靈活處理課本例(習(xí))題培養(yǎng)學(xué)生思維能力匯總

1、靈活處理課本例（習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生思維能力 廣東兩陽(yáng)中學(xué) 周杏伙摘要:培養(yǎng)學(xué)生思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，如何能實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)靈活處 理認(rèn)真研究課本的例（習(xí)題,挖掘并掌握其中豐富內(nèi)涵，是一種行之有效辦法,其對(duì)培 養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性、廣闊性都有 很大作用.關(guān)鍵詞:思維能力課本例（習(xí)題例（習(xí)題是教材的重要組成部分，這些例（習(xí)題是編者從茫茫題海中經(jīng)過反復(fù)篩 選、精心選擇出來的，是學(xué)生掌握雙基的重要來源，也是教師傳授知識(shí)的紐帶，它蘊(yùn)含 著豐富的教學(xué)功能，處理好例（習(xí)題的教學(xué)，對(duì)教學(xué)質(zhì)量大面積的提高、學(xué)生智力的 發(fā)展、思維品質(zhì)的培養(yǎng)都是至關(guān)重要、引申拓廣，培養(yǎng)思維的發(fā)散性教學(xué)中，若對(duì)一些

2、典型的例、習(xí)題進(jìn)行變式處理，如改變?cè)}的條 件、結(jié)論、方 法或逆向思維、反例分析等，即可以在演變多解過程中，使得學(xué)生在知識(shí)及方法的縱 橫方向分別得以拓廣和延伸，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā) 散性思維例1數(shù)學(xué)必修P122第3題證明:對(duì)任意a,b,c,d R ,恒有不等式（ac+bd 2 (a2+b 2 (c2+d 2 (1先讓學(xué)生推證，發(fā)現(xiàn)他們用比較法、綜合法、反證法、放縮法都可以得到證明此時(shí)進(jìn)一步追問：能否有更新穎的證法呢？引導(dǎo)學(xué)生抓住“ a 2+b 2、” “ c 2+d 2、” “ ac +bd的結(jié)構(gòu)特征，因此可考慮用構(gòu) 造法證明證法1 （向量法構(gòu)造向量 u =(a, b, v=(c, d, u構(gòu)造向量

3、u =(a, b, v=(c, d, u-v =|u其中OsO為向量u與v夾角貝U ac +bd a +b c +d cos 0,(ac+bd 2=(a2+b 2(c2+d 2 cos2 0|AB|及|OA|+|OB|OC|,不等式迅速得證.由解法一不少學(xué)生都 能發(fā)現(xiàn)a與b , c與d可交換位置.變 1求證:(a2+b 2(c2+d 2 (ad+bc 2變2式兩邊開方可否？求證:a +b c +d |ad+bd變3式右邊去掉絕對(duì)值可否？求證:a +b c +d acd對(duì)于式能否有更深刻的變化呢？將不等式字母分別排序，得(a12+a 22(b12+b22 (a1 b1+a 2 b2(通過分析知道

4、，可以按字母增加的方向演變.變 4設(shè) a 1、a 2、a 3、b 1、b2、b3 R ,求證:(a12+a 22+a 32(b12+b 22+b 32寸J(a1 b1+a 2 b2+a 3 b3此時(shí)，利用學(xué)生的連續(xù)思維所產(chǎn)生的思維慣性，教師 因勢(shì)利導(dǎo)，把問題推廣推廣設(shè) a i ,b i R(i=1,2, n ,則(a12+a 22+,+a n 2 (b12+b 22+,+b n 2(a1 b1+a 2 b2+,+a n bn 2(當(dāng)且僅當(dāng)a i =k b i時(shí)，取“ =號(hào)這是一個(gè)重要的定理，叫柯西不等式.不等式、即柯西不等式當(dāng)n =2和n =3時(shí)的特例.如此層層推進(jìn)，使結(jié)論更加完美,更具有普遍

