八上圖形與幾何

1、二、圖形與幾何圖形與幾何部分包括第四章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)和第五章平行四邊形。我們在初中和高中階段所學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)都屬于歐幾里得幾何，簡稱歐氏幾何。那么，我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)歐氏幾何呢，這里我想對歐氏幾何多介紹幾句。歐氏幾何是幾何學(xué)的一門分科。公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德寫出幾何原本，形成了歐氏幾何。歐氏幾何分為“平面幾何”與“立體幾何”。也正是因?yàn)闅W氏幾何，進(jìn)而產(chǎn)生了非歐幾何。歐式幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴(yán)密的邏輯演繹方法相結(jié)合的特點(diǎn)。歷史上有許多科學(xué)家就是從學(xué)習(xí)幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻(xiàn)。這里有兩個(gè)小故事和大家一起分享一下。少年時(shí)代的牛頓在劍橋大學(xué)附近的夜店里買了一本幾何原本，開

2、始他認(rèn)為這本書的內(nèi)容沒有超出常識(shí)范圍，因而并沒有認(rèn)真地去讀它。后來，牛頓參加特列臺(tái)獎(jiǎng)學(xué)金考試的時(shí)候遭到落選，當(dāng)時(shí)的考官巴羅博士對他說：“因?yàn)槟愕膸缀位A(chǔ)知識(shí)太貧乏，無論怎樣用功也是不行的?！边@席話對牛頓的震動(dòng)很大。于是，牛頓又重新把幾何原本從頭到尾地反復(fù)進(jìn)行了深入鉆研，為以后的科學(xué)工作打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。近代物理學(xué)巨星愛因斯坦也是精通幾何學(xué)，并且在狹義相對論中，他就是運(yùn)用歐氏幾何的思想方法，把整個(gè)理論建立在兩條公理之上。愛因斯坦曾說過：“如果歐幾里得未能激起你的少年激情，那你就不能成為一個(gè)數(shù)學(xué)家?！彼?，在長期的實(shí)踐中表明，歐氏幾何巳成為培養(yǎng)、提高青少年邏輯思維能力的好教材。所以，我想這大概

3、就是我們學(xué)習(xí)圖形與幾何的原因吧。言歸正傳，第四章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，我們還是從這六個(gè)方面看起。（一）新舊教材對比舊版教材新版教材異1、七年級下冊第八章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)2、內(nèi)容1平面圖形的平移簡單的平移作圖平面圖形的旋轉(zhuǎn)簡單地旋轉(zhuǎn)作圖平面圖形的全變換利用變換設(shè)計(jì)圖案1、八年級上冊第四章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)2、內(nèi)容圖形的平移圖形的旋轉(zhuǎn)申心對稱圖形變化的簡單應(yīng)用編排順序方面：舊版教材是在七下第八章學(xué)習(xí)的，而新版教材是在八上第四章學(xué)習(xí)的章節(jié)內(nèi)容方面，原來有6節(jié)，現(xiàn)在變成4節(jié)，其中1、2節(jié)整合成了現(xiàn)在的第1節(jié)圖形的平移，3、4節(jié)整合成現(xiàn)在的第2節(jié)圖形的旋轉(zhuǎn)，5、6節(jié)整合成了現(xiàn)在的第4節(jié)圖形變化的應(yīng)用。另外，新

4、增了第3節(jié)中心對稱，中心對稱原來是在八上第九章四邊形的性質(zhì)探索來學(xué)習(xí)的，現(xiàn)在它提前了。（二）、教材與課標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)對本章做出了如下要求：圖形的平移（P37）（1）通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平移，探索它的基本性質(zhì)；一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等。（2）認(rèn)識(shí)并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。（3）運(yùn)用圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。圖形的旋轉(zhuǎn)（P36）（1）通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)。探索它的基本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對應(yīng)點(diǎn)分別分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等。（2）了解中心對稱、中心對

5、稱圖形的概念，探索它的基本性質(zhì)；成中心對稱的兩個(gè)圖形中，兩組對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分。（3）探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì)。（4）認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對稱圖形。結(jié)果目標(biāo)有6個(gè)，我們可以看到結(jié)果目標(biāo)主要是針對概念和運(yùn)用兩方面。過程目標(biāo)有2，過程目標(biāo)主要是針對基本性質(zhì)的探索而言。（三）教學(xué)目標(biāo)這里請大家瀏覽一下，不再贅述。1、讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、欣賞和設(shè)計(jì)的過程，從事圖形平移、旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)的探索活動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)操作技能，增強(qiáng)審美意識(shí)。2、通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平移和旋轉(zhuǎn)，理解平移和旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，并能做出簡單平面圖形平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形。3

