投資與收益風(fēng)險模型 傅園旭 李沖 程龍

1、扳關(guān)于投資的收益白和風(fēng)險的建模拜傅園旭 李沖暗 程龍絆指導(dǎo)教師：劉利敖斌癌摘要：1.本文挨建立了一個關(guān)于擺資產(chǎn)組合的收益熬最大化風(fēng)險最小半化的數(shù)學(xué)模型鞍2.本文通過在背考慮風(fēng)險一定時奧收益最大化，再藹考慮收益一定時暗的風(fēng)險最小化的拜資產(chǎn)最優(yōu)組合模叭型，并對最終的岸結(jié)果進(jìn)行了優(yōu)化熬處理，最終推廣爸到一般的投資之俺中。扒 一 問題的重現(xiàn)罷市場上有N種資擺產(chǎn)Si可供選擇隘，某公司有一筆辦數(shù)額為M的相當(dāng)氨大量的資金可以八用做一個時期的八投資敗。公司的礙財務(wù)分析員經(jīng)過百分析估算出在這啊一時期內(nèi)購買S瓣i的平均收益率癌為ri，風(fēng)險損熬失率為：qi。絆考慮到投資越分班散，總的風(fēng)險越癌小，購買額不超笆過ui時

2、，按交哎易費(fèi)購買ui計氨算。銀行存款利敗率為ro，無交埃易費(fèi)，無風(fēng)險。昂已知n=4時的挨相關(guān)數(shù)據(jù)如下：表一百Si挨ri（%）懊qi（%）翱pi(%)按ui(元)骯S唉1搬28按2.5疤1熬103吧S盎2氨21岸1.5盎2襖198啊S翱3礙23昂5.5百4.5扮52骯S絆4扮25挨2.6斑6.5絆40扒要求設(shè)計給該公懊司設(shè)計投資方案疤，使得既有投資骯，又有存款，并擺且使得收益盡可胺能的大，風(fēng)險盡岸可能的小。俺試就一般情況對壩以上問題進(jìn)行討柏論，并利用以下盎數(shù)據(jù)進(jìn)行計算；表二哀Si板ri（%）胺qi（%）胺p唉i(%)艾ui鞍S拔1頒9.6稗42斑2.1敖181捌S啊2伴18.5氨54絆3.2鞍4

3、01罷S艾3安49.4奧60皚6.0岸428百S澳4背23.9艾42捌1.5哀549埃S凹5笆8.1頒1.2愛7.6白270岸S皚6俺14唉39白3.4艾397靶S八7安40.7班68昂5.6按178敗S邦8盎31.2柏33.4拌3.1藹220霸S佰9稗33.6啊53.3把2.7拔475奧S艾10擺36.8稗40奧2.9拜248艾S扳11骯11.8俺31藹5.1白195辦S12唉9邦5.5哀5.7版320扒S13哎35壩46翱2.7敗267愛S14百9.4佰5.3霸4.5矮328襖S15癌15吧23伴7.6皚131霸經(jīng)過分析可知這爸是一道屬于最優(yōu)案化的問題，要使翱得投資收益盡量佰的大，風(fēng)險盡量

4、哀的小?？梢苑殖砂陜深惪紤]：即：暗1)風(fēng)險一定，奧收益最大化。2伴）礙收益一定，風(fēng)險啊最小化。佰文中的符號說明癌：版Si：第i種資柏產(chǎn) 敖 r捌i：購買Si的班平均收益率 芭 qi：這一伴時期內(nèi)購買Si百的風(fēng)險損失率 安 把ui：購買Si半的給定值 奧 r0同扒期銀行存款率 熬 俺 Qi：購買稗Si的風(fēng)險大小耙M：某公司一筆翱數(shù)額的資金 Q佰：總體風(fēng)險 瓣 唉 x骯i：購買Si的靶資金阿x0：罷用于存款的資金瓣 壩ci：交易費(fèi) 暗 白 斑 w：凈收益百第i種和第i-昂1種凈收益之差拔 把：第i種和第i耙-1種總體風(fēng)險靶之差二 模型假設(shè)板1愛、拌該公司在某一時版期是一次性的投拔資。隘2、矮該公司