5、性上述對(duì)原題從不同角度進(jìn)行演變和多解，這樣從一題多變到一題多解，使知識(shí)橫 向聯(lián)系，縱向深入，拓寬了學(xué)生的思路，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā) 散思維二、融會(huì)貫通，培養(yǎng)思維的靈活性數(shù)學(xué)中有很多知識(shí)是相互聯(lián)系的，現(xiàn)行新教材特別注意用聯(lián)系的觀 點(diǎn)處理問題, 課本中例、習(xí)題為我們提供了充足的素材和廣闊的空間.因此,在教學(xué)中充分利用課 本例、習(xí)題之間相互聯(lián)系、互相作用、互相 影響這一規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生串通教材，做到 融會(huì)貫通，開闊學(xué)生的視野，增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性.如研究空間面面關(guān)系，線面關(guān)系,線線關(guān)系時(shí)經(jīng)常要用到轉(zhuǎn)化思想方法來解題，通 常有關(guān)線面平行、垂直的問題可轉(zhuǎn)化為線線平行、垂直的問題,而有關(guān)面面平行、垂直的問題可轉(zhuǎn)化

6、為線面平行、垂直的問題.U例2數(shù)學(xué)必修P72例3, AB為。O的直徑,PA垂直于。O所在 的平面,C 是圓周上不同于 A , B任意一點(diǎn),求證：平面PAC丄平面PBC.證明:PA丄平面今PA丄BCAC1BCBC平面ABCPAC丄平面PBC這是一個(gè)典型的通過線線垂直去證線面垂直再去證面面垂直的例 子，這樣 解剖一例串通一片，揭示了問題的本質(zhì)，勾通了內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生學(xué)過的知識(shí)結(jié)構(gòu)化， 系統(tǒng)化，學(xué)生的思維靈活性得到有效激活.三、揭示規(guī)律，培養(yǎng)思維的深刻性有些例、習(xí)題蘊(yùn)含著解題思路或方法上的規(guī)律性，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去分析、歸 納、挖掘、提煉，以總結(jié)出這些規(guī)律，并使學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)，牢固掌握，能用于解

7、類似的 問題,這有利于提高學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性例3數(shù)學(xué)必修練習(xí)：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和是S n =5n 2+3n求它的前3項(xiàng)并求它 的通項(xiàng)公式.多數(shù)學(xué)生解為：T S仁a仁8, S2=a 1+a 2=26-a 2=S 2_a 1=18, d=a 2-a 1=10, a3=a 2+d =28, a n =10n -2,教學(xué)不應(yīng)就此結(jié)束，可繼續(xù)設(shè)問：若等差數(shù)列這個(gè)條件去掉，應(yīng)該怎樣求a n?”經(jīng)過總結(jié)歸納，可以發(fā)現(xiàn)：BC丄平面PACBC平面PBC US 1 (n =1 S n -S n1 (n 2就可求出/ S n =a 1+a 2+,+a n S n-1=a 1+a 2+,+a n-1, a n

8、=S n -S n-1,這實(shí)際上就得到了有價(jià)值的通法了 ，即:凡是已知S n ,抓住S n與a n的關(guān)系a n =an學(xué)生掌握了此規(guī)律，以后處理類似問題就不費(fèi)周折了.再進(jìn)一步推廣、深化例3:S n是數(shù)列an 的前n項(xiàng)的和，若對(duì)任何自然數(shù)n,S n =an 2+bn(a b R且ab工可以證明數(shù)列an 是公差為2a的等 差數(shù)列. 再進(jìn)一步追問 若S n =an 2+c(c工數(shù)列an 是等差數(shù)列嗎？為什么？如此層層深入思考，分析歸納，不斷深化，有效地訓(xùn)練和培養(yǎng)了學(xué) 生思維的深刻 性.四、標(biāo)新立異，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性例、習(xí)題教學(xué)中，在學(xué)生掌握基本方法的同時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)新 活的思維情境, 激勵(lì)學(xué)生不

