高考數(shù)學(xué)突破滿分秒殺壓軸系列1-8

1、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)專題 1 三角函數(shù)圖像與性質(zhì)第一講 正弦函數(shù) y sinx 與 y Asinx的圖像性質(zhì)關(guān)系y sin y Asinxx周期 定義域 R R最大值 1，當(dāng)x 取得 ，當(dāng)2 22 x 取得 2最小值 -，當(dāng)x2 取得2A，當(dāng)2 x 取得 2 2 ,2單調(diào)增區(qū)間 2 2 2k 2k 2 2, 2 ,2單調(diào)減區(qū)間 2 2 2 2k 2 2 , 對稱軸x 2x 2 對稱中心 ,0 ,0 類比于研究 y sinx 的性質(zhì)，只需將 y Asinx 中的 x 看成 ysin x 中的 x，但在求y Asinx的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意 A 和的符號，通過

2、誘導(dǎo)公式先將化為正數(shù)研究函數(shù)y A x， y Atanx的性質(zhì)的方法與其類似，也是類比、轉(zhuǎn)化 【例1】函數(shù) y 2sin3x 6 ，xR的最小正周期是（ ）p p C3p D3 3 2【解析】T ，故選 B. 3 x 【例2】函數(shù) f x 3 6 的最小正周期為（ ） Cp D 2p3 3 【解析】T 3 ，故選A1學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù) 【例3】已知函數(shù) sin 4y A x（ 0）的最小正周期為 ，則函數(shù) f(x)的圖象（ ）關(guān)于直線xp= 對稱 B關(guān)于直線4xp= 對稱8關(guān)于點( ,4對稱 D關(guān)于點( ,8對稱 【解析】由函數(shù) y Asinx 4 0的最

3、小正周期為T2 求得=2，y Asin 2x 4由于當(dāng)2k 2x k （x 1 （ 8x 對稱，8故選B 【例4】設(shè)函數(shù) f x Asinx（ A0， 0，小正周期為 ，則（ ） ）的圖象關(guān)于直線2 2x2p= 對稱，它的最3 1 f(x)的圖象過點 2B f(x)在 , 12 3 上是減函數(shù) f(x)的一個對稱中心是 ,0 12 D f(x)的一個對稱中心是 ,0 6 【解析】由題意可得T2 ， 2 ，可得 y Asinx 再由函數(shù)關(guān)于x 對稱，故3 k k 2 2 ，取 ，故函數(shù) y Asin2x k3 2 6 6 6 2k 2k 2 , 2根據(jù)公式 可求得函數(shù)的減區(qū)間為k ，k ，B 錯

4、，由于A 不確定， 6 3k 故選項A 不正確對稱中心為 ,0 k ，即 ,0 2 12，k 1時，選項 C正確選項 D 不正確 【例5】函數(shù) y 2sin2x 在 , 6 2 2上對稱軸的條數(shù)為（ ）1 2 C3 D0 【解析】 y 2sin2x 4 ， x ，函數(shù)的對稱軸為：x k 0，x k 2 2 6 3故選B.【例6】函數(shù) y 2sin(3x )的圖象中兩條相鄰對稱軸之間的距離是 4【解析】兩條相鄰對稱軸之間有半個周期，即T 1 2 2 32學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)【例7同時具有以下性質(zhì)：最小正周期是 ；圖象關(guān)于直線則這個函數(shù)是（ ）x p= 對稱；在

5、 , 3 6 3上是增函數(shù)， xA y sin 2 6 B y 2x 3 C y sin 2x 6 xD y 2 6 【解析】T2 k k 求得=2 AD B x ,當(dāng)k 時，x= ， 2 6 3單調(diào)增區(qū)間為 2k 2k 2 , k ,k 3 6，不能滿足題意，C選項中對稱軸為直線xk+ k 2 + ，當(dāng)k 0， 2 3x ，單增區(qū)間為3 2k 2k 2 , 2 , k k 3 3 . 【例8】函數(shù) sin2 6 y x 的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） 5 2 , 2 B k k k Z 2k , 2k k Z 6 3 3 6 , k k k Z 6 3 D k , k k Z 3 6 【解析】 si

6、n2 sin2 y x x 6 6 ，根據(jù)題意，只需求出 sin2 的單調(diào)減區(qū)間即可. 6 y x【例9】已知函數(shù) y Ax A0 的一段圖象如下圖所示，求函數(shù)的解析式【解析】 2-2 A2圖中已知的兩點為x ，1x22 2 2 8 故可聯(lián)立方程組 43 2 8； y 2sin(2x 482038【例10已知函數(shù) y Ax)1 ，則該函數(shù)的解析式是（ ）2x 912x 9C1 y 2sin( x ) B3 61 y sin(3x ) 2 6 1 y sin(3x ) 2 6 1 y sin(3x ) 2 6【解析】由題意可知，最大值為12，最小值為1 ，故21A ，已知的兩點為2x ，1x ，