6、、了解中心對稱和中心對稱圖形的概念，理解中心對稱的基本性質(zhì)，會(huì)利用中心對稱對圖形進(jìn)行變換。4、探索圖形間的變換關(guān)系，認(rèn)識(shí)和欣賞平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。5、能夠運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等組合變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。（四）重、難點(diǎn)我們還是結(jié)合中考題目來看本章的重難點(diǎn)。（2010）3.在下列四個(gè)圖案中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）（3分）AC此題考查的是軸對稱和中心對稱。2010）16.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)B6）如）為頂點(diǎn)的二角形向上平移3個(gè)單位A、B、CAABC111得到呼C1（點(diǎn)A、分別為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)），然后以點(diǎn)C1為中心將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)903，得到些C，則點(diǎn)2的坐標(biāo)為。此

7、題考查的是平面直角坐標(biāo)系中的平移與旋轉(zhuǎn)。（2011）2下多邊形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）（3分）A正五邊形B矩形C等邊三角形D平行四邊形此題考查的是軸對稱和中心對稱。（2011）4觀察右圖，在下列四種圖形變換中，該圖案不包含的變換是（）（3分）A.平移B.軸對稱C.旋轉(zhuǎn)D.位似此題考查的是圖形的變換。（2011）17.（4分）如圖，在AAOB中，ZAOB=90。，OA=3,OB=4,將AAOB沿X軸依次以點(diǎn)A、B、O為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別得到圖（2）、圖（3）、則旋轉(zhuǎn)得到圖Go的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.此題考查是坐標(biāo)系中三角形的旋轉(zhuǎn)。（2012）5下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中

8、心對稱圖形的共有（）（3分）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)此題考查的是軸對稱和中心對稱（2012）21（9分）如圖1,在AABC中，AB二AC,ABAC二90。，D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0。a180。）,得到AABC（如圖2）.探究DB與EC的數(shù)量關(guān)系，并給與證明.（2）當(dāng)DB/AE時(shí)，試求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).ATh此題把旋轉(zhuǎn)放在三角形中考察。（2013）8下列圖形中：既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的個(gè)數(shù)是（）（3分）等邊三角形；矩形；等腰梯形；菱形；正八邊形;圓A.2B.3C.4D.5此題考查的也是軸對稱和中心對稱（2013）16.（4分）如圖，矩形ABCD,

9、AB=1,E、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，沿BE將AABE折疊，若點(diǎn)A恰好在BF上，貝0AD=.AED此題雖然沒有考察平移、旋轉(zhuǎn)，但卻是折疊問題，屬于幾何變換。，（2014）17如圖在坐標(biāo)系中放置一菱形0ABC，已知ZABC=60，OA=1先將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2014次，點(diǎn)B的落點(diǎn)依次為B1，B2,B3，則B2014的坐標(biāo)為（4分）14年沒有單獨(dú)命題，此題是規(guī)律性題，是以旋轉(zhuǎn)為載體，綜合考察：點(diǎn)的坐標(biāo)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)。(2014)21.(9分)如圖，已知AABC是等腰三角形，頂角ABAC=a(a60),D是BC邊上的點(diǎn)，連接AD,線

10、段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到AE,過點(diǎn)E作BC的平行線，交AB于點(diǎn)F,連接DE,BE,DF.求證：BE=CD;若AD丄BC,試判斷四邊形BDFE的形狀，并給此題把旋轉(zhuǎn)放在三角形中考察。近五年中考分析所占分?jǐn)?shù)：年份20102011201220132014分?jǐn)?shù)3分6分3分3分4分考察題型：選擇題,填空題,解答題知識(shí)點(diǎn)涉及：軸對稱、中心對稱、平移、旋轉(zhuǎn)。所以,結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)與中考動(dòng)態(tài),此部分的教學(xué)重點(diǎn)：1、通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平移,理解平移前后兩個(gè)圖形對應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等,對應(yīng)線段和對應(yīng)角分別相等的性質(zhì)。2、通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn),理解旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角

11、彼此相等的性質(zhì)。3、通過具體實(shí)例,理解中心對稱的概念以及中心對稱和中心對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系。掌握中心對稱的性質(zhì),會(huì)畫已知圖形關(guān)于已知點(diǎn)對稱的圖形(尤其是在坐標(biāo)系中)。4、綜合運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等組合變換，掌握分析問題，解決問題的技巧。教學(xué)難點(diǎn)1、在直角坐標(biāo)系中做出簡單平面圖形平移后的圖形，根據(jù)圖形平移前后一對對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出其它點(diǎn)平移前（或后）的坐標(biāo)。2、在方格紙上和直角坐標(biāo)系中做出簡單平面圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90（或90的整數(shù)倍）后的圖形，根據(jù)圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)寫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。3、夠靈活運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱的組合進(jìn)行簡單的圖案設(shè)計(jì)。（五）突破重難點(diǎn)1、把握好教材前提對于平移和旋轉(zhuǎn)的學(xué)習(xí)，一