5、在購買S岸i時不允許，用骯全部資金購買。霸3、不考慮通貨懊膨脹及其它風(fēng)險扮情況。柏4、稗銀行存款利率不斑變?yōu)椋簉0背5、隘總體風(fēng)險用最大拔的那個投資Si熬表示。拜6、藹假設(shè)凈收益為除哀去所有支出所剩扳的利潤。三 模型的建立一 基本模型：擺1.埃目標(biāo)方程安：皚考慮到在風(fēng)險一伴定的情況下，總拜收益的最大化。把并且隘考慮到銀行存款頒既無風(fēng)險也無交挨易費(fèi)，則把它單懊獨(dú)劃出來。目標(biāo)扳函數(shù)表示如下八：拌 襖（1）2.約束條件：癌用損失與投資之懊比衡量風(fēng)險的大唉?。喊绨嘲獍喟?叭（2）俺組合投資的總風(fēng)昂險為：澳耙扒拔懊 哎（3）奧即有綜合以上個凹式敖有藹：笆矮拔 辦 傲 暗（4）絆3.邦對于給定了風(fēng)險佰Q

6、：我們可以建巴立出如下的模型巴： 癌（二） 模型的爸優(yōu)化阿昂在正常的情況下熬，投資者的投資岸目的就是使收益凹竟可能的大，并艾且使風(fēng)險竟可能拔的小。奧一般情況下，隨案著投資的集中，爸可以使得收益逐埃漸變大，同時也八使得風(fēng)險增大，柏所以，投資者希隘望可以在風(fēng)險增壩加竟可能小的情巴況下，使得收益挨竟可能的大。否靶則投資將失去了拔原有的意義，不靶能達(dá)到增殖的作靶用了。因此，尋盎找一個合適的風(fēng)昂險疤，使得投資者的半投資覺得是有收八益的就很重要了礙，我們可以建立案一個W般百Q(mào)的函數(shù)關(guān)系，辦擬合出一條曲線吧，構(gòu)造出一個尋跋找最有投資組合百指標(biāo)：疤=Q瓣優(yōu)化模型：對于挨一個給定的風(fēng)險拜：s.t 霸（三） 問題

7、的礙解決阿1.熬由表一可知芭，該四種資產(chǎn)中藹，最大的風(fēng)險損瓣失率為0.05熬5，我們可以把礙取步長為0.0絆025，并進(jìn)行辦求解，在一系列隘風(fēng)險中，最大收班益對應(yīng)的各種投阿資Si的數(shù)目x啊i以及對銀行存版款的數(shù)目x0的癌方案， 結(jié)果為藹表3吧。表三霸Q罷w岸x伴0拜x傲1愛x2澳x3絆x4愛0瓣0.05佰1耙0壩0敗0扳0艾0.0025霸0.1138稗0.5719胺0.1半0.1667絆0.04545鞍0.09615襖0.005按0.1776啊0.1581埃0.2稗0.3333壩0.9019懊0.1932埃0.0075昂0班.2089埃0挨0.3案0.5艾0.1363柏0.4178爸0.01藹

8、0.2190骯0靶0.4爸0.5842氨0搬0懊0.0125皚0.2276皚0扮0.5案0.4853按0芭0擺0.015耙0.2354艾0白0.6捌0.3863笆0阿0傲0.0175擺0.2436襖0搬0.7八0.2873矮0矮0奧0.02跋0.2518靶0芭0.8爸0.1882懊0邦0霸0.0225邦0.2699盎0案0.9邦0.8922跋0搬0拌0.025半0.2673版0凹0.9901隘0拔0唉0柏0.0275扮0.2673凹0搬0.9901耙0白0暗0襖0.03伴0.2673斑0矮0.9901唉0爸0啊0叭0.055扒0.2673懊0把0.9901搬0扒0唉0 擺由傲表可以看出，當(dāng)傲Q

9、0.025岸時，w的各項值扒均不在變化挨。巴進(jìn)一步的，我們扳還可以改進(jìn)，在骯收益盡可能大的背基礎(chǔ)上，使得風(fēng)隘險盡可能的小。爸經(jīng)過改進(jìn)后，可隘得到如表4的數(shù)啊據(jù)：表4霸Q班w翱0扒0.5瓣鞍叭稗0.0025捌0.11381吧9巴0.06381凹9唉25.5276擺柏0.005壩0.17763暗9敗0.06381哎9百25.5276唉0.暗165256疤0.0075伴0.26208礙957班0.03131拌9傲12.5276澳0.49074澳7擺0.01熬0.21902背0.00818皚6挨3.2744辦0.26137哀4昂0.0125扒0.22720白6把0.00858敗6襖3.4344斑1.0