7、故可聯(lián)立方程組2 2 3 9 6 4 2 9 1 y sin(3x ) 選B. 2 63學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù) 【例】已知函數(shù) f(x)2sin(2x )，求 f(x)在 0, 6 2上的最大值和最小值【解析】x1 0 ， 12x2 2 ， 6x3 ， x43 2 ， 3 則區(qū)間 0, 2包含 x ，最大值為2，在 0, 2 6 6 單調(diào)遞增，在 , 6 2單調(diào)遞 （如 f( ) 2sin( ) 12 6圖）.【例12】若函數(shù) f(x)2sin(x )，且fa)=2，fb)=0， 的最小值是3增區(qū)間是（ ）p2，則 f(x)的單調(diào)遞 k , k k Z 12

8、12 B , k k k Z 3 6 2k , 2k k Z 3 3 5D 2k , 2k k Z 6 6 【解析】由題意可知，最大值為2，最小值為2，已知的兩點為x ，1x ，故可聯(lián)立方程組2 2 3 2 1 2 3 故單調(diào)增區(qū)間為 2 5 ,2 ： y 2sin(x ) k k 3 6 6選 D. 【例13（）若函數(shù) f(x)3cos(x)對任意的 , ( ) ( )，則 ) 6 6 6x R f x f x f( 等于（ ）3 0 C3 D3f (p ) 1t f t f = - m ） （2 f(x)2cos(x)mt都有 ) ( )4 81 3 C3或1 D1或3定理：f a x f

9、 bx f x關(guān)于直線xa b ab ab 對稱；f axf bxfx關(guān)于點 ,0 2 2 對稱【解析】（）由題意可得： f)關(guān)于直線 x 對稱；故 3f ，選D. 6 6 （2）由題意可得：f)關(guān)于直線 對稱；故 2 1 3，m1，選C.x f m m8 8【例14】設(shè)函數(shù) f x Asinx , 是常數(shù)， 0若fx在區(qū)間1 ,1 3 上具有單調(diào)性，且f f 2 f(0) 3，則下列有關(guān) f x的命題正確的有 f x的最小周期為； 1x= 是 f x的對稱軸；34學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù) 5 f x在1, 3上具有單調(diào)性； y f x 5為奇函數(shù) 6f f x

10、 02 1【解析】 3 3f f 2 5= 1 ,0為對稱軸， 3 6 f x f x 5為對稱中心；故正確， 6表示將 y f x向左移56個單位，即關(guān)于原點對稱，故正確，由于 y f x在區(qū)間 1 , 1 3 上具有單調(diào) 1 2 性，故根據(jù)對稱原理可得正確； 3 T 5 66 2，故正確；答案為.第二講 正弦函數(shù)的平移和伸縮變換函數(shù) y Ax)的圖象可以通過下列兩種方式得到：1橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍圖象左移 1. y sinx y sin(x ) y x)縱坐標(biāo)伸長為原來的A倍 y A x )1 橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍 圖象左移2. y sinx y sin( x) y x)縱坐標(biāo)伸長為原

11、來的A倍 y A x )關(guān)鍵：把握先移后縮和先縮后移的區(qū)別類比可以得到： y Ax)， y Ax)的圖像 定理： sin( ) sin( ) （注意平移方向） 1 2 y A x y A x 則平移單位為 2 1【例15】要得到 y cos(2x )的圖象, 且使平移的距離最短, 則需將 y cos2x的圖象向 方向4平移 個單位即可得到.【解析】 2,此題為先縮后移，故需將 y 2x的圖象向右方向平移8個單位. 【例16】將函數(shù) sin2 f x x 的圖象經(jīng)過怎樣的平移所得圖象關(guān)于點( ,0)中心對稱（ ） 3 向右平移12向右平移6C向左平移12D向左平移6 法一： sin2 的對稱中心

12、橫坐標(biāo)為f x x 3xk k =0時， 2 6x 6移12 個單位，即可所得圖象關(guān)于點 ,0 中心對稱. ( ) sin 2 f x x 的圖象關(guān)于點 ,0 3 得：xk k 2 3 ，k 0時， ，故往右移2 2 6 12 12 12個單位即可.【例172019天津 f(x) AxA0， 0，|) f(x)的最小正周5學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)期為 ，將 y f(x) 的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 ，則 (3)（ ）g(x)若g( ) 2 f4 82 2 2 D2【解析】因為 f x是奇函數(shù)，所以，又 f x的最小正周期為 ，則 ，得，則f x Asi

13、n2x y f x的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 的函數(shù)為gx，則gx Asinx，若 2g 4，則 2 g Asin A 2 4 4 2，即 A2，則f x 2sin2x，則 2sin2 2sin 2 2 2f 8 8 4 2，故選C.【例18】函數(shù) y 2sin2 x2cosx3的最大值是（ ）1 12C1- D52【解析】2y 2 x x 2 x x x 1 1 12sin 2cos 3 2cos 2cos 1 2 cos . 2 2 2函數(shù)1y x x 的最大值是- 故選 2sin 2cos 322【例19】若關(guān)于x的方程sin2 xasinx40在區(qū)間0,有兩個不相等的實根，則

14、實數(shù)a的取值范圍為（ ）a4或a 4 5a4 Ca5 Da4【解析】 x0,，故sinx 0,，設(shè)t sinx，則t 0，1，則方程sin xasinx40等價為2t2 at 40當(dāng)t 0t 0 4at t 1，t0,1 f t t t在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞減，即a5，由于有兩個不同的解，故a5時只有一解，故a5.【例20】已知 x ， ，求函數(shù) y (sinxx 的最大值和最小值. 4 2 【解析】y (sinxx sinxcosxsinxx1 sin cos 2sin 4x x t x x ， ， 4 2故t0, 2 ，sinxcosxt2 1 t 1 t 1 12 2 ，即 ，t0, 2