12、方面要鉆研教材：抓住本章“知識(shí)結(jié)構(gòu)”的主線：認(rèn)識(shí)現(xiàn)象歸納概念探究性質(zhì)數(shù)學(xué)應(yīng)用結(jié)實(shí)實(shí)際問題這條主線在學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱時(shí)是一樣的。另一方面要備足學(xué)生：充分考慮學(xué)生實(shí)際的認(rèn)知水平和不同學(xué)生認(rèn)結(jié)構(gòu)的差異。教師可以考慮以下幾個(gè)問題：學(xué)生對軸對稱的學(xué)習(xí)掌握到何種程度？學(xué)生已有哪些相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)？學(xué)生對圖形變換的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)有哪些？2、找準(zhǔn)知識(shí)的生長點(diǎn)條件我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“軸對稱”，初步積累了一定的圖形變換的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生通過觀察、分析、畫圖、簡單圖案的欣賞和設(shè)計(jì)等活動(dòng)，學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)知識(shí)，進(jìn)一步豐富學(xué)生對圖形變換的認(rèn)識(shí)。3、采用合適的教學(xué)方法關(guān)鍵此部分可以嘗試情境教學(xué)法和探索發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合的

13、教學(xué)方法。例如：在學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)；首先設(shè)計(jì)如下兩個(gè)情境引入圖形的旋轉(zhuǎn)情境一：引導(dǎo)學(xué)生回憶在小學(xué)學(xué)過的有關(guān)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)舉出生活中的實(shí)例。情境二：用課件顯示日常生活中部分物體的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。引入圖形的旋轉(zhuǎn)。然后，再利用探索發(fā)現(xiàn)法，讓學(xué)生動(dòng)手操作課前已經(jīng)做好的鐘表指針，探究旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)4、精心設(shè)計(jì)練習(xí)保障練習(xí)應(yīng)主要針對平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行。這里有兩個(gè)典型的易錯(cuò)題型，一起看一下（1）平移將對應(yīng)點(diǎn)所連線段誤認(rèn)為是對應(yīng)線段例：如圖所示，將ABC沿箭頭方向平移一定的距離后得到DEF,請你找出圖中的對應(yīng)線段。2）對旋轉(zhuǎn)性質(zhì)不理解致錯(cuò)例：如圖所示，在4X4正方形網(wǎng)格中，AMNP繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)定的角度，得到MNP，則旋

14、轉(zhuǎn)中心可能是（）A.點(diǎn)A點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)D,S,AP/P錯(cuò)解：C正解：B此題錯(cuò)節(jié)的原因在于沒有正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確做法是找旋轉(zhuǎn)中心的實(shí)質(zhì)是找一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到每對對應(yīng)點(diǎn)的距離分別相等。（六）教學(xué)建議這里還是請老師們?yōu)g覽一下，不再展開。1、讓學(xué)生體驗(yàn)圖形與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，體會(huì)平移、旋轉(zhuǎn)等有關(guān)知識(shí)的形成和應(yīng)用過程。2、提倡根據(jù)學(xué)生實(shí)際、教學(xué)實(shí)際和本地實(shí)際創(chuàng)造性的利用與圖形變換有關(guān)的資源進(jìn)行教學(xué)。3、強(qiáng)調(diào)學(xué)生的觀察、操作、探索和交流。4、滿足學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)需求。第五章平行四邊形一）新舊教材對比舊版教材新版教材1、七年級下冊第九章四邊形性質(zhì)探索2、內(nèi)容1平行四邊形的性質(zhì)2平行四邊形的判定3菱形

15、4矩形、正方形5梯形6.多邊形的內(nèi)角和與外角和7平面圖形的密鋪8.中心對稱圖形1、八年級上冊第五章平行四邊形2、內(nèi)容1平行四邊形的性質(zhì)2平行四邊形的判定三角形的中位線多邊形的內(nèi)角和與外角和從編排順序上看，舊版教材是在七下第九章四邊形性質(zhì)探索中學(xué)習(xí)的，新版教材是在八上第五章平行四邊形中學(xué)習(xí)的，編排順序延后了。從內(nèi)容上看，第一節(jié)平行四邊形的性質(zhì)還是現(xiàn)在的第一節(jié)平行四邊形的性質(zhì)，第二節(jié)平行四邊形的判定還是現(xiàn)在的第二節(jié)平行四邊形的判定，第六節(jié)多邊形的內(nèi)角和與外角和成了現(xiàn)在的第四節(jié)，舊版教材中的3、4、5節(jié)菱形、矩形、正方形、梯形新教材中沒有涉及，應(yīng)該是要在八年級下冊中學(xué)習(xí)，第八節(jié)中心對稱圖形已經(jīng)提到上

