74相軌跡西北工業(yè)大學(xué)

1、7-4相軌跡一、相軌跡的概念設(shè)二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述xf(x,x)式中f(x,x)一般是x和丘的非線性函數(shù)。系統(tǒng)的時(shí)域解，可以用x與t的關(guān)系曲線來表示。也可把時(shí)間t作為參變量，x之間的關(guān)系曲線來表示。下面以線性二階系統(tǒng)為例加以說明。設(shè)線性二階系統(tǒng)如圖7-34(a)所示，其單位階躍響應(yīng)及其導(dǎo)數(shù)如圖7-34(b)所示。即可把系統(tǒng)的階躍響應(yīng)用圖7-34(c)所示的x與之間的關(guān)系曲線來描述，由圖可見，線同樣很直觀地表示了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。從某種意義上來說，甚至比x(t)曲線更形象，可獲得更多的信息。顯然，如果把方程Xf(x,X)看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程，用x表示質(zhì)點(diǎn)的位置，那么X就表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

2、速度。用x和x描述方程的解，也就是用質(zhì)點(diǎn)的“狀態(tài)”(位置和速度)來表示該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。在物理學(xué)中，這種不直接用時(shí)間變量而用狀態(tài)變量來描述運(yùn)動(dòng)的方法稱為相空間方法，也稱為狀態(tài)空間法。在自動(dòng)控制理論中，把具有直角坐標(biāo)xx的平面稱為相平面。相平面是二維的狀態(tài)空t的變化n維空間去。間(平面)，相平面上的每個(gè)點(diǎn)對應(yīng)著系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)就稱為相點(diǎn)。相點(diǎn)隨時(shí)間在xx平面上描繪出的軌跡線，表征了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(相)的演變過程，這種軌跡稱為相軌跡。對于二階系統(tǒng)，它的狀態(tài)變量只有兩個(gè)，所以二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可在相平面上表示出來。對于三階系統(tǒng)，它有三個(gè)狀態(tài)變量，必須用三維空間來描述其相跡，這就比較困難了。對于三階以

3、上的系統(tǒng)，要作其相軌跡就更加困難；然而原則上可以將二維空間中表示點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的概念擴(kuò)展到相平面法是一種用圖解求下列兩個(gè)聯(lián)立一階微分方程組的方法。首先把二階常微分運(yùn)動(dòng)方程改寫成兩個(gè)聯(lián)立一階微分方程，令dx1xdt2xf(x,x)xx，1x則有2dxxdx|擊f(Fx2)dt、羅f(x，x)(7-20)用(7-20)式的第一個(gè)方程除第二個(gè)方程，可得dxf(x,x)1dxx(7-21)解(7-21)式就可得相軌跡方程，作出相跡來。為了便于理解，先討論大家比較熟悉的線性二階系統(tǒng)的相軌跡及其特點(diǎn)，以及繪制方法，然后再討論非線性系統(tǒng)。另外，不少非線性元件的特性都可分段用直線來表示，故整個(gè)非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，可以分

4、段用幾個(gè)線性方程來描述。因此，熟悉線性系統(tǒng)的相跡，對討論非線性系統(tǒng)的相跡也是很有好處的。二、線性系統(tǒng)的相軌跡及其特點(diǎn)1、二階線性系統(tǒng)的相軌跡設(shè)系統(tǒng)的微分方程式如下X+2，x+,20nn取XX為相平面坐標(biāo)，上式可寫成為dx(2g,X+,2x)dtnnVdxX、dtdX一(2g，X+,2x)或nndXX(7-23)由時(shí)域分析法討論可知，式(7-22)所示自由運(yùn)動(dòng)形式由特征方程式的根分布特點(diǎn)所決定。主要有以下幾種情況：(1)0的無阻尼等幅振蕩解析法求相軌跡方程：方法，求解微分方程(7-22)(7-22)式得X(t)，將X(t)求導(dǎo)數(shù)得X(t)，最后消去x(t)和X(t)中的中間變量t，即可得相軌跡方

5、程Xf(x)及相軌跡圖。方法，對式7-23)進(jìn)行積分，求出相軌跡方程Xf(x)。這種方法只有當(dāng)方程可以進(jìn)行積分時(shí)才能采用。下面分析用這兩種解析法求相軌跡方程。方法：當(dāng)g0時(shí)，微分方皿722)的解為x(t)Asin(,t+p)n(724)對上式求導(dǎo)數(shù)得X(t)A,cos(，t+Q)nn(725)式中Ax2+X2,2是由初始條件決定的常量。將(724)式左、右兩邊乘以00n，然后平方并與n式(7-25)的平方式相加，即消去t，得相軌跡方程(橢圓方程)：X2X2+1A2A2，2顯然相軌跡是一個(gè)橢圓。方法：當(dāng)0時(shí)，方叮723)式為dx對上式積分，同樣可得相軌跡方程當(dāng)取不同初始值x、x時(shí)，式(00相軌跡

6、隨時(shí)間變化的方向：在軌跡方向自左至右指向x增加方向；在相軌跡方向應(yīng)自右至左指向dx-nxx21A2A2,2nx2727)在相平面上呈現(xiàn)一簇同心橢圓，如圖xX平面的上半平面內(nèi)，xX平面的下半平面內(nèi)，x減小方向。所以相軌跡的方向如圖&)注-1不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)跡垂直地穿過橫坐標(biāo)軸。735（726）（727）a）所示。x0,x隨時(shí)間的增大而增大，所以相X0,x隨時(shí)間的增大而減小，故7-35(a)中箭頭所示。-1?1的過阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)特征根為兩個(gè)負(fù)實(shí)根Pg,土,g211、2nn令q(g,+,g21)nnq=(gro,g21)nn同理，由方程(7-22)可解得相軌跡方程(x+qx)q2C(x+qx)q1(7-29