9、依常規(guī)、不受教材與教師傳授的方法的束縛，引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位 地思考問題，鼓勵(lì)學(xué)生標(biāo)新立異、探究新解，達(dá)到開拓學(xué)生思維、鍛煉學(xué)生思維創(chuàng)造 的目的.例4數(shù)學(xué)必修P111例7,已知A (-1, -1 , B (1,3 , C(2,5試判斷A、B、C三 點(diǎn)之間的位置關(guān)系.這是一道基本題，但應(yīng)要求學(xué)生盡可能多地進(jìn)行多方位、多層 次的聯(lián)系，尋求不同解法，如一些學(xué)生僅想到一些常規(guī)解法：(1證明|AB|+|BC|=|AC|; (2證明點(diǎn)B在直線AC上;(3證明直線AB、AC的方程相同或斜率相等而有一些同學(xué)，聯(lián)想寬廣深刻，不 但有上述解法，還得到了如下的非常規(guī)解法；(4)證明點(diǎn)C到直線AB的距離為0； (5

10、)證明 ABC的面積等于零；(6)證明點(diǎn)B是有向 線段AC的一個(gè)定比 分點(diǎn)，顯然后者的解法較之于前者，更難想到，更獨(dú)到，因而更具有創(chuàng)新性，有利于培養(yǎng)思維的廣泛性、創(chuàng)造性。五、聯(lián)想轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)思維的廣闊性 數(shù)學(xué)是一個(gè)具有內(nèi)在聯(lián)系的有機(jī)整體，各不同分支，不同部分，都是相互聯(lián)系、相互滲透的，解題方法、解題思路更是如此，因而，在課本例、習(xí)題的教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地教給學(xué)生類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化的方法，以 提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，促 進(jìn)知識(shí)的正向遷移，培養(yǎng)思維 的廣闊性。例5舊教材立體幾何P70第4題： 棱臺(tái)的上、下底面的面積各 是Q/和Q，求證：這個(gè)棱臺(tái)的高和截得這個(gè)棱臺(tái)的 原棱錐的高的比是Q- QQ。

11、Q證明此題后，要學(xué)生進(jìn)行類比聯(lián)系：即若把其中的 棱臺(tái)”換為 圓臺(tái)”，則有怎樣的結(jié)論？學(xué)生經(jīng)過類比聯(lián)想，可得結(jié)論：圓臺(tái)的上、下 底面的面積各是Q/和Q,那么這個(gè)圓臺(tái)的高和截得這個(gè)圓臺(tái)的原圓錐的高之比是Q- QQ。 ” C對(duì)于剛解決的問題，或者是熟知的問題，弓I導(dǎo)學(xué)生橫向思 考，類比 聯(lián)想，?？色@得某些問題的解題思考或新穎的結(jié)論。例6舊教材代數(shù)下冊(cè)P17例7已知a,b,m R+,并且avb,求證：a+ m a b b+ m 6教材上是用 分析法”證的，如果就此結(jié)束，效果不大，實(shí)際上，它內(nèi)蘊(yùn)著豐富的教學(xué)價(jià)值，如引導(dǎo)學(xué)生巧妙聯(lián)想，靈活轉(zhuǎn)換，構(gòu)造函數(shù)來證，則很富有意趣。(x+ b+ (a-b a+ x a-b = = 1 + 證明：令 f (x)= b+x x + b b + x / a bv 0,. f(x 在0, + 上為增函數(shù)， I m0,二f(m f(0 a+ m a 即 b b+ m 這樣的教學(xué) 就使學(xué)生不再把函數(shù)與不等式割裂開來，而是融合為一個(gè)有機(jī)的整體，以后處理有關(guān)問題時(shí)將能迅速遷移，另如例 1巧妙地利用了數(shù)形轉(zhuǎn)換解題的思想方法，這 些都有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊 性、創(chuàng)造性。綜上所述，課本是教學(xué)之本，深挖 教材的潛力