15、，故函數(shù)的y f t t 1 t t22 2 2 2 2最大值為 f 232 2 1 ，最小值為 f 0 .2 2【例21】函數(shù) y sin2 x2cosx在區(qū)間 2 , p a 3 上的值域為1- ，2，則 的范圍是（ ）46學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)A 2 2 , 3 3 2 2B , 3 3 C 2 0, 3 2 D 0, 3 【解析】 y sin x2cosx x2cosx1 x1 2，此函數(shù)在區(qū)間2 22 , 3 上的值域為 1,2 .4并且x能夠取得最大值 1 2 0 2 1x x ， 3 4 31 為 ，所以 的取值范圍是 ， 24 3 0, 3 ；

16、故選Csinx【例22】求 y x0,2sinx值域【解析】y sinx 2sinx2 2 12sinx 2sinx 2sinx，x0, ，sinx0，故2 2 ,12 sinx 3 ，則sinxy x 2sinx0,值域為 10, 3.【例23】求函數(shù) ysinx1cosx2的最大值和最小值sinx1x2表示過點線 的 斜 率 ， 令 直 線 方 程 為 y1kx2 ， 原 點 到 直 線 的 的 距 離 為2k 1 413 2 4 00 k k kk 12 3sinx1y 的最大值為 cosx243值為0.法二：利用輔助角公式： asinxbx a b sin x 計算，2 2sinx1

17、2y1y sinx yx 2y 1 1 y sin x 2y 1 1 1，解得： 2 x2 1 y2 40 y . 37學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)達標(biāo)訓(xùn)練1（2019新課標(biāo)）若x ， 1 4x2 是函數(shù) f(x)sinx 0)兩個相鄰的極值點，則 （ ）42 32C1 D122（2019新課標(biāo)）下列函數(shù)中，以2為周期且在區(qū)間(4， )2單調(diào)遞增的是（ ） f(x)|cos2x| f(x)|sin2x| f(x)|x| Df(x)sin|x|3（2019新課標(biāo) f(x)x 0) f(x)在0，有且僅有 55結(jié)論： f(x)在(0,2)有且僅有3 個極大值點 f(x)

18、在(0,2)有且僅有2 個極小值點 f(x)在(0, )10單調(diào)遞增 的取值范圍是5，2910)其中所有正確結(jié)論的編號是（ ） B C 4（2018新課標(biāo)）函數(shù)4tanxf (x)1tan x22的最小正周期為（ ）C D5（2018新課標(biāo)）已知函數(shù) f(x)2cos2 xsin2 x2，則（ ） f(x)的最小正周期為 ，最大值為 3 B f(x)的最小正周期為 ，最大值為 4 f(x)的最小正周期為 ，最大值為3 D f(x)的最小正周期為 ，最大值為 46（2017新課標(biāo)）函數(shù) f(x)sin(2x )的最小正周期為（ ）3 C D27（2017山東）函數(shù) y 3sin2xcos2x的最

19、小正周期為（ ）23C D8（2017新課標(biāo)）設(shè)函數(shù) f(x)cos(x )，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）3 f(x)的一個周期為 B y f(x)的圖象關(guān)于直線 8x 對稱3 f(x)的一個零點為x D f(x)在( 6 2，)單調(diào)遞減9（2017天津 f(x)2sin(x)，xR 0，| f ， )0( ) 2 f8 88學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)f(x)的最小正周期大于 ，則（ ） 2 2 11 ， B ， 3 12 3 1 11 1 ， D ， 3 32410（2016新課標(biāo)）若將函數(shù) y 2sin2x的圖象向左平移12個單位長度，則平移后的圖象的對稱軸為（

20、） k k x (kZ) Bx (kZ) 2 6 2 6 k k x (kZ) Dx (kZ) 2 12 2 12（2016新課標(biāo) f(x)x 0| )，x2 為 f(x)的零點，x4 為 y f(x)4圖象的對稱軸，且 f(x)在(，)上單調(diào)，則 的最大值為（ ）11 9 C7 D512（2015新課標(biāo)）函數(shù) f(x)x)的部分圖象如圖所示，則 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ） 1(k ， 4k 3 ，kz B(2 1 ) k ，k 3 ，kz B(2 14 432 )k ，kz4 1(k ， 4 3 1k )，kz D(2k ， 4 432k )，kz4第12 題圖 第 題圖 （ ） 13遼

21、寧 f (x) Atan(x 0,| )y f(x) f( )2 242 3 3 C33D2 3 14（2018天津）將函數(shù) y sin(2x )的圖象向右平移 5 10個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)（ ） ， ，上單調(diào)遞減 4 4 4在區(qū)間 上單調(diào)遞增 B在區(qū)間 在區(qū)間 上單調(diào)遞增 D在區(qū)間 ，上單調(diào)遞減 4 2 2，15（2017新課標(biāo)）函數(shù)1 f (x) sin(x )cos(x )的最大值為（ ）5 3 69學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)651 C35D1516（2017新課標(biāo)）已知曲線1 : y x，C : y sin(2x )，則下面結(jié)論正確的是（ ）23

