北京大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院2 極大似然估計

1、疤第襖二盎章 極大似氨然估計笆（MLE）澳第頒0斑節(jié) 叭基礎(chǔ)知識阿回顧：OLS一例子愛假設(shè)一個辦基金的投資組合爸 爸(“爸基金俺 藹XXX”)背的超額回報和股跋市指數(shù)的超額回百報，稗有如下的數(shù)據(jù)跋: 白直覺上辦，芭該基金的板beta( b礙eta 壩測量股票對股市背指數(shù)的反應(yīng)氨)擺應(yīng)該是一個正數(shù)懊，敖我們希望證實(shí)這霸種關(guān)系。芭畫這頒2板個變量的散點(diǎn)圖澳：頒對于昂一條直線，傲可以用以下的方凹程扳,扳來伴擬合數(shù)據(jù)。y=a+bx 柏不過礙這個叭方程搬 扳(y辦=絆a疤+凹bx耙)哎是拔完全確定的鞍，吧與實(shí)際情況不符挨合背。要在這個方程哀里加入一個撓動案項(xiàng)藹。敗y靶t頒 = 般 拜+拜 岸x藹t矮 埃

2、+搬 u藹t跋藹式中奧 骯t吧 = 1,2,昂3,4,5佰用稗直線來擬合數(shù)據(jù)板最常用的方法是半普通最小二乘法暗 (ordin案ary lea佰st squa佰res百，鞍 OLS)昂：阿取每個數(shù)據(jù)點(diǎn)到皚擬合直線的垂直叭距離版，昂選擇參數(shù)癌、哎，扮使得平方距離扮最小化爸 ( leas壩t squar跋es)啊。拌撓動項(xiàng)能夠反映哎數(shù)據(jù)的一些特征拔:我們經(jīng)常會忽叭略一些影響 y白t襖 的因素壩，芭不可能把影響 安y跋t埃的所有的的隨機(jī)氨因素都在模型中擺考慮懊。求解兩個參數(shù)：伴這就是OLS。俺整理得到：暗在翱上班例中，把數(shù)據(jù)代埃入公式得：邦 艾根據(jù)這個結(jié)果，愛如果預(yù)期下一年礙的市場回報將會阿比無風(fēng)險回

3、報高稗20%跋，那么你預(yù)期基挨金襖 XXX 笆的回報將會是多扳少爸? 按二扮概念：線性和非班線性白運(yùn)用壩 OLS, 疤要求耙模型爸對參數(shù)拌(拜 扒和襖 唉 伴)胺是熬線性叭的。般“霸對把參數(shù)線性扳”昂意味著參數(shù)之間白不能乘板、奧除皚、吧平方或埃n白次方礙等。笆在半實(shí)際中變量之間俺的關(guān)系很有可能哀不是線性的。罷某些礙非線性的模型可稗以通過變換轉(zhuǎn)化凹為線性模型，例吧如按指數(shù)回歸模型耙：傲令襖 哀y暗t板=壩ln 岸Y敗t翱 斑及柏 叭x背t襖=ln 絆X柏t啊但是，很多模型按從本質(zhì)上講是非扒線性的，例如：澳三辦OLS的優(yōu)良性襖質(zhì)襖在盎OLS艾回歸模型中，對奧u愛t扒 (般不可捌觀測的誤差項(xiàng)作班如下

4、假設(shè)懊)俺作如下架設(shè)擺:邦襖拜 哀 奧 敖解釋敗熬1. E(岸u暗t熬) = 0背傲扮礙誤差項(xiàng)般的均值為零安白2. Var 疤(愛u俺t按) = 巴2疤安扳誤差項(xiàng)的方差是隘常數(shù)埃頒3. Cov 百(盎u絆i百,頒u笆j扒)=0頒拔扮誤差項(xiàng)半相互獨(dú)立的斑伴4. Cov 靶(背u佰t捌,氨x八t唉)=0俺昂巴誤差項(xiàng)斑和解釋變量不相巴關(guān)鞍以上假設(shè)成立時癌，OLS有如下般三個良好性質(zhì)。一致性礙最捌小二乘估計是一阿致的。艾這扒意味著，當(dāng)樣本瓣數(shù)趨向于無窮大伴時，估計值白將收斂于它們的拜真實(shí)值邦（鞍需要假設(shè)絆 芭E(傲x襖t疤u傲t般)=0 吧和巴 Var(昂u岸t扮)=敗2柏 L(疤)柏，檢驗(yàn)統(tǒng)計量為骯：扮2愛L(巴)-L(俺)絆罷利用顯著性檢驗(yàn)般法和置信區(qū)間法藹可以對原假設(shè)進(jìn)半行檢驗(yàn)。版標(biāo)準(zhǔn)差檢驗(yàn)壩（