10、4886昂4叭0.015胺0.23539把2俺0.00778斑6斑3.1144唉0.99068巴25拜0.0175拔0.24357搬8俺0.00818暗6拔3.2744翱1.05137埃4皚0.02唉0.25176盎5邦0.00818佰7捌3.2748唉1爸0.0225案0.25995把1熬0.00818骯6暗3.2744霸0.99987辦8罷0.025熬0.26732俺7案0.00737傲6笆2.9504氨0.90105把1笆由表4可得搬在區(qū)間0.0唉05,0.01吧內(nèi)，可以進(jìn)一挨步的細(xì)分求解，翱取步長為0.0懊005，可得表壩5表5霸Q愛w案0.005隘0.17763昂8芭扳擺敗0.005

11、5皚0.19040罷2胺0.01276罷4盎25.528拔班0.006埃0.20198把0.01150八6愛23.012扒0半.90142隘0.0065班0.20425搬8愛0.00235伴4.7板0.20424埃1礙0.007板0.20660佰7藹0.00234捌9奧4.698爸0.99957拔5艾0.0075氨0.2089扮57巴0.00223稗5巴4.7礙1.00042柏6案0.008敖0.21243霸0.00228盎6巴4.572翱0.97277敗0.0085懊0.21338伴1礙0.00213岸8邦4.276笆0.93525扒8阿0.009疤0.21552板0.00213班9靶4.2

12、78俺1.00046伴8隘0.0095伴0.21738礙2藹0.00186啊2版3.724霸0.87050襖0.01翱0.21902瓣0.00163熬8扒3.276吧0.87969罷9霸由表5可得：w板=0.2019暗08，x0=0盎，x1=0.2邦4，x2=0.背4，x3=0.靶109091，捌x4=0.22藹1221，此時版，啊=0.006。傲運(yùn)用matla藹b軟件，經(jīng)過編板程，在圖中可以班看出，當(dāng)Q=0般.006時，是盎曲線由快轉(zhuǎn)慢的白一個轉(zhuǎn)折點，這癌符合我們要求的襖使得癌“俺收益在盡可能大扮的基礎(chǔ)上風(fēng)險盡澳可能的小背”敗的要求。具體程序如下：a=0;瓣while(1笆.1-a)1吧 c

13、=氨-0.05 -骯0.27 -0半.19 -0.唉185 -0.八185;啊 矮Aeq=1 瓣1.01 1.案02 1.04襖5 1.065捌;盎 beq氨=1;藹 A=半0 0.025艾 0 0 0 疤;0 0 0.鞍015 0 0巴;0 0 0 哀0.55 0;罷0 0 0 0矮 0.026伴;鞍 b=藹a;a;a;a辦;按 vlb唉=0,0,0愛,0,0;捌 vub隘=;凹捌 x,八fval=l盎inprog(伴c,A,b,A鞍eq,beq,班vlb,vub哎); a叭 x=x絆愛 Q=-半fval扒 plo皚t(a,Q,岸.)氨 axi爸s(0 0.伴1 0 0.5啊)頒 hol挨d

14、 on熬 a=a昂+0.001;end凹xlabel(扳a),yl藹abel(Q翱)得到結(jié)果為：昂黑點處為最優(yōu)的哀點。挨2.昂一般情況下的分骯析安當(dāng)投資相當(dāng)大時擺，我們可以忽略笆給定值ui的影礙響，則凈收益為八（ri 半拔 pi）。凹當(dāng)投資收益率小隘于銀行存款利率昂（r0）時，我皚們一般不考慮投拜資，而是把資金叭存在銀行，在總版風(fēng)險一定的情況芭下，資金竟可能隘的流向收益率高捌的資產(chǎn)項目上，盎在收益相同的情疤況下，資金流向昂交易費(fèi)較小的那跋一個投資項目，拌因此，我們可以愛對資產(chǎn)按照凈收罷益率進(jìn)行排序，礙結(jié)果為：s1 芭s2 s3 s背4 s0;由運(yùn)哀算可以看出，隨唉著總體風(fēng)險的不傲斷減小，投資順

15、爸序為：s1 s艾2 s3 s4盎 s0,該結(jié)果骯與我們按原則排埃序是相同的。在翱一定時期內(nèi)，風(fēng)暗險損失率一定的鞍情況下，投資越耙分散，風(fēng)險越小板，此時有：頒（0q藹.當(dāng)投資的收益捌率小于銀行的利襖息率時，則，投把資者會把資金存岸在沒有風(fēng)險和交啊易費(fèi)的銀行里，瓣而不用來進(jìn)行投哎資。瓣2唉百.案在對多種資產(chǎn)進(jìn)骯行投資的時候，八在總收益一定的隘情況下，交易費(fèi)案越低的則越先進(jìn)版行投資；在總風(fēng)拔險一定時，則將瓣資金盡可能的投哀向收益率較高的盎資產(chǎn)項目上。凹3.n越大，哎Q越小，當(dāng)n=巴15時，如果繼搬續(xù)增大，則無意礙義。敖3.我們利用解頒決以上問題的方礙法決定了一系列柏的總體風(fēng)險值在昂總體風(fēng)險一定的扮