22、C 216C2C 2112C2C 1126C2C 11212C2 的圖象向右平移1 172016新課標(biāo) y 2sin(2x )個周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（ ）6 4 y 2sin(2x ) B y 2sin(2x ) 4 3 y 2sin(2x ) D y 2sin(2x ) 4 318（2016新課標(biāo)）函數(shù) y Ax)的部分圖象如圖所示，則（ ） y 2sin(2x ) B y 2sin(2x ) 6 3 y 2sin(x ) D y 2sin(x ) 6 319（2014四川）為了得到函數(shù) y sin(2x 的圖象，只需把 y sin2x的圖象上所有的點（ ）向左平行移動12個單位長度

23、 B向右平行移動12個單位長度向左平行移動1個單位長度 D向右平行移動1個單位長度 20（2014遼寧）將函數(shù) 3sin(2 )的圖象向右平移y x個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)（ ）3 2 在區(qū)間 上單調(diào)遞增 B在區(qū)間， ， 上單調(diào)遞減 在區(qū)間 ， 上單調(diào)遞減 D在區(qū)間 ， 6 3 6 3上單調(diào)遞增21（2016新課標(biāo)）函數(shù) f(x)cos2x6cos( x)的最大值為（ ）24 5 C6 D722f(x)sinx 的值域是（ ）2cosx3 3 , C2,2 D 3, 33 310學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)( x sinx 123對于函數(shù) f x) (0 )，

24、下列結(jié)論正確的是（ ）sinx有最大值而無最小值 B有最小值而無最大值既有最大值也有最小值 D既無最大值也無最小值24函數(shù)y2cosx 的最大值為（ ）2cosx1 2 C3 D不存在25函數(shù)f (x)sinx 在區(qū)間 0, 上的最大值與最小值分別是（ ）sinxcosx 21，0 12，0 C0，1 D1，1226（2019新課標(biāo)）函數(shù)f(x)sin(2x )3cosx的最小值為 23 27（2017新課標(biāo)）函數(shù) ( )sin2 3cos ( 0, )的最大值是 f x x x x4 228.（2014大綱版）函數(shù) y 2x2x的最大值是 29（2008四川）函數(shù) f(x) 3sinxcos

25、2 x的最大值是 30（2008遼寧）設(shè)x(0, )，則函數(shù)2y2sin x12 的最小值為 sin2x31（2014大綱版）若函數(shù) f(x)cos2xasinx在區(qū)間(6， )2是減函數(shù)，則a的取值范圍是 f(x)2cos2xsin2 x4x32（2010北京）已知函數(shù)（1）求 f( )3的值；（2）求 f(x)的最大值和最小值33（2008四川）求函數(shù) y 74sinxx4cos2 x4cos4 x的最大值與最小值學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)專題 2 兩角和與差的正弦余弦和正切秒殺秘籍：第一講 兩角和與差的正余弦與正切 )sincos cossin ； )cos

26、cos sinsin ；sin 2sincos ； cos2 cos2 sin2 2cos2 112sin2 ； tan tan )1 tan 2tantan .1 tan 2 1模型一：拆分角問題： =2 ；=- ； ； ；2 21 ； 2 4 2 4 . 注意：特殊的角也看成已知角，如 4 4 .模型二： cos cos sin sin 22coscos 2sinsin 22cos 2 2【例1】（2019新課標(biāo)）tan255（ ）2 3 2 3 C2 3 2 3【解析】 由31tan45tan30 3tan255 18075 tan75 4530 1tan4530 31132 3 33

27、3 126 3 2 33 3 6 6，故選D.【例2】（）若 ， 為銳角，且滿足cos 4 ，cos( ) 3 ，則sin 的值是 5 5 4（）若 ， 是第三象限角，則 sin 5 4 2【解析】（1） ， 為銳角sin 1 4 35 52，sin( ) 1sin( ) 1 3 4 5 52 24 3 7 sin sin sin cos sin 5 5 25 3（2）由已知條件sin 1cos2 ，sin 5 4 2 2 7 2 sin cos . 2 2 10【例3】sin34sin26cos34cos26的值是（ ）A.1232C1 D 32 21【解析】原式 cos34cos26sin

28、34sin26 60 .2【例4】若0 1 ， ， ， 0 2 2 4 3 ，則 3 （ ） 4 2 3 212學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)333 C35 3 9D69【解析】 0 ， ， 1 2 4 4 4 4 3 2 2，sin 4 3， . cos 3 6 0， sin ， 2 4 4 2 2 4 2 3 4 2 3， 2 44 4 2 cos sin 4 2 4 sin 4 2 1 3 2 2 6 5 3 .3 3 3 3 9【例5（1）若tan 3，則sin2的值等于 （2）若sin cos sin cos3，tan)2，則tan() 【解析】（）sin2

29、2sincos 22tan 236.（2）由條件知sin cos tan 1sin cos tan 13，tan 2. tan( )tan 41tan( )tan 3tan( ) tan( ).33 【例6】已知sin 且 ,5 2，則sin cos2 等于_33 【解析】sin 且 ,5 24 2 31， sin cos2 2sincos 2 1 . ， 5 【例7（ 2tan 4 5tan _sin 5 ， , 2 tan _【解析】（） tan 1 2tan 4 1 tan 5，5tan 522tan ，7tan 3，tan37.55 （2）由sin ， , 2，可得 ，tan ，tan