16、一章學(xué)習(xí)了，另外新增第三節(jié)三角形的中位線，三角形的中位線原來是在八下證明（三）中學(xué)的，這里提上來了。（二）教材與課標(biāo)（P34）四邊形中列舉了與本章相關(guān)的課標(biāo)要求：（1）了解多邊形的定義，多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、對角線等概念；探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式。（2）理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及他們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性。（3）探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分；探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（4）了解兩

17、條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離。（6）探索并證明三角形的中位線定理。結(jié)果目標(biāo)有9個(gè)，主要是概念、公式和定理的掌握，大家看一下就可以了。過程目標(biāo)有4個(gè)，主要是針對公式和定理的探索而言以上分析提示我們，在教學(xué)中，一定要遵循事件的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷平行四邊形的探索過程，而不是直截了當(dāng)?shù)陌呀Y(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生。（三）教學(xué)目標(biāo)請大家瀏覽一下即可1、經(jīng)歷平行四邊形性質(zhì)的探索過程，豐富學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，增強(qiáng)學(xué)生的簡單邏輯推理意識(shí)，使學(xué)生掌握說理的基本方法。2、掌握平行四邊形的概念，探索并掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和床用判定方法。3、了解三角形的中位

18、線，探索并證明三角形的中位線定理，4、探索并了解多邊形的內(nèi)角和和外角和公式，了解多邊形的概念。（四）重、難點(diǎn)我們先看一下此部分在近五年萊蕪市中考中的題目（2010年）11.一個(gè)邊長為2的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則這個(gè)正多邊形的半徑是（3分）A.2B釘富C1D此題考察的是正多邊形的內(nèi)角和與外角和。（2010）23.（本題滿分10分）在，ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF、GH,分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn)，連結(jié)EG、GF、FH、HE.（1）如圖，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；（2）如圖，當(dāng)EF丄GH時(shí)，四邊形EGFH的形狀是；在（2）的條件下，若

19、AC=BD，四邊形EGFH的EDHBFC圖在（3）的條件下，若AC丄BD，試判斷四邊形并說明理由.（3）如圖,形狀是；DHBFC圖（4）如圖,EGFH的形狀，（第23題圖）此題第一問考查的是平行四邊形的判定，然后在此基礎(chǔ)上考察了菱形、矩形、正方形。2011無涉及2012無涉及這里指的是沒有涉及平行四邊形的知識(shí)，但卻考察了其他特殊四邊形。（2013）14.正十二邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為.（3分）此題考查的是正多邊形的內(nèi)角度數(shù)的求法。(2013)21如圖，在RtAABC中，ZC=90，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE.(9分)證明DECB；探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系

20、時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形此題在第二問中考察了平行四邊形的判定。TOC o 1-5 h z(2014)6若一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為156，則這個(gè)正n邊形的邊數(shù)是()(3分)A.13B.14C.15D.16此題考查的是正n邊形內(nèi)角和公式。(2014)11(3分)如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC、AD、CE,CE交AD于點(diǎn)F,連接BF,下列說法不正確的是()A.CDF的周長等于AD+CDB.FC平分ZBFDC.AC2+BF2=4CD2D.DE2二EFCE此題以正五邊形為載體，綜合考察邊角知識(shí)。近五年中考分析所占分?jǐn)?shù)年份20102011201220132014分?jǐn)?shù)3+2分0分0分4+5分3+3分考察題型：選擇、填空、解答均有知識(shí)點(diǎn)涉及：多邊形內(nèi)角和和外角和（常以選擇、填空形式出現(xiàn)），平行四邊形的判定（一般不單獨(dú)命題，常常作為大題中的一小問。）所以，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)與中考動(dòng)態(tài)，我們確定了此部分的教學(xué)重點(diǎn)是1、探究并掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定。2掌握三角形的中位線定理及其證明。3、掌握多邊形的內(nèi)角和公式和外角和公式，并運(yùn)用它們解決問題。教學(xué)難點(diǎn)是1、探究并掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定條件，它們的靈活應(yīng)用。2、利用三角形的中位線對圖形進(jìn)行證明3、探索多邊形的內(nèi)角和和外角和公式（五）重難