《拓?fù)鋵W(xué)》第三次作業(yè)參考解答

1、拓?fù)鋵W(xué)第三次作業(yè)參考解答設(shè)X表示所有n階實(shí)方陣的集合.對(duì)每個(gè)A = (a。)w X及正數(shù)名，定義U(A;a)=B = (bj)w X,i,j n, a。一引 G.證明：全體U (A;約構(gòu)成的集合是 X上一個(gè)拓?fù)浠?證明：為方便起見，記全體 U(A;8)構(gòu)成的集合為B ，則只需證明B滿足拓?fù)浠膬蓷l公理。B是X的覆蓋這一點(diǎn)是顯然的。(2)設(shè)A=(aj), B =(bj)是兩個(gè)n階實(shí)方陣，?6是兩個(gè)正數(shù)，不妨設(shè) 工之6.并設(shè)C =9) U(A, ;) - U(B,、).則依題意知，Vi, j n,cj aj %cjbj6.令飛=min 名 一 q aj ,5 - cj-bij:1 i, j n.則

2、不難看出，U(C, ) U(A, ;) - U(B,、).因此，B確實(shí)是X的拓?fù)浠?。設(shè)p是一個(gè)給定的素?cái)?shù)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)a,定義Ua(n)=n+mpamw|J,證明：1Ua(n) a w|J+n w |_ 是整數(shù)集口上的一個(gè)拓?fù)浠?證明：由定義可知，Vn w L, Va w ,n w U a(n)(取m = 0就知道了)，故Ua(n) a w U;n w |_ 是的 一個(gè)覆蓋。再設(shè)k WUa(m)cUb(n)(其中a,b是兩個(gè)正整數(shù)，m,n=U ),則存在兩個(gè)整數(shù)r,s使得 abk 二 n rp ; m sp .不妨設(shè) a 之b ,則 m = n +rp a -spb, n = m +spb r

3、pa.從而 Vi 運(yùn) U a(n),三j w 使得 i = n + jp a.于是i = (m spb -rp a) jpa 二 m (s jpaj-rpa上)pb Ub(m).這表明，Ua(n) - Ub(m) =Ub(m).由此可見，Ua(n) aw U： nW l_ 確實(shí)是n上的一個(gè)拓?fù)浠?.3.設(shè)X是Hausdorff空間，f : X t X為一連續(xù)映射，試證明其不動(dòng)點(diǎn)集 Fixf :=x X : f (x) = x是一 個(gè)閉集.證明：只需證明不動(dòng)點(diǎn)集的余集 C=xWX f (x) # x)是開集就可以了。設(shè)x W C ,則f (x) # x ,于是由T2分離性知，存在開集U w N

4、( x), V三N( f( x)吏得U CV =電又由f的連續(xù)性，存在開集Ui W N (x)使得f (Ui)uV.令W =U cUi,則WW N(x)且W = C,這表明x是C的內(nèi)點(diǎn)。再由x的任意性知C是開集。證明：(1) Hausdorff空間的子空間也是 Hausdorff空間；(2)如果f : X T Y是一個(gè)閉的雙射(即一一映射)，而X為Hausdorff空間，則 Y也是Hausdorff 空間；(3)如果f : X t Y是一個(gè)連續(xù)的單射，Y為Hausdorff空間，則X也是Hausdorff空間.證明：(1)設(shè)X是一個(gè)Hausdorff空間，A為其一個(gè)子空間。對(duì)于任意不同的兩點(diǎn)x

5、,ywA,由X是 Hausdorff 空間知，存在 X 中的開集 U ,V 使彳# xw U , y wV,U eV =S 令 U A =U c a,Va = Vc A , aAA則易見有 Ua w Na(x),Va w NA(y),并且 UaVa=.可見 A 也是 Hausdorff 空間。設(shè)f : X t Y是一個(gè)閉的雙射(即映射)，而X為Hausdorff空間，對(duì)Y中任意兩個(gè)不同的11,點(diǎn)y1，y2,記x=f (y)x2 = f (y2),則人,是X中兩個(gè)不同的點(diǎn)，因此由假設(shè)，存在鄰域 U1 w N(x1), U2w N(馬澳彳導(dǎo)U1 CU2 =中由于f : X T Y是閉映射，故由定理

6、 3.3 ,存在兩個(gè)Y中的 開集 V產(chǎn) N(y1),V2 w N(y2)使得 f ,(M)= U，f,M)匚 U 2.顯然，W =R 可見 Y 也是 Hausdorff 空間。(3)設(shè)f : X t Y是一個(gè)連續(xù)的單射， Y為Hausdorff空間，對(duì)于X中任意兩個(gè)不同的點(diǎn) x1,x2 , 令y1 = f (x1)，y = f (x2),則y1，y2是空間Y中兩個(gè)不同的點(diǎn)，從而由假設(shè)，存在V1wN(y1),V2N(y2)使得V1V2 =。由于f是一個(gè)連續(xù)的單射，故存在 5亡N(x)U2W N(x2)使得 f( U戶 V, f(U )由V是單射知，U1CU2 =(f/0f (U1)C(f 卬2)