30、 ，tan 513 122tan 120 1 tan 119 2 .【例8（2019新課標(biāo) II）已知(0, )，2sin cos2 1，則sin （ ）21 5 3 2 5 D5 5 3 5 【解析】因為2sin2a 2a1，所以可得4sinaa 2cos2 a ，又a 2 ，則sina 0 ，cosa 0，所以cosa 2sina，又 sin a a sin a 2sina 5sin a 1，解得sin 52 2 2 2 a ，25故選 x 【例9】已知函數(shù) 2sin f x xR3 6 13學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)（1）求f 5 4 的值； （2）設(shè) 、

31、， 2f 10 2 136， f ，求cos 的值3 25 x 【解析】（） 2sin f x x R3 6 ，f f 5 4 2sin 52sin 2 12 6 4. （2） , 2，f 10 2 13 6， ，2sin f 6 ，2sin 3 2 5 13 2 5，即sin )= - . ， 35 ，cos ，sin 4， sin sin 16 5 13 5 65 【例10】已知tan 2 4，tan .（1）求tan ）求 sin 2sin12 2sinsin 的值 1 4 2【解析】tan 2 4 1 tan1 tan421tan tan32tan 3 1 tan 4 2.（2） si

32、n 2sincos sincos cossin 2sincos cossin sincos sin 2sinsin cos 2sinsin coscos sinsin coscos sinsin cos tan tan 1 tan 1tan tan 7.【例11】（1）設(shè) ，sin sin 11 ，求 )的值；2 3（2）若, 是銳角，且sin sin 1 ， 1 ，則tan _.2 2【解析】（1） cos cos sin sin 22coscos 2sinsin 22cos 2 22 21 1 59 2 2cos 2 3 36 72（2）sin sin . ，cos cos 1 ，兩式平方

33、相加得：2 2cos 2sin sin 112 2 21 , sin sin 1 03即 2 2cos 02 4 2 0.2 ， 2sin 7 sin 1 cos ， sin 72 74 3.秒殺秘籍：第二講 兩種輔助角公式第一類：一次輔助角 f xasinxbcosxf x a xb x= a2 b2 sin(x)(輔助角由點(a,b)決定,tan b sin cos ).a例如： cos =1 1 ) 2 )2 2414學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù) 3 = 1 3 ) 2sin( ) ， 3 cos =2sin( )2236f x asinxcosxbcos2

34、x a,b 0 第二類：二次輔助角 a b a b b b2 2f x sin2x cos2x 1 sin 2x tan 2 2 2 2 a若遇到sin2 ，則通過公式sin2 1cos2 轉(zhuǎn)化成cos2） cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 2 2cos2 1（2） 2sin ( ) sin 1 2sin 2 24【例12】求證：asin bcos = a2 b2 ) tan b ）a證明：作一直角三角形如圖，其中b a a bsin ;cos c c asin bcos = sin cos sin sin c c c c (tan bcsin a b sin )同理

35、可得： acos bsin = a2 b 2 2aa)【例13】若方程2 3sinxx2cos2 x k 1有解，則k 22 3 2 2 2【解析】 2 3sin 2cos sin 2 2sin2 1， x x x x x22 2 6 2sin 2x k 2 2,2 k 4,0 . 6 ，則 4【例14】已知sin 3 sin 的值為（ ）cos 36 54535C32D35【解析】由條件得3 3 4 3sin 3 ，即2 2 5 2 41 3 4sin cos ，sin 2 2 5 3 5 .2 3【例15】已知函數(shù) f x 3sin xsinxx xR .2 （1）若x 2，求 f x的最

36、大值；1（2）在ABC 中，若 A B， f A f B ，求 、B、C的值2【解析】1） 1sin2 31 cos2 3 sin 2f x x x 0 x x 2 2x 2 2 2 3 2 3 3 3當(dāng)2x 時，即 3 2x 時， f x的最大值為 1.12 （2） sin 2f x x 3，若 x 是三角形的內(nèi)角，則0 x ， 2 1 .令 ，若 x 是三角形的內(nèi)角，則0 x ， 2 1x f x ，得3 3 3 215學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù) 1sin 2x 3 22x 或2x 3 6 3 6x 或 x .由已知 AB 是ABC 的內(nèi)角，A B4 121且

37、 f A f B ，2A ， 7 B ，C ， 74 . 6注意：解答題不能直接用二次輔助角公式，中間需要一個二倍角公式來過渡【例16】已知函數(shù) f x 3sinxx xR ，若 f x1，則 x的取值范圍為（ ） , x k x k k Z 3 B x 2k x 2k ,k Z 3 x k x k ,k Z 6 6 D x 2k x 2k ,k Z 6 6 2sin 6 f x x ， f x12sin 1x 6 1sin x 6 2 ，解得 2 2 象可知滿足 2k x 2k k Z k x k k Z6 6 3 【例17】已知函數(shù) f x 2sin x 3cos2x2 4（1）求 f x

