函數(shù)的極限99221課件

1、 第一章 二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié)一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限下頁(yè) 結(jié)束 函數(shù)的極限 三、函數(shù)極限的性質(zhì)四、小結(jié)一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、自

2、變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.定義： 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱常數(shù)時(shí)的極限,記作A 為函數(shù)幾何解釋: 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例7. 證明證:取因此注:就有故欲使即 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 補(bǔ)例證 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注:直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況 :當(dāng)時(shí), 有當(dāng)時(shí), 有幾何意義 :例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如， 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)

3、的極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1、定義： 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,當(dāng)時(shí), 有則稱常數(shù) A 為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或若記作當(dāng)時(shí), 有2、幾何解釋:注意： 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 使得當(dāng)定理2(P36函數(shù)極限的局部有界性)這表明: 如果那么存在常數(shù)時(shí)，有 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1證例2證 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3. 證明證:欲使取則當(dāng)時(shí) , 必有因此只要 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義. 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例5證 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.單側(cè)極限:例如, 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 左極限右極限 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例6.

4、設(shè)函數(shù)討論 時(shí)的極限是否存在 . 解: 利用定理 .因?yàn)轱@然所以不存在 . 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 左右極限存在但不相等,補(bǔ)例證 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、函數(shù)極限的性質(zhì)2.有界性（前面已講）1.唯一性 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 使得當(dāng)定理2(P36函數(shù)極限的局部有界性)如果那么存在常數(shù)時(shí)，有函數(shù)極限的保號(hào)性定理定理3 . 若且 A 0 ,證: 已知即當(dāng)時(shí), 有當(dāng) A 0 時(shí), 取正數(shù)則在對(duì)應(yīng)的鄰域上( 0)則存在( A 0 )(P37定理3) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若取則在對(duì)應(yīng)的鄰域上 若則存在使當(dāng)時(shí), 有定理3(P37 定理3)分析: 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推論 . 若在的某去心鄰域內(nèi)

5、, 且 則證: 用反證法.則由定理 3,的某去心鄰域 ,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真, (同樣可證的情形)思考: 若推論 中的條件改為是否必有不能! 存在如 假設(shè) A 0 , 條件矛盾,故 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理4 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等. 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 補(bǔ)例證 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二者不相等,四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見(jiàn)下表) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 過(guò) 程時(shí) 刻從此時(shí)刻以后 過(guò) 程時(shí) 刻從此時(shí)刻以后 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限的或定義及應(yīng)用2. 函數(shù)極限的性質(zhì):思考與練習(xí)1. 若極限存在,2. 設(shè)函數(shù)且