用尺度r測量的分形長度L(r)再縮小(或放o大)入a倍就和用縮小(或放大)了的尺度入r測量的長度相等。最重要的是這種關(guān)系具有普適性。究竟普適到什么程度是由標(biāo)度指數(shù)a來分類的，這稱為普適類。具有相同a的分形屬于同一普適類，同一普適類的分形也具有相同的分維D。0一般情況下，可以把標(biāo)度律寫為f(Xr)=Xaf(r)，f是某一被標(biāo)度的物理量，標(biāo)度指數(shù)a與

13、分維D之間存在著簡單的代數(shù)關(guān)系a=d-D，d為拓?fù)渚S數(shù)。0o多重分形對于非均勻分布的分形，可以看作由單分形集合構(gòu)成的集合，它的標(biāo)度指數(shù)a和分維D都不再是常量，這樣的分形稱為多重分形。理想的表達(dá)方法是，把a看作是連續(xù)變化的，在a和a+da這個間隔是一個以單值a為特征和分維為f(a)的單分形集合，把所有不同a的單分形集合相互交織在一起就形成多重分形。分形的應(yīng)用6.1.甘省城鎮(zhèn)體系的分形研究城鎮(zhèn)體系規(guī)模結(jié)構(gòu)的分形特征城鎮(zhèn)體系規(guī)模分布具有自相似性，即滿足分形的特征。對于一個區(qū)域的城鎮(zhèn)若給定一個人口尺度r去度量，則人口大于r的城鎮(zhèn)數(shù)N(r)與r的關(guān)系滿足：N(r)*r-dInN(r)=A-DInr3.5

14、2.51.50.551015采用甘肅省1999年14個城市的數(shù)據(jù)，模擬的結(jié)果可見下圖，分維值D=0.8714，lnr由于D1,這說明甘肅省城鎮(zhèn)規(guī)模分布較為分散，首位城市壟斷性強，人口分布差異程度大。分維值也驗證了上面首位指數(shù)及不平衡指數(shù)有效性。城鎮(zhèn)體系空間結(jié)構(gòu)的分形特征各城鎮(zhèn)在地域空間上的布局，反映了一個區(qū)域城鎮(zhèn)體系的空間結(jié)構(gòu)。從理論上講，在一個區(qū)域內(nèi)，各個城鎮(zhèn)之間的相互作用與空間聯(lián)系是客觀存在的。因此，可以運用分形理論中的關(guān)聯(lián)維數(shù)來模擬城鎮(zhèn)之間的相互作用和空間聯(lián)系。其基本模型如下：D=limrtOlnC(r)lnrC(r)=-12EH(r-dij)N2i,j=1jH(r-dj)Tod.rij

15、r為給定的距離標(biāo)度，d.為第i個與第j個城鎮(zhèn)之間的距離。關(guān)聯(lián)維數(shù)D反映了城鎮(zhèn)體系空間布局的均衡性，D一般在02之間變化，當(dāng)D0時，說明該區(qū)域內(nèi)各城鎮(zhèn)間聯(lián)系緊密，分布高度集中于一地；當(dāng)D-2時，城鎮(zhèn)間空間作用力小，城鎮(zhèn)布局分散到均勻的程度。借助于GIS測算到甘肅省14個城市間的直線距離距陣，以步長/r=5(50公里)來取距離標(biāo)度r,可以得到一系列點對(r,C(r),在雙對數(shù)坐標(biāo)中畫出(r,C(r)的散點圖，然后用線性回歸分析方法進(jìn)行模擬，結(jié)果下如圖所示。關(guān)聯(lián)維數(shù)D=0.7485。因為D1,這說明甘肅省城鎮(zhèn)體系在空間分布上比較集中。有許多城市，特別是有一定的人口規(guī)模的一些城市，形成了相對獨立的城市

16、群。由此可見甘肅省城市空間布局特征是集中前提下的分散，或者說小集中，大分散。從總體來看，關(guān)聯(lián)維數(shù)由于受集中影響更大，其值偏小，這一結(jié)果也是符合實際的。四川盆地油氣田空間分布的分形特征選取四川盆地勘探項目部署總圖為底圖，將油氣田標(biāo)繪其上，利用數(shù)盒子法求得分維值D為1.308，相關(guān)系數(shù)為0.999，表明四川盆地油氣田的空間分布具有分維結(jié)構(gòu)。將四川盆地分為川東南、川中和川西三個分區(qū)，分別計算出油氣田空間分布的分維為：1.387，1.401，1.078，分維值的總體變化趨勢由東南向西北降低，正好反映油氣田在東南部較密，西北部較稀疏的特點。這說明，分維與油氣田總面積呈正相關(guān)關(guān)系，油氣田分布面積總和越大的區(qū)域，其分維值越大。另一方面，油氣田空間分布的均勻程度也影響分維。在油氣田總面積基本相同的情況下，油氣田分布愈不均勻，其分維反而愈低。課程心得首先感謝xx老師的辛勤授課，通過這次學(xué)習(xí)，我收獲不少。第一次知道分形是在研一時候