38、的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；. （2）若關(guān)于x的方程 f xm2在 ,x 4 2上有解，求實數(shù)m的取值范圍 【解析】(1) 4 3f x 2sin x 3cos2x 1 2sinxcosx 3cos2x 1 sin2x 2sin 2x 1，2 周期T 由2 2 2 解得，單調(diào)遞增區(qū)間為 k x kk ,k k Z 2 3 2 12 12 （2x , 4 2 22 , x3 6 3 sin 2x 31 ,1 2 f x的值域為2, f xm2，m22,，即m0,1 . 【例 18】設(shè)R ， f x x asinxx x 2 2 ，滿足 0f f 3，求函數(shù) f x 在 , 4 上的最大值和最小值 3

39、1【解析】 f x x x x 由 0sin 2cos 1 得 12 f f ，解得a2 3 3 2 2 216學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù) f x 2 3sinxx 2cos x 1 2sin 2x2 因此 6 ，當(dāng) 2k 2k 2 6 , 2 6x 2 2 時，化簡得 xk k , 6 3 ，(x)單調(diào)遞增，即x , 單調(diào)增， 4 3 11 x , 3 24 單調(diào)減，顯然單調(diào)減區(qū)間的范圍大于單調(diào)增區(qū)間的范圍，所以 f x的最大值為f 32.f()的最小值為f11 24 2.達標(biāo)訓(xùn)練11（2018新課標(biāo)）若 ，則cos2 （ ）sin 38979C 7 8 D 9

40、 92（2018新課標(biāo)）若 f(x)xsinx在0，a是減函數(shù)，則a的最大值是（ ）42C4D32018新課標(biāo) x a)B(2,b)，2且cos2 ，則 ab （ ）31555C2 55D134（2017山東）已知x ，則cos2x（ ）41 414C1 D81845（2017新課標(biāo)）已知sin cos ，則sin （ ）317學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)7 92 C929D796（2015新課標(biāo)）sin20cos10cos160sin10（ ）3 232C1 D2127（2015重慶）若 1tan ， 31 ) ，則tan （ ）21716C57D568（2015

41、四川）下列函數(shù)中，最小正周期為 且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（ ） y cos(2x ) y sin(2x ) C y sin2xcos2x D y sinxcosx2 29（2018新課標(biāo)）已知sin cos 1，cos sin 0，則 ) 10（2018新課標(biāo)）已知 1 ) ，則tan 4 5 （2017新課標(biāo)）已知(0, )，tan 2，則 ) 2 412（2017江蘇）若 1 ) 則tan 4 613（2016浙江）已知2cos2 x2x Ax)(A，則 A ，b 14（2016上海）若函數(shù) f(x)4sinxax的最大值為5，則常數(shù)a 15（2016四川）cos2 sin28 816（

42、2016新課標(biāo)）已知 是第四象限角，且sin( ) 3 ，則 ) 4 5 417（2015浙江）函數(shù) f(x)sin2 xxx1的最小正周期是 ，最小值是 18（2015江蘇）已知tan 2，tan( ) 1 ，則tan 的值為 719（2018北京）已知函數(shù) f(x)sin2 x 3sinxx（1）求 f(x)的最小正周期；（2）若 f(x)在區(qū)間 ，m上的最大值為 33 2，求m的最小值202018浙江 的頂點與原點O xP(3， 4) 5 518學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)（1）求 )的值；（2）若角 滿足sin( ) 5 ，求cos 的值21（2017北京）

43、已知函數(shù) f(x) 3cos(2x )2sinxcosx3（1）求 f(x)的最小正周期； （2）求證：當(dāng)x ， 4 4時， 1f(x 222（2015重慶）已知函數(shù) f(x)sin( x)sinx 3cos2 x2（1）求 f(x)的最小正周期和最大值；（2）討論 f(x)在6，3上的單調(diào)性23（2014福建）已知函數(shù) f(x)2cosx(sinxx)（1）求f( )4的值；（2）求函數(shù) f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間19學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)24（2019浙江）設(shè)函數(shù) f(x)sinx ，xR（1）已知0，) ，函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，求 的值； （2

44、）求函數(shù) y f(x 2 f(x 2 的值域 420學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)專題 3 正切恒等式秒殺秘籍：第一講 正切恒等式 tanAtanBtanC AtanBtanC當(dāng)A BC k時A tanB+【證明】 tanA B) , tanC tanA B) tanA tanB tanC1 tanA)+ = = - + + = - -1 AtanB-故tanAtanBtanC tanAtanBtanC【推論】A B 1 A B 1tan tan tan （當(dāng) ABC 時）C C2 2 2 2 tan 2 2A B C A B C A B C+ p + p p 【證明

45、】 A B C 0 tan+ + =p = - - - = + - - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B 1 A B 1p= - - + - = - tan tan tan tan 2 2 2 2 2 2 tan 2 2 tanC C 2 2【例1】tan70tan10 3tan70tan10 【解析】tan70 10 120 tan70tan 10 120 70tan10 3 3701070tan10 370tan10 31 【例】已知 4 51tan （ ），則tan( )44 5 4 5 C4 5 D4 5 1 tan 45 tan 【解析】 45 4 5，故選

