2015年4月屆高三第三次全國大聯(lián)考江蘇版數(shù)學(xué)卷解析

1、一、填空題（每題 5 分，滿分 70 分，將填在答題紙上）1已知集合 A 1, 2, 4 ， B a, 4 ，若U A B 1, 2,3, 4，則CU B .【命題意圖】本題考查集合的并集、補集運算等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的基本運算能力.【】1, 2【】 A B 1, 2,3, 4 a 3 ,所以CU B 1, 22已知復(fù)數(shù)z 滿足a bi z b ai,(a,b R) ,則 z 的模為【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的模等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的基本運算能力.【】1】a bi z b ai z b ai =i | z |1【a bi3“ x 0 ”是“ x 1 2 ”的_條件x【命題意圖】本題考查充

2、要關(guān)系及基本不等式等基礎(chǔ)知識，意在考查綜合分析能力以及基本運算能力.【】充要又當 x 1 2 時，x 0 必成立，所以“ x 0 ”是“ x 1 2 ”】因為當 x 0 時，【xx的充要條件本題也可這樣理解： x 1 2 (0 x4執(zhí)行的偽代碼，則輸出的結(jié)果為（第 4 題）【命題意圖】本題考查流程圖基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的基本運算能力和邏輯推理能力.【】471I 11WhileI 7S 2 I + 1I I-2EndWhile PrS【】第一次循環(huán)： S 23, I 9 ，第二次循環(huán)： S 47, I 7 ，結(jié)束循環(huán)輸出 S 47 5已知O 為 ABC 的外心， BM 2MC ， AC 3 .

3、若 AO AM 4 ，則 AB .【命題意圖】本題考查平面向量的運算及向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的基本運算能力.【】30【】由題意得：f (x) 0 x 0f ( f (x) 3 f (x) 0或 f (x) 3 x 0或f (x) 2 f (x) 324 cos x 3 23 x 0或x (2k 1) , k N.2 4)(x 2)(x 5) x 1 , 4 ，則函數(shù) y f (x) 的值域為7已知函數(shù) f (. 3 3 333【命題意圖】本題考查函數(shù)周期、二次函數(shù)值域等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本運算能力】(0, 4).【f (x 1) 的值域與函數(shù) y f (x)

4、 的值域相同，而 x 1 1 , 4 x (0,1) ，故【】函數(shù) y 3 3 335 29 1)(2 1)(x2 4) x2 (0, 4) ，f (2 4所以函數(shù) y f (x) 的值域為(0, 4).8. 如圖，在長方體 ABCD A1B1C1D1 中， AB 3 cm， AD 2 cm， AA1 1 cm，則點 B1 到面 ABD1的距離為cm2D1C1A1CAB（第 8 題）【命題意圖】本題考查三棱錐的體積及等體積法求高等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的空間想象能力及基本運算能力】 2 5【5D1 A1 1 AB BB1D A S 2 2 3 1 25 得 1 hS 1 D A S V, h

5、1 1 ABB1【】由VB1 ABD1D1 ABB1ABD11 1 ABB133S153 52 AB AD1ABD19若銳角三角形三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊與最小邊長度之比為m ，則m 的取值范圍是.【命題意圖】本題考查正弦定理及三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的運算求解能力.】1, 2)【sin Asin(120 C)31】由題意最大角 A 與最小角 C 之和為120 ，則 m 【，又sin csin C2 tan C23 tan C 3 , m 1, 2)60 A 120 C 90 60 C 30 ，所以341 的取值范圍為10已知直線3ax by 9 經(jīng)過點 P(1, 3)

6、，則.a 1b【命題意圖】本題考查函數(shù)值域，基本不等式等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生分析問題的能力.91】 , ) (, 【22【】因為直線3ax by 9 經(jīng)過點 P(1, 3) ，所以a b 3，b a 1) 9 或4 1 a 1b2a 1a 1ba 1a 1b2b22b24 1 的取值范圍為9 , ) (, 1 a 1) 1 ，故4 1 1 (5 24ba 1ba 1b2a 1b22211. 設(shè) x 為曲線 y 1 (x 0) 與 y ln x 公切線的一個切點橫坐標，且 x 0 ，則滿足 m x 的最小整數(shù)111xm 值為.【命題意圖】本題考查構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)零點等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的