16、情況下的幾種投俺資方案，以及最把有資產(chǎn)投資組合埃指標(biāo)較好的投資啊方案，其中叭，步長為0.0藹5.具體數(shù)據(jù)如擺表6,表7,表安8所示：表6班Q拔w熬x0案x1稗x2邦x3辦x4挨x5般x6暗x7跋x8隘x9耙x10版x11霸x12邦x13柏x14絆x15稗0伴0.05癌1鞍0奧0霸0懊0叭0癌0吧0挨0扮0俺0叭0扳0啊0.05安0.2643絆0懊0巴0.0926搬0.0833半0.119岸0艾0.1225昂0.735霸0.1497傲0.9318瓣0.125暗0拜0佰0.10傲0.3353罷0絆0柏0佰0.1667襖0靶0礙0擺0.147頒0胺0.1826版0.25懊0背0半0.15阿0.349

17、6皚0敖0把0罷0.25爸0八0艾0艾0.2206般0壩0辦0.375版0拜0俺0.20叭0.3586按0盎0拜0耙0.3333俺0岸0斑0皚0.2941靶0把0搬0.3266柏0柏0八0.25哎0.3659扳0礙0熬0壩0.4167昂0拔0壩0癌0.3676哎0板0笆0.1653搬0頒0皚0.30懊0.3732百0襖0扒0敖0.5挨0疤0爸0敖0.4412百0佰0案0.4002暗0阿0挨0.35板0.38般0懊0把0斑0.5833班0班0吧0藹0.3614伴0瓣0靶0俺0柏0敗0.40柏0.3868澳0半0啊0礙0.6667拌0奧0安0凹0.2778叭0叭0礙0斑0霸0扮0.45阿0.393

18、6骯0耙0哎0鞍0.75埃0皚0氨0哎0.1941胺0耙0氨0岸0拔0懊0.50懊0.4004昂0絆0靶0阿0.8333案0敖0暗0頒0.1105矮0澳0把0哀0癌0案0.55霸0.4073阿0頒0俺0拌0.9167把0邦0愛0吧0.2683百0把0按0版0百0八0.60柏0.4094艾0壩0伴0唉0.9434愛0鞍0隘0壩0靶0罷0哎0拜0伴0佰0.65傲0.4094啊0癌0拜0壩0.9434把0敖0埃0爸0搬0澳0礙0芭0版0傲0.70挨0.4094捌0八0昂0懊0.9434案0邦0愛0挨0藹0澳0般0氨0耙0邦由上表，我們可傲以看出，隨著總礙體風(fēng)險的減小，隘資產(chǎn)的投資順序懊為：s3,s7

19、礙,s10,s1扮3,s9,s8澳,s6,s15笆,s11,s1般,s0,這與規(guī)奧律2所列出來的疤順序完全相同，昂說明了2的正確笆性。頒據(jù)優(yōu)化模型，算背出的各數(shù)見表7表7俺Q疤w氨0按0.05拜骯靶艾0.05藹0.26433伴0.21433哀3凹4.28666藹絆0.1把0.33534皚1佰0.07100阿8案1.42016俺0.33130疤0.15吧0.34959鞍2扒0.01425澳1澳0.28502懊0.27870扳0.2霸0.35862哎2稗0.00903隘10艾0.18060傲0.63364懊0.25俺0.36591暗6白0.00729拌4拔0.14588班0.80775拌0.3芭0

20、.37320敖9皚0.00729襖3隘0.14586啊0.999唉0.35皚0.38002奧1八0.00681百2邦0.13624唉0.93405挨0.4拜0.38683挨3昂0.00682拜1板0.13624拜1哀0.45拌0.39363捌9鞍0.00680艾6柏0.13624八0.95508扳0.5藹0.40044翱5百0.00680挨6奧0.13012霸1扳0.55哎0.40725挨1暗0.00680翱6懊0.13012拜1壩0.6芭0.40943疤4愛0.00218俺3盎0.04360翱0.33554阿由表7可知半，扮，對區(qū)間（0.矮05,0.15凹）進(jìn)一步細(xì)化，挨取步長為：0.芭01得表8表8安Q捌w艾0.05百0.26433敖3埃扳扮巴0.06扮0.29450按3捌0.031