46、 A.1tan 1tan45tan【例3】已知 ，則tan)（ ）42 2 C1 D1【解析】 tan tan tan45tantan tan45tantan tan tan 1tantan tan 12 ，即tan)2. 的值 【例4】求tan( ) tan( ) 3tan( )tan( )6 6 6 6【解析】由于 ，故tan( )tan( ) 3tan( )tan( ) 3 6 6 3 6 6 6 6【例5】計算tan12tan3)45) 【解析】根據(jù)45角性質(zhì)可得：tan144)2，tan2tan43)2，tan3tan42)2以此類推，可以得到tan1tan2tan3)tan45)2

47、 tan45)2 【例6】在銳角ABC 中，tanAt 1，tanB t 1，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）( 2 ,) (1,) C(1, 2) D(1,1)【解析】由題意可知，銳角ABC 中，tanA0t 10，tanB 0t 10tantAtanBtanC tanA tanBtanC t tanC t tanC tanC ，故 2t 2221學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)需滿足條件t 2 .秒殺秘籍：第二講 二倍角定理及模型sin 2sincos . cos2 sin cos sin cos sin .2 2降冪公式：sin2 1 cos2 ;cos2 1 cos2

48、 ； sin cos sin2 .2 2 2模型一：令sin cos t， 1sin sin cos t 2sin )；cos2 t 2t22 2 24 令sin cos t ， 1sin sin cos t 2sin )；cos2 t 2t22 2 24模型二：形如cos2 cos4 cos8cos2n 的化簡， sin cos2 cos4 cos8 cos2 1 sin2 n n1cos2 cos4 cos8 cos2 nsin 2n sin 的值為（ ） 【例】若sin ，則 2sin( ) 4 1 7 1 7 C D 5 5 5 52 49 7 2【解析】 1sin2 sin 2sin

49、( ) 2sin( ) 4 25 4 51【例8】已知sin cos ,(0, )，求cos2 321 1 17【解析】sin cos ， (0, ) sin 233 3， cos2 cos sin cos sin 1 17 17 3 3 9 【例9】求值：cos36cos72 .【解析】原式1 1 1sin72cos72 sin144 sin 18036 sin36 cos36 cos72 2 4 4 1 sin36 sin36 sin36 sin36 4【例10】已知 3psin x + = 4 5 ，則sin2x 2 3 3 2 t 1 72【解析】 sin x sinx x sinx

50、x t sinxx 4 2 5 5 2 ，sin2x725【例11】已知1 sin cos ，0ap，則sin ，sin 5 4 ，sin 2 2sin2 cos2 1 1 t2【解析】sin cos t sin sin2 5 2 4 2 2 31 2sin cos 0 45cos2 0，sin = . 4 2 25 50【例12】若a（，3cos2 sin ，則 sin2的值為 4 ， 2 2 2 2【解析】 3cos2 sin 3 cos sin cos sin cos sin cos sin 4 2 6t22學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)則sin2 2 1 17

51、 t .18達標(biāo)訓(xùn)練1（2019四川模擬）在ABC 中，若tanAtanB tanAtanB1，則cosC （ ）2 222C1 D2122（2019重慶模擬）在銳角ABC 中，角 A， B ，C 的對邊分別為a，b ，c 若a bsinC ，則tanAtanBtanC的最小值是（ ）4 3 3 C8 D6 33（2018云南期末）tan36tan84- 3tan36tan84=（ ） 3 3 C3 D3334（2018武漢期末） 3tan12tan60tan18tan12tan18（ ）33 3 C1 D35（2018青羊期末）tan21+tan24+tan21tan24=（ ）1 1 C

52、3 D 36（2018貴陽期中）ABC 的三個內(nèi)角 A，B，C所對的邊分別是a，b，c ，若c 2 3，tanAtanB ，則ABC 的面積的取值范圍是（ ）3 3tanAtanB 3 ,) (0, 3 C(1, 32 3D(0, 272018江西期中 ABC 中 A，B，C所對的邊是a，b，c ，GAGBGC 0GAGB0，若tanA m ，則實數(shù)m的值是（ ）tanBtanAtanB tanC1213C14D158（2018武漢模擬）在ABC 中，C 60， tan 1 tan tan tan A B ，則 A B tan A B ，則 A B 2 2 2 23 39（2018金安期末）在

53、ABC 中，若tanAtanB tanAtanB，則角C 3 310（2018金水期中）在ABC 中，已知三內(nèi)角滿足2B AC ，則tanA C 的值A(chǔ) Ctan 3tan tan2 2 2 2為 （2018上海期中ABC sinA3sinBsinC tanAtanBtanC 的最小值是 12（2017浙江月考）在ABC 中， tan 1tan A B ，則2 2tanC2的取值范圍為 13（2018江蘇模擬）在銳角ABC 中，若tanA ， tanB ， tanC 依次成等差數(shù)列，則tanAtanC 的值為 14（2017江蘇模擬）ABC 中，角 A，B滿足tan(AB)3tanA，則tan

54、B 取到最大值時角C 23學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)15（2018甘肅二模）在ABC 中，若tanA:tanB:tanC 1:2:3，則A 16（2018杭州月考）已知ABC 中，tanA，tanB 是方程x2 ax40的兩個實數(shù)根（1）若a 8，求tanC 的值；（2）求tanC 的最小值，并指出此時對應(yīng)的tanA，tanB 的值17（2018四川模擬）在銳角ABC 中，角 A，B，C的對邊分別為a，b，c ，已知b asinC 2（1）求1 1+ 的值；A tanC（2）求tanB 的最大值24學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)專題 4