7、基本運算能力.【】23B1D【】設(shè)公切線方程為： y kx b ，切點分別為(x , 1 ), (x , ln x ) ，1x221由 y 1 得： y ；由 y ln x 得： y 1111，所以， k ，xx2x2xx21因為點(x , 1 ), (x , ln x ) 在公切線上，所以b 112 , b ln1 1,12x22x1221 1即，x12 0) ，則h( 0 ，令 h(1x2x11而 h(2) ln 4 2 0, h(e) 1 2 0,e所以 x1 (e, 2) ， x1 2 ，最小整數(shù)m 值為212已知函數(shù) f (x) x2014 ax b,(a,b為常數(shù)），若| f (x

8、) | 在1,1 上最小值為 1 ，則2015a 2b 的值2為.【命題意圖】本題考查不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的基本運算能力.【】1x2y213在平面直角坐標系中，已知橢圓C : 1,設(shè)R(x , y )xOy是橢圓C 上的任一點，從原點O 向00241222圓 R ： x x y y 8作兩條切線，分別交橢圓于點 P ， .若直線OP ，的斜率存在，并記為 ，QOQk100k2 ，則k1k2 .【命題意圖】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生基本運算的能力.【】 1 2| k x y | 21 002 ,化簡得【】因為直線OP ： y k x 與圓 R 相切，所以11

9、 k 21 y2 8 0 ，同理OQ ：y k x 滿足(x2 8)k 2 2x(x2 8)k 2 2x y k y2 8 0 ，所以k , k 是y k212010 0 10020 0 204y2 8方程(x2 8)k 2 2x y k y2 8 0 的兩個不相等的實數(shù)根， k 0 ，因為點 R(x) 在橢圓 C k, y00 0012x2 80004 1 x2x2y21 1 2，即 y 12 x ，所以22 0 10上，所以 02kk 00224121 2x2 8014已知 P 點為圓O 與圓O 公共點，圓O : (x a)2 ( y b)2 b2 ，圓O : (x c)2 ( y d )

10、2 d 2 ，若1212ac 9, a c，則點 P 與直線l ： 3x 4y 25 0 上任意一點M 之間的距離的最小值為.bd【命題意圖】本題考查直線與圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查分析能力及基本運算能力.【】2ac k 則圓O : (x a)2 ( y ka)2 k 2a2 ， a2 2(x 2ky)a (x2 y2 ) 0【】設(shè)1bd圓O : (x c)2 ( y kc)2 k 2c2 ， c2 2(x 2ky)c (x2 y2 ) 02故 a, c 是關(guān)于m 的方程m2 2(x 2ky)m (x2 y2 ) 0 的兩根因此由定理得ac x2 y2 9 ，所以點 P 在圓 x2 y2

11、9 上，其到直線l 距離就是點 P 與直線l 上任意一點 M 之間的距離的最小值，為d | 3 0 4 0 25 | 3 2.5二、解答題 （本大題共 6 小題，共 90 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15（本小題滿分 14 分）已知函數(shù) f (x) a sinx b cosx( 0) 的圖像過點 P( ,6 2 ) 且關(guān)于直線 x 對稱，圖像上相鄰382兩個最高點的距離為 .（）求a,b, 的值；（）若 f ( ) 2 ( 2 7 ) ，求sin 的值.23 36【命題意圖】本題考查三角函數(shù)圖像及性質(zhì)，給值求值等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的運算能力.】（）由于 f (x) a s

