流體力學(xué)講義第一講1

1、B 一、張量的階 與坐標(biāo)變換聯(lián)系在一起，3n個(gè)元素組成的整體。 n=0稱為零階張量（標(biāo)量） n=1稱為一階張量（向量） n=2稱為二階張量 二、張量的分類 1、笛卡兒張量：在笛卡兒坐標(biāo)中定義的張量。 2、普遍張量：在一般曲線坐標(biāo)中定義的張量。 三、符號(hào)記 1、求和法則（同一項(xiàng)中有相同的角標(biāo)出現(xiàn)兩次，則該角標(biāo)須各值后相加） 可寫為： 12、克羅內(nèi)克爾符號(hào)3、交變符號(hào) 四、張量定義 定義1：張量作為向量定義的推廣 當(dāng)由一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系時(shí)，向量 按下式變換則笛卡兒坐標(biāo)系所確定的三向量組 叫張量 是張量 的向量分量。 2五、張量運(yùn)算 1、相加 2、外積：r階和s階張量的外積是一個(gè)r+s階張

2、量，其分量為 原來張量的各個(gè)分量之積。 定義2：向量的并積，就代表一個(gè)二階張量。34、內(nèi)積：內(nèi)積是外積的縮并。3、縮并：令張量的兩個(gè)腳標(biāo)相等并循環(huán)相加。5、張量場的微分：對張量的每個(gè)元素 取其 的導(dǎo)數(shù)張量的微分叫做張量的梯度（新得的張量其階數(shù)多1）4三、向量微分算子（哈密頓算子） 哈密頓算子的符號(hào)是 ，有兩種表示方法 微分形式： （運(yùn)算） 積分形式： 含義，用它作用在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)上來說明。（場的概念） 1、 叫梯度（標(biāo)量場的最大變 化率和變化率的方向）sv52、微分形式和積分形式是否等價(jià)： 證明：取 的二等值面和兩二等值面之間的小圓柱, 如圖 沿柱面積分 ，該積分由三部分組成，即 所以：6若定

3、義一個(gè)向量場 ，則向量微分算子與它作用后分別得到： 叫散度 ，標(biāo)量，物理意義 叫旋度張量場7稱為向量a通過曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。在直角坐標(biāo)系中向量場的通量和散度 物理量的散度可用來判別場是否有源。通量：在向量場a中向曲面S的法向量為n，則曲面積分圖0.4.1 通量l8有源場和無源場： 散度是一個(gè)標(biāo)量，它表示單位體積內(nèi)物理量通過其表面的通量。若diva0，稱該點(diǎn)有源；若diva0，稱該點(diǎn)有匯。 |diva|稱為源或匯的強(qiáng)度。若diva0（處處），稱該物理場為無源場，否則為有源場。 （ 常數(shù)） 散度的基本運(yùn)算公式： （2) ( 為標(biāo)量） （3) 散度anM散度的微分形式為：9旋

4、度定義： 取微小圓柱體， 取為速度 ，法線方向?yàn)?，對整個(gè)微元體進(jìn)行以下積分 。 和的方向滿足右手螺旋法則。定義：環(huán)量定義：在向量場a沿有向封閉曲線l的積分 稱為向量a沿曲線l的環(huán)量。向量場的環(huán)量和旋度物理量的旋度可用來判別場是否有旋（圍繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）。10可證：旋度代表某一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度或旋轉(zhuǎn)量，定義了一個(gè)向量場，叫旋度場在直角坐標(biāo)系中表達(dá)式：引進(jìn)哈密頓算子：11旋度運(yùn)算基本公式12小總結(jié)梯度，散度和旋度代表一種向量場或標(biāo)量場，他們的大小、方向和表達(dá)形式都不因直角坐標(biāo)的變換而變化。梯度：描述標(biāo)量場的不均勻性或變化率，把標(biāo)量場變成了 向量場。散度：不描述向量場的變化率，把向量場變成了標(biāo)量場。旋度

5、：不描述向量場的變化率，不改變向量場的性質(zhì)。13四、幾個(gè)重要公式 1、 2、 3、 4、拉普拉斯算子總乘叉乘14五、幾個(gè)積分定理 1、高斯定理 2、散度定理 3、旋度定理 4、斯托克斯定理 斯托克斯定理的證明：對 應(yīng)用散度定理： 旋度經(jīng)過S的通量環(huán)量（體積分與面積分之關(guān)系)15由公式 知左端積分為零，而右端積分的表面應(yīng)是包圍V的整個(gè)曲面，即S加由C所包圍的底面所以， ，由標(biāo)量三重積公式 可以寫成： ，故右端為： ，對向量 應(yīng)用散度定理，有：其中 是曲線C的外法線向量， 是 的外法線向量，二者相互垂直，由標(biāo)量三重積公式可得：所以：Stokes公式聯(lián)系了面積分和線積分之間的關(guān)系。16六、一般正交曲

6、線坐標(biāo) 為什么？實(shí)際需要 1、一般曲線坐標(biāo)系 若任一點(diǎn)的坐標(biāo)位置(x,y,z)可用其它三個(gè)獨(dú)立變量 表示，即存在關(guān)系式或17即每一組 必有一組 與之對應(yīng)，反之亦然（其雅可比行列式不為零2、正交曲線坐標(biāo)系 若空間任意一點(diǎn)，三個(gè)坐標(biāo)線的切線都是正交的，稱此坐標(biāo)系為正交曲線坐標(biāo)系。沿著坐標(biāo)線的切線方向的單位向量以 表示。3、正交曲線坐標(biāo)系與笛卡兒坐標(biāo)的區(qū)別 1）在笛卡兒坐標(biāo)中，沿坐標(biāo)軸的單位向量是不變的，在正交曲線坐標(biāo)系中， 的方向，一般說，隨點(diǎn)的位置而變化。 2）在笛卡兒坐標(biāo)中，坐標(biāo)線上的微分增量是dxi,與坐標(biāo)值的增量是一致的，在正交曲線坐標(biāo)系中，坐標(biāo)線上的微分增量是dsi,與坐標(biāo)值的增量dqi

7、則不一定相等。184、坐標(biāo)線的切線方向的單位向量 的正交性式中 為克羅內(nèi)克符號(hào)，i，j，k為1，2，3的循環(huán)排列。5、正交曲線坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù) 在正交曲線坐標(biāo)系中，坐標(biāo)線上的微分增量dsi與坐標(biāo)值的增量dqi不一定相等，坐標(biāo)線上的微分增量dsi與坐標(biāo)值的增量dqi一般要乘以系數(shù)Hi（拉梅系數(shù)），才會(huì)變成坐標(biāo)線上的微分增量dsi，即19如何確定Hi？象在笛卡兒坐標(biāo)中一樣，在空間某一點(diǎn)A，沿三個(gè)坐標(biāo)軸為棱邊作一微分六面體，由于其邊長分別為 ， ， ,設(shè)AB邊在笛卡兒坐標(biāo)中的分量為dx，dy，dz，由于它們都只是由于dq1的變化而引起的數(shù)，故所以20同理：進(jìn)而可寫出弧元素：微元面積：微元體積：216、梯度、散度、旋度在正交曲線坐標(biāo)系中的表示： 1）梯度 2）散度 3）旋度 224）拉普拉斯