55、函 數(shù)之卡根法 表一：正弦函數(shù) y sinx 與 y Asinx的圖像性質(zhì)關(guān)系y sin y Asinxx周期 最大值 1，當(dāng)最小值 -，當(dāng)x 取得 A，當(dāng)2 2x2 取得2-，當(dāng)2 x 取得 22 x 取得 2 2 ,2單調(diào)增區(qū)間 2 2 2k 2k 2 2 , 32 ,2單調(diào)減區(qū)間 2 2 3 2 2k 2 2 , 對稱軸x 2x 2 k 對稱中心 ,0 ,0 表二：余弦函數(shù) y cosx與 y Acosx的圖像性質(zhì)關(guān)系y cos y Acosxx周期 最大值 1，當(dāng)x2 取得 A，當(dāng)x k2 取得最小值 -，當(dāng)x2 取得 -A，當(dāng)x k2 取得2 2 單調(diào)增區(qū)間 2 ,2 , 2 2 單

56、調(diào)減區(qū)間 2,2 , 對稱軸 xx k ,0 對稱中心 k 2 2(,0)24學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)根據(jù)上一講的內(nèi)容，這一講主要針對一些動態(tài)的三角函數(shù)涉及的取值范圍題型，進行卡根法來破解.秒殺秘籍：第一講 為定值卡根此類型題就是根據(jù)題意，給定的區(qū)間寬度 ba 與函數(shù)周期nTnZ的關(guān)系建立即可定理：任意對稱軸（對稱中心）之間的間距為nT2；最大值與最小值的水平間距為(2nT2任意對稱軸與對稱中心之間的間距為(2nT4；以上情況當(dāng)n1時取得最小值【例12019新課標(biāo) IIx ，x1 42 是函數(shù) f(x)sinx 0) （ ）42 321 D12【解析】 因為x

57、， 1 4x2 是函數(shù) f(x)sinx 0)兩個相鄰的極值點，故 ba , 4 4 4 2T 即 ,2 2 所以=2故選A.【例22017天津 f(x)2sin(x)，xR 0| (5)2， )0，f f8 8且 f(x)的最小正周期大于 ，則（ ）2 2 ， 11 ， 3 12 3 1 D 1 ， ， 113 3 24T 5【解析】 由 f(x)的最小正周期大于2 f( )=2 ，4 2 8f11( )=08T 11 =4 8 8 4，25學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)所以T ，則 2 =3 ，即= ，對比 y sinx圖像可知，當(dāng)x2k 時取得最大值，故2 3

58、22k 2 5 f(x) =sinx)時，當(dāng)x k ，因為 ，所以= ，故選擇A.2 8 12 12x y sinx卡住根x y Ax)的根為xx 0 來轉(zhuǎn)0換.【例 3（2015天津）已知函數(shù) f(x)sinxcosx ，xR，若函數(shù) f(x)在區(qū)間(,)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù) y f(x) 的圖象關(guān)于直線x 對稱，則 的值為 f(x)在區(qū)間,內(nèi)單調(diào)遞增，0【解析】 因為 f (x)=sin x cos x 2 sin( x )4 2k 2k 2k 2k+ 4 4 4 4 kZ ， k Z，故可得： 所以解的 2 1 30 2k k Z 0 2k+ k Z k kZ ，所以k 0 ,又因為由 且

59、 2 ，即 4 4 8 8 k k ，可解得函數(shù) f(x)的對稱軸為 2 4 4 x k k Z x kZ，所以由函數(shù)4 2 f x的圖像關(guān)于直線x對稱，可得 2 ，即 .故答案為4 22.【例4（2014北京 f(x) AxA， ， 是常數(shù)，A0， 0)若 f(x)在區(qū)間6， 2上具有單調(diào)性，且 ，則 f(x)的最小正周期為 2f( ) f( ) f( )2 3 6【解析】由 f f 2 3 可知函數(shù) f x的一條對稱軸為x 2 3 .2 12 f f 2 6 ,則 f x 有對稱中心 ,0 3 ，由于 f x在區(qū)間 , 6 2上具有單調(diào)性，則 1 T T2 6 2 3，從而7 T .T 故

60、答案為 .12 3 4秒殺秘籍：第二講 限定周期的卡通常在固定的一兩個周期內(nèi)，給予單調(diào)性的限定或者值域的限定，對 或者 會有一個區(qū)間限定，此26學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 秒殺數(shù)學(xué) 第 一 章 三 角 函 數(shù)類型題就是要卡住兩個臨界點，通?？梢哉页?y sinx 的范圍，再推導(dǎo)至 y Ax)當(dāng)中.常見的卡根數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化如下：k T f(x) Ax)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào) b a 且 22 k ， 2a b （圖1）k T同理， f(x) Ax)在區(qū)間a,b內(nèi)單調(diào) b a 且 22 k ， 2a b圖1 圖 2 T 且 k a ，b (k f(x) Ax)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點 b a （圖 2 T