12、in x b cosx a2 b2 sin(x ) ，其中tan b ，【a，所以T , 2 2 ，而其圖像上相鄰兩個最高點的距離為2 分2 ) 且關(guān)于直線 x 對稱，又其圖像圖像過點 P( ,86 32532b| f ( 3 ) |a b22a | 2a b|22a 3b 0a 3所以 ，即7分 6 223 1 b 1 6 22a b 2 22 f ( ) a b 8 2 2sin 2x （）由（）得： f 6 21得： sin( ) ) 由 f (2363 23 7 626 1 22 23cos( )= 1 sin2 1 66 3 因此sin sin( ) sin( ) cos cos(

13、) sin 3 2 214 分6616（本小題滿分 14 分）66666如圖，在三棱柱 ABC A1 B1 C1 中， AB BC 2，AC 2AC, BB1 的中點2 ，側(cè)面 ABB1 A1 是矩形， M , N 分別是（）證明： MN / / 面 A1B1C ；（）證明：面 A1B1C 面 BCC1B1 B1C1A1BCM【命題意圖】本題考查線面垂直，線面平行的判定與性質(zhì)等知識，意在考查學(xué)生的空間想象能力、運算求解能力.【】6NB1C1A1BCMA（）證明：取 A1C1的中點 D ，連接 MD 與 A1C 交于點 E ，連接 B1E ,在三棱柱 ABC A1 B1 C1中，因為 M , N

14、, D 分別是 AC, BB1, A1C1 的中點，所以 MD / /BB1，MD BB1所以 ME / /B1N，ME B1N所以四邊形 MEB1N 是平行四邊形,所以MN / / B1E因為 MN 面A1B1C, B1E 面A1B1C ,所以 MN / / 面 A1B1C 7分，所以 AB BC AC ，AB BC, A B222 BC（）因為 AB BC 2，AC 221 1因為側(cè)面 ABB1A1 是矩形，所以 A1B1 BB1又因為 BC BB1 B ,所以 A1B1 面 BCC1B1 而 A1B1 面 A1B1C ，所以面 A1B1C 面 BCC1B1 14 分17（本小題滿分 14

15、 分）某汽車廠有一條價值為a 萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值經(jīng)過市場，產(chǎn)品的增加值 y 萬元與技術(shù)改造投入的 x 萬元之間滿足： y 與(a x) 和 x22am ，其中m 是正常數(shù)若 x a 時， y a3 的乘積成正比； x (0,2m 12（）求產(chǎn)品增加值 y 關(guān)于 x 的表達式；（）求產(chǎn)品增加值 y 的最大值及相應(yīng)的 x 的值【命題意圖】本題考查函數(shù)式、分段函數(shù)最值、二次函數(shù)最值、基本不等式求最值等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生解決實際問題能力及基本的運算能力7DNE18（本小題滿分 16 分）x2y21在 平 面 直 角 坐 標 系 xOy 中，

16、 已 知 橢 圓 C ： 1 (a b 0) 的 離 心 率 e ， 直線 a2b2l : x m y1 0 ( mR 過)橢圓C 的右焦點 F ，且交橢圓C 于 A ， B 兩點2（）求橢圓C 的標準方程；（）過點 A 作垂直于 y 軸的直線l1 ，設(shè)直線l1 與定直線l2：x 4 交于點 P ，試探索當m 變化時，直線BP 是否過定點？【命題意圖】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的位置關(guān)系等知識 ，意在考查學(xué)生的運算求解能力，數(shù)學(xué)綜合論證能力. c 1， c 1，【】（）由題設(shè)，得 c 1 解得從而b2 a2 c2 3 ，,a 2,2 ax2y2 1 所以橢圓C 的標準方程為4 分438（）令m

17、 0 ，則 A(1 3) ， B(1， 3) 或者 A(1， 3) ， B(1 3) ，2222當 A(1 3) ， B(1， 3) 時， P(43) ；直線 BP : y x 5，2222當 A(1， 3) ， B(13) 時， P(4， 3) ，直線 BP : y x+ 5，22225所以，滿足題意的定點只能是( , 0) 設(shè)為 D 點6 分2下面證明 P,B,D 三點共線設(shè) A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，由于 PA 垂直于 y 軸，所以點 P 的縱坐標為 y1 ，從而只要證明 P(4 ，y1) 在直線BD上8 分x my 1 0 ，得(4 3m2 ) y2 6my 9 0

