D第四章 微分方程

1、第四章微分方程 積分問題 微分方程問題 推廣 4.1 微分方程的基本概念 微分方程的基本概念引例 幾何問題物理問題案例1. 一曲線通過點(1,2) ,在該曲線上任意點處的解: 設所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,因此所求曲線方程為由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 . 一、 引出微分方程的兩個實例引例2. 列車在平直路上以的速度行駛, 制動時獲得加速度求制動后列車的運動規(guī)律.解: 設列車在制動后 t 秒行駛了s 米 ,已知由前一式兩次積分, 可得利用后兩式可得因此所求運動規(guī)律為說明: 利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住

2、, 以及制動后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .常微分方程偏微分方程定義1 含未知函數(shù)及其導數(shù)的方程叫做微分方程 .定義2 方程中所含未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階。(本章內(nèi)容)二、微分方程的基本概念分類例1 如 (一階)(一階)(二階)(一階)引例2 使方程成為恒等式的函數(shù).通解 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1 通解:特解:定義3 微分方程的解 不含任意常數(shù)的解, 初始條件 其圖形稱為積分曲線.例1. 驗證函數(shù)是微分方程的解,的特解 . 解: 這說明是方程的解 . 是兩個獨立的任意

3、常數(shù),利用初始條件易得: 故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件 內(nèi)容小結(jié) 微分方程的概念微分方程;定解條件;說明: 通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一個解 .例如, 方程解; 階;通解;特解 y = x 及 y = C 一、可分離變量微分方程 4.2 可分離變量的微分方程 與齊次微分方程一般形式 解法:（1）分離變量（2）兩邊積分得 （其中 分別是 的一個原函數(shù)）以上這種求解過程叫做分離變量法。例1. 求微分方程的通解.解: 分離變量，得兩邊積分，得得( C 為任意常數(shù) )故原方程的通解為 注意： 這說明微分方程的通解并不是微分方程的所有解。也是該微分方程的

4、解，但不是通解。例2. 求微分方程的通解.解: 分離變量得兩邊積分得即( C 為任意常數(shù) )或說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 )例3. 解初值問題解: 分離變量得兩邊積分得即由初始條件得 C = 1,( C 為任意常數(shù) )故所求特解為練習:解: 分離變量即( C 0 )二、齊次微分方程 一般形式 要解該方程，可作變量代換： 即 將代入方程，得 分離變量，得 兩邊積分，得 求出積分后，再用代替u，便得齊次方程的解 例4 求微分方程 的通解。 令 即 將其代入方程，得 分離變量，得 兩邊積分，得 代入，便得原方程的通解： 解：

5、原方程可變形為 它是齊次方程。 即 將 例5 求方程 的通解。 令 即將其代入方程，得 分離變量，得 兩邊積分，得 解：原方程可變形為 它是齊次方程。 即 將 代入得原方程的通解： 4.3 一階線性微分方程一般形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 稱為一階線性非齊次方程 .稱為一階線性齊次方程 ;如 方程 都是一階線性微分方程，其中 (2) 是齊次的，(1) (3) 是非齊次的。4.3 一階線性微分方程1. 解齊次方程解法：分離變量兩邊積分得故通解為下面來研究這類方程的解法：該方程的本質(zhì)是可分離變量的微分方程。齊次方程通解非齊次方程特解2. 解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即

6、即作變換求得 一階線性方程解法： 方法1 用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式 (1)先求出對應的齊次線性方程的通解； (2)根據(jù)所求出的齊次方程的通解設出非齊次線性方程的解（將齊次方程的通解中的任意常數(shù) 設為待定函數(shù) 即可）(3)將所設解代入非齊次線性方程，求出 ，即可寫出非齊次線性方程的通解。例1求方程 的通解。 分離變量，得 兩邊積分，得 解法1 原方程可變?yōu)?即 它是一階線性非齊次方程,它對應的齊次方程為 即 所以齊次方程的通解為 .( C 為任意常數(shù) ) .則設 為非齊次方程的解,將其代入方程得 于是 即 所以原方程的通解為 （ 為任意常數(shù)) .將其代入通解公式 解法2 原方程中例2 求

7、方程 的通解。解：原方程可化為以 為自變量， 為因變量的 一階線性非齊次微分方程先求它對應的齊次方程 的通解為 再設 為非齊次方程的解，將其帶入得 于是 則 所以原方程的通解為 （C 為任意常數(shù) ）例3. 設河邊點 O 的正對岸為點 A , 河寬 OA = h, 一鴨子從點 A 游向點為平行直線,游動方向始終朝著點O ,提示: 如圖所示建立坐標系. 設時刻t 鴨子位于點P (x, y) ,設鴨子(在靜水中)的游速大小為b求鴨子游動的軌跡方程 . O ,水流速度大小為 a ,兩岸 則則鴨子游速 b 為且鴨子定解條件由此得微分方程即鴨子的實際運動速度為( 只要求出此初值問題即可 )( 齊次方程 )