7、)201式中C由初始條件確定的常數(shù)。方程(7-29)代表了一簇通過坐標(biāo)原點(diǎn)的“拋物線”。當(dāng)給定不同初0始值時(shí)，其相軌跡如圖7-35(c)所示。顯然，坐標(biāo)原點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。圖中1和2為兩條特殊的相軌跡。1g0的負(fù)阻尼發(fā)散振蕩系統(tǒng)特征根為具有正實(shí)部的一對共軛復(fù)數(shù)根，方程(7-22)的解x(t)為發(fā)散振蕩，因此，對應(yīng)的相軌跡是發(fā)散的螺旋線如圖7-35(d)所示。由于隨tT8時(shí)，x(t)fg,X(t)fg，因此相軌跡遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)。顯然坐標(biāo)原點(diǎn)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。(5)g1的單調(diào)發(fā)散運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)特征根為二個(gè)正實(shí)根，其相軌跡如圖7-35(e)所示。同理，坐標(biāo)原點(diǎn)為不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。(6)系統(tǒng)微分

8、方程為系統(tǒng)特征根為實(shí)根土,，由于nndx，2xndxx對上式積分與式(7-26)類同，得相軌跡方程x2A2(7-30)x2A2,2n式中Ax2,2一x2。方程(n07-30)是一簇等邊雙曲線，如圖7-35(f)所示。坐標(biāo)原點(diǎn)為奇點(diǎn)，其附近相軌跡像馬鞍形，故稱這種奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。由圖7-35（f）可見，圖中曲線1和2為兩條特殊的相軌跡。綜上所述，二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式與系統(tǒng)特征根的分布有密切的關(guān)系，不同的特征根分布，對應(yīng)著不同的運(yùn)動(dòng)形式，以及不同的奇點(diǎn)類型。它們的對應(yīng)關(guān)系如圖2、特殊二階線性系統(tǒng)的相軌跡（1）xM7-35所示。系統(tǒng)微分方程分別為由方程可見，系統(tǒng)的兩個(gè)特征根位于dx因?yàn)檫@xx，則有dx平面

9、的坐標(biāo)原點(diǎn)。xdxMdx對上式進(jìn)行積分，得系統(tǒng)的相軌跡方程式中A-x2一MX，相軌跡是一簇拋物線，如圖7-36（a）、（b）、（c）所示。二t：二二11圖一冏特殊二階線性系統(tǒng)的相軌跡（2）Tx+XM由上式可見：系統(tǒng)的兩個(gè)特征根分別為10、一。另外，TxM滿足方程TX+XM，因此，xM為一條相軌跡。dx由于X，將它代入方程dxTx+xM并整理成如下形式dxM一XdxTX顯然上式是系統(tǒng)相軌跡的斜率方程。dX令a,a為常數(shù)，則有等傾線（即等斜率線）方程dXXMTa+1當(dāng)a取不同數(shù)值時(shí)，可獲得不同的等傾線（這里是一簇水平線）當(dāng)ag時(shí)，X0，表明相軌跡垂直穿過T0的條件下）X軸。,X=g，表明相平面無窮

10、遠(yuǎn)處的相軌跡斜率為當(dāng)a0時(shí)，XM，顯然XM既是一條相軌跡又是一條等傾線。因?yàn)橄嘬壽E互不相交，故7-36(d月(e)、(f)和圖736(g)、(h)、(i)所示。其他相軌跡均以此線為漸近線。該系統(tǒng)的相軌跡大致圖形如圖在描述非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的相軌跡中，除了上面所介紹的“奇點(diǎn)”外，還有一種奇線自振。在極限種封閉的相軌跡曲線，通常稱為極限環(huán)。它表示實(shí)際系統(tǒng)具有一種特殊運(yùn)動(dòng)方式環(huán)附近的相軌跡，可能卷向極限環(huán)或從極限環(huán)卷出。因此，極限環(huán)將相平面分隔成內(nèi)外兩個(gè)部分。極限環(huán)內(nèi)部（或外部）的相軌跡，決不可能穿過極限環(huán)而進(jìn)入它的外部（或內(nèi)部）如果在極限環(huán)附近，起始于極限環(huán)外部或內(nèi)部的相軌跡均收斂于該極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為穩(wěn)定極限環(huán)。系統(tǒng)呈現(xiàn)穩(wěn)定的自振，如圖7-37Da所示。*JL,Y|,VAl(c)(a)如果極限環(huán)附近的相軌跡都是從極限環(huán)附近發(fā)散出去，則極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)。這時(shí)，環(huán)內(nèi)為穩(wěn)定區(qū)，環(huán)外為不穩(wěn)定區(qū)。如果相軌跡起始于穩(wěn)定區(qū)內(nèi)，則該相軌跡收斂于極限環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)。但是如果相軌跡起始于不穩(wěn)定區(qū)，則隨著時(shí)間增加，該相軌跡將發(fā)散出去，如圖737(b)所示。如果起始于極限環(huán)外部各點(diǎn)的相軌跡，從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡卻收斂于極限環(huán)，如圖737(c)所示?；蛳喾?，如圖737(d)所示，則這種極限環(huán)稱為半穩(wěn)定