18、 ，由 x2y2 1， 43 144(1 m2 ) 0 ，6m9 y y ， y y 10 分121 24 3m24 3m23 y y (my 3)y2 0 y1 0 y2 y1 21222k kDBDP5553233x2 24 2my2 1 2(my )222y +y 2 my y121 23，13 分 3my22式代入上式，得kDB kDP 0 ，kDB =kDP所以15 分點 P(4 ，y1) 恒在直線 BD 上，從而 P,B,D 三點共線5即直線 BP 恒過定點( 2 , 0) 16 分 19（本題滿分 16 分）數(shù)列a 滿足： a1, a1 a (a1), (n * ) n1n1nn

19、（）求證：數(shù)列an 1 一定不是等比數(shù)列；111（）若+ 2 ，求a2015 4a1 最小值aaa122014【命題意圖】本題考查等比數(shù)列定義，裂項相消求和等基礎(chǔ)知識 ，意在考查學(xué)生的運算求解能力，運用轉(zhuǎn)9化與化歸綜合分析問題解決問題的能力.【】證明：（）假設(shè)數(shù)列an 1 是等比數(shù)列，公比為 an1 1 an (an 1), ， 0) ，an1 1 a ,na 1n an q q 1, a q 1a 1,從而即與q 11假設(shè)不成立，所以數(shù)列an 1 一定不是等比數(shù)列（）因為a1 1 an1 1 an (an 1) 0 an 16 分1111111而 a1 a (a 1) =n1nna1a(a

20、1)a 1aaa 1a1n1nnnnnnn111111111111+ 11 分a1 1a2 1a2 1a3 1a2014 1a2015 1a1 1a2015 1a1a2a2015a 211113=2，a 2 0 得1 a1. 所以2即，且由2015a 1a12a 3a1a 1112015120151a1 2 4a 11 1 2(3 2a ) 11 +21 2(3 2a ) 7a 4a 201512a 3122(3 2a )12(3 2a )12211115472 2(3 2a ), a a 4a當且僅當時取等號，即最小值為16 分2(3 2a )1120151120（本小題滿分 16 分）已知

21、函數(shù) f (x) a1.（）當a 1時，求 f (x) 的單調(diào)區(qū)間；121a (1 ) e nn a n N*都成立.（）求證：當時，對任意的【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)（構(gòu)造函數(shù)）證明不等式等知識 ，意在考查學(xué)生的運算求解能力，綜合論證能力.10 x 1，f (x) ln x，【】（）當a 1時， f (由 f (x) 0 得 x 1 ；由 f (x) 0 得0 x 1；因此 f (x) 的單調(diào)增區(qū)間為(1, ), 單調(diào)減區(qū)間為(0,1)4 分1 e (n a) ln(1 1 ) 1 a 1(1 )nna nln(1 1 )（）nn1)21) ，則 g

22、(0令 g( 1)2x x 1)在(1, ) 上單調(diào)遞增，從而 g(x) g(1) 0因此 g( 12(1 1 1)1)11，令 x 1 ，則ln(1 ) 2n即ln，1 1 1 12n 1nnn1 2n 1 n 11 n 12所以ln(1 1 )2 ， ln(1 1 )2nn1a n1因此當a 時，1恒成立，命題得證16 分ln(1 )n2數(shù)學(xué)附加題部分21.【選做題】（本題包括 A、B、C、D 四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）【選做題】（在 A、B、C、D 四小題中只能選做 2 題）A【選修 41 幾何證