8、4.4 可降階的二階微分方程一、 型方程這種方程只須逐次積分2次即可求得其通解.例1 求 的通解.解 逐次積分得這就是所求的通解二、不顯含未知函數(shù)的方程形如的方程的一個特點是不顯含未知函數(shù)y.若作變換則原方程可化為一個關(guān)于變量x,p的一階微分方程若上式可解,設通解為 ,則有積分便得通解解 令代入方程并分離變量得積分，得再積分,得所求特解為三、不顯含自變量的方程形如的方程的一個特點是不顯含自變量x可設 ，把p當作新的未知函數(shù)，把y當作自變量代入方程有如果此微分方程是可解的，設其通解為分離變量后再積分，便得方程的通解解：此方程不顯含自變量x,令 ，則代入原方程得例3 求方程 的通解。 得與由 得

9、得原方程的通解為故由 得到的解包含 于之中。由 得分離變量并積分， 當取 時， 4.5 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程的一般形式它對應的二階線性齊次微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程定義1:是定義在區(qū)間 I 上的 n 個函數(shù),使得則稱這 n個函數(shù)在 I 上線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān).例如， 在( , )上都有故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān)。若存在不全為 0 的常數(shù)4.5.1 二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)兩個函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為 0 的使( 無妨設線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個恒為 0, 則必線性相關(guān)定理1（二階齊次線性微分方程解

10、的疊加原理） 如果y1 , y2是二階齊次線性微分方程 的兩個解,則它們的線性組合也是方程的解； 且當 y1 , y2 線性無關(guān)時，為方程的通解，其中C1,C2是任意常數(shù)是二階非齊次方程的一個特解, Y (x) 是相應齊次方程的通解,定理 2. （非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)） 則是非齊次方程的通解 .證: 將代入方程左端, 得一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程其中p，q是常數(shù)考慮二階常系數(shù)齊次線性方程由于指數(shù)函數(shù)求導后仍為指數(shù)函數(shù),利用這個性質(zhì)，假設二階常系數(shù)齊次方程具有形如 的解,將 代入方程使得 4.5.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 由于 成立當且僅當從而 是 的解的充要條件為r是代數(shù)

11、方程 的根 方程 稱為 的特征方程，其根稱為 的特征根分三種情形來考慮:(1)如果特征方程 有兩個相異實根r1與r2, 根據(jù)定理1，此時方程 的通解為這時可得方程的兩個線性無關(guān)的解(2)如果特征方程 有重根，這時可得到方程的一個解，可以再求一個與之線性無關(guān)的解,因此方程 的通解為(3)如果特征方程 有共軛復根 則方程有兩個線性無關(guān)的解為了得到實值解,利用歐拉(Euler)公式將y1與y2 分別寫成由齊次線性微分方程解的疊加原理知也是方程 的解,顯然它們是線性無關(guān)的.于是方程的通解為實根 特 征 根通 解 由上述討論，求方程 的通解的步驟為： (1)寫出微分方程的特征方程 (2)求出特征根 ，

12、(3)根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。 以上求解的方法稱為特征方程法.例1 試求方程 的通解.解 特征方程 具有兩個不同的實根因此, 和 構(gòu)成原方程的基本解組.原方程的通解為例2 求微分方程 的通解它具有共軛復根解 特征方程為因此所求方程的通解為例3 求微分方程 特征根為解 原方程的特征方程為則所求方程的通解為滿足初始條件的特解. 由 得又因為 從而 故所求方程的特解為 由 得4.5.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程由定理已知二階常系數(shù)非齊次線性方程(其中p,q是常數(shù),f(x)是已知的連續(xù))的通解是它的一個特解與它所對應的齊次線性方程的通解之和而方程 的通解問題在上面已經(jīng)完全解決了.因此,求方程 的通解關(guān)鍵是求出它的一個特解y*.本書只討論 的情形，這里是常數(shù), 是m次多項式。這時方程具有形如的特解，其中 是與同次的特定多項式，是特征方程的重根依次取0,1或2. 這種求通解的方法稱為“特定系數(shù)法”而k按不是特征方程的根,是特征方程的單根或者例4 試求方程 的通解.解：（1）求方程 的通解；因為它的特征