7、5心2=：,可見U1 CU 2 =4.因此X也是Hausdorff空間.證明：如果X是正則T1空間，則對(duì)任意不同的兩個(gè)點(diǎn)x, y w X ,存在U亡N(x), V w N( y)使得 U - V =.證明：設(shè)X是T1空間，則對(duì)任意不同的兩個(gè)點(diǎn)x, y X , x,y都是閉集，又由正則性知，存在U1 w N(x), V w N(y)使得U1 c V1 =在再利用定理5.3,知，存在U w N(x),Vw N(y)使得U U Ui,V V Vi.顯然，UcVuUiCVi=e,因此 UcV = e.如果X是正規(guī)空間，則對(duì)任意不相交的兩個(gè)閉集A, B u X ,存在U w N(A),V w N(B)使

8、得U - V =.證明：設(shè)X是正規(guī)空間，則對(duì)任意不相交的兩個(gè)閉集A, Bu X ,由定義知，存在 Ui w N A, VW (N)前彳#UcVi=.又由定理 5.4 可知，存在 U w N(A),V w N(B)使得 Uu Ui ,且 V UV1.顯然 U eV = *. 5.15.證明：可數(shù)的正則空間是正規(guī)的.證明：設(shè)X是一個(gè)可數(shù)的正則空間，F(xiàn)是其任一閉子集，U W N(F).不妨記F =xn nW k,其中K u|_為可數(shù)集。則 Vn w K, x, w U ,故由正則性知，存在 Un w N(4)使得Uc U.由于顯然有 F仁IjUn，故由定理5.4即知，X是正規(guī)空間。n EK證明：正則

9、的Lindelof空間必定是正規(guī)的空間.證明：設(shè)X是正則的Lindelof空間，F(xiàn)是任一閉子集，UN(F).對(duì)于任一 x F ,也有U w N(x), 因此由正則性，存在開集U(x)使得xw U(為二百7)仁U這樣就得到空間X的一個(gè)開覆蓋 U(x) xw F kJFc.由于X是Lindelof空間，故有可數(shù)的子覆蓋 U(xn) xn w F,n= NkFc.顯然 F u = U(xn) xn w F,nw N ,且對(duì)于每個(gè)n,都有U(xn)uU(2)=U.因此由定理5.4可知，X是一 個(gè)正規(guī)空間。設(shè)X滿足T4分離公理，f : X t Y為一滿連續(xù)閉映射，則Y也滿足T4分離公理.證明：設(shè)f :

10、X t Y為一滿連續(xù)閉映射，X滿足T4分離公理，對(duì)于Y中的任意兩個(gè)開集 V1,V2 ,若 111 ,VV2=Y，則f (M2 f (V2)=f (V = Y) = X,因此由定理5.4知，X中有閉集EE使得 一 一 一Euf(M),E2f(V2),且E1=E2= X.由f是滿的閉映射，知F,=f(E。F2= f (E2)都是Y中的閉集，且f(Ei)u f ()f,(M)=Vi, f(E2)u f Qf(V2)=V2, EuF2 = f(Ei)u f (E2) = f (E E2) = Y.因此由定理5.4知，Y滿足丁4分離公理.設(shè)X為完全正則空間，xw X, VU w N(x).證明：存在連續(xù)

11、映射 f:XT I使得 L二卜,且 f (Uc)u 0的充分必要條件是x為Gg集.證明：(設(shè)必要性)存在連續(xù)映射f :Xt I使得f,(1) = xL且f(Uc)u。,則由【x)=f(i)=f，(n(Li)=nf(Li)nj n n J n ,1以及每個(gè)f(L/)都是開集，即可知x為G6集.n00(充分性)設(shè)&為G5集，則存在可數(shù)個(gè)開集Ui,U2,|,Un,|使得x=0Un.對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n , n 1顯然xWUn,因此由X的完全正則性，存在連續(xù)函數(shù)fn：XT I使得fn(x) = 1, fn(Un)匚。.令j fn(t)g：X 川， g(t)c 4, - t X. nd 21c則容易驗(yàn)證，g

12、:XTl是連續(xù)映射，且 g(x)= 二=1 ,又對(duì)于任一 t#x, twx =Uu：,必定 nm2N存在一個(gè)n使得tU：,從而fn(t) =0,進(jìn)而有g(shù)(t) 1,n,任一 x X,g(x) = g1(x) g2(x) IH gn(x).x? X由于ViMJHM 是X的覆蓋，故存在i n使得x? Vi ,是 g(x)? gi(x)1.可見g(x)1 0.nVi Wn ,令fi=g: Xt I,則%是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且顯然VxwX, (x)三1.又對(duì)于任gpx = X -Ui,由 gi(x) =0可知，也有 fi(x) =0. 6.8.設(shè)X是正規(guī)空間，A u X是閉子集，U w N( A).試證明：存在開的F仃-集V使得 A V U.證明：設(shè)X是