23、明選講】（本小題滿分 10 分）如圖，以 ABC 的邊 AB 為直徑作圓,分別交 AC, BC 于 D, E, ，過點 E 作 EF AB 交 AB 于 F ，且 3，設(shè) BD, AE 交于點 N ，A求證： CNE CDE.11CDENABF【命題意圖】本題考查四點共圓等知識 ，意在考查學(xué)生的推理論證能力.】因為 AB 為圓的直徑，所以AEB 900.【 3，所以 EF 2 A因為 EF AB 3FB2 3，A在EFB 中， tan EBF 600又 A, B, E, D 四點共圓，所以CDE ABE 600又因為CDB CEA 900 ，所以C, D, N, E 四點共圓所以CNE CDE

24、.10 分B【選修 42：矩陣與變換】（本小題滿分 10 分）已知矩陣 M a 0 ，若直線3x y 1 在矩陣 M 對應(yīng)的變換作用下得到直線 x y 5 ，求矩陣 M 的特0 b征值【命題意圖】本題考查矩陣變換、特征值等知識 ，意在考查運算求解能力.y 是直線3x y 1 上任一點，在矩陣 M 對應(yīng)的變換作用下得到對應(yīng)的點為 P x ,y ，】設(shè) P x,【ax x ,a 0 x x 0 b y y ，即則by y , 又 x y 5 ，所以ax by 5 ，也就是直線3x y 1 ，所以 a b 5 , a 15,b 5311 1500 5 0 15或 5 10 分因此C.【選修 44：坐

25、標系與參數(shù)方程】（本小題滿分 10 分）已知極坐標系中， 曲線 C 的極坐標方程為 2 2(cos sin ) 1 0 ， 直線 l 的參數(shù)方程為x 2 t cos , (t為參數(shù)，且 0, ) ，直線 l 與曲線 C 交于兩點 A, B, ，求弦長 AB 取值范圍 y 2 t sin412【命題意圖】本題考查圓的極坐標方程及直線與圓的位置關(guān)系等知識 ，意在考查轉(zhuǎn)化解決問題的能力.【】曲線 C 的普通方程是 x2 y2 2x 2 y 1 (x 1)2 ( y 1)2 3 直線 l 的普通方程是 x sin y cos 2sin 2cos 0 圓心 C 到直線 l 的距離是d sin cos1弦

26、長 AB 2 3 d 2 2 3 sin cos 2 2 2 sin 2 0 , ) 2 0 ,) , si n 2，因0此, 1弦) 長 AB 取值范圍為22, 2 3).10 分42D【選修 45：不等式選講】（本小題滿分 10 分）已知函數(shù)： f (x) | x a | | x 2| ，若不等式 f (x) | a 2 | 的解集為 R ，求實數(shù)a 的取值范圍【命題意圖】本題考查含絕對值不等式等知識 ，意在考查運算求解能力.】因為 f (x) | x a | | x 2| | ( x a) ( x 2)|=| a 2 | 8 分【所以|a 2 | a 2 | 故 a 0 ，實數(shù)a 的取值

27、范圍為0, ). .10 分【必做題】（第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共 20 分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）22.（本小題滿分 10 分）如圖，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 ，底面為正方形，側(cè)棱長與底邊邊長比為 2，點 P 為側(cè)棱CC1 上一點，求直線 AP 與面 A1BC 所成角的正弦值的取值范圍.13 sin cosD1C1A1PCAB【命題意圖】本題主要考查利用空間向量求線面角，意在考查運算求解能力.【】設(shè)底邊邊長為 1，側(cè)棱長為2 ，以 A 為坐標原點， AB 所在直線為 x 軸， AD 所在直線為 y 軸 AA1 所在直線為 z 軸，建立空間直角坐標系，則 P(1,1,t),t 0, 2 ， A1(0, 0, 2), B(1, 0, 0),C(1,1, 0),一個法向量為n (x, y, z),設(shè)面 0y 0n (2, 0,1),n BC 得x 2z 0 ，令 z 1, 則 x 2,則由n BA1 0 所成角的正弦值等于| cos n, AP |(t 2)22 t55|= |所以直線 AP 與面t 222 t2 52(t 2)(t2 2) 2(t 2)2 t(t 2)2(t 2)2 0 得t 1 ，（負根舍去），所以當t 0,1 時， y 令