一個不等式證明問題的研究

1、關(guān)于一個不等式證明問題的研究對于不等式，在高中數(shù)學(xué)中是很常見的，不過對于不等式的解題方法，解題思路也是五花八門，各具特色。但總的來說，在數(shù)學(xué)解題之初，人們總是通過對數(shù)學(xué)問題所涉及的數(shù)式、圖形、結(jié)構(gòu)、形式等具體對象的觀察，從而投過現(xiàn)象去尋求數(shù)學(xué)問題的基本特征，揭示隱蔽在已知和未知條件中的信息，最后從多角度，多方面獲得相對應(yīng)的解題策略。設(shè)0 a 1,0 b 1,求證7a2b2(1a)2b2va2 (1b)2J(1a)2 (1 b)22 日設(shè)計意圖：此題是不等式的證明， 能夠根據(jù)外部特征采用基本不等式求解， 但是對于此問題 能夠采用更加新穎的數(shù)學(xué)方法求解。 這樣能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維。

2、讓學(xué)生能夠更加靈活的使用多種數(shù)學(xué)方法。 此問題能夠更深層次明白在面對一個數(shù)學(xué)問題時，對于題目的外在形式及其結(jié)構(gòu)， 不但要注重外形上的分析， 而且要注重內(nèi)容上的理解， 能從一個 孤獨靜止的數(shù)學(xué)形式中找出關(guān)聯(lián)活動的數(shù)學(xué)內(nèi)容。實際上，在對數(shù)學(xué)問題的探究中，同一屬性內(nèi)容能夠有多種不同的存有形式，同一數(shù)學(xué)形式又能夠從多種內(nèi)容上去理解。在探究解題思路時，要善于將條件和結(jié)論向兩軸做對角度投影， 在這個多角度投影中，數(shù)學(xué)知識不是孤立的單點或離散的片段，數(shù)學(xué)方法也不是互不相關(guān)的一招一式，他們是不可分割的整體，組成一條又一條的知識鏈。解題思路探求的敏捷性、發(fā) 散性就在于當(dāng)知識鏈的某一環(huán)節(jié)受到刺激時，整條知識鏈就活

3、躍起來。方法1分析：對于此不等式，其左邊的每一項的根號內(nèi)都是兩個正數(shù)的平方和，所以采用基本不等2式X22 x yy(x 0, y 0),2將平分和轉(zhuǎn)化為和的平方，消去根號，所以有:,a2 b2. (1 a)2 b2. 2、2 (a b) (1 a) 22a2 (1 b)2b型a (1,(1 a)2 (1 b)22b) (1 a) (1 b) 22 2評注：此方法是最常見也最基礎(chǔ)的方法，在多數(shù)不等式問題中均實用方法2分析：從題目中根據(jù) a,b的取值范圍0 a 1,0 b 1,所以想的三角函數(shù)代換法，然后結(jié)合不等式的一些性質(zhì)求解2.2令 a sin ,b cos于是a2b2. (1 a)2b2a2

4、 (1 b)2, (1 a)2 (1 b)2=.sin44cos,cos44cos,sin44sin4cos4sin22、222、22.22,2.2、（sin cos ） （cos cos ） （sin sin ）（cos sin ） 222= 2.2評注：三角函數(shù)在已知參數(shù)取值范圍情況下的不等式問題中，是使用非常廣泛的。方法3分析：從要求證的不等式中，每一個小部分都含有根號，并且根號里還有兩項的平方，所以能夠聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模長來實行計算。設(shè)Z1abi，Z2 (1 a) bi，Z3 a (1 b)i，Z4 (1 a) (1 b，所以a2b2. (1-a)2b2 , a2-(1-b)2.，(1一a

5、1一(1-b)2Z Z2 Z3ZZ Z2 Z3 Z4=2 2i2v2評注：關(guān)于復(fù)數(shù)的模長，這種解題思路很新穎，但在具體問題中使用不是特別常見，但其思 維方式特別富有創(chuàng)造力。方法4分析：仍然從題目中a,b的取值范圍0 a 1,0 b 1,采用作單位正方形，如圖1所示，所證不等式即點 M(a,b )到O(0.0 ), A(1,0), B(1,1), C(0,1)四點的距離之和不小于2 J2當(dāng)0 a 1,0 b 1,點M在正方形OAB汕部，所以.a2 b2 ,(1 a)2-b2 , a2(1 b)2、. (1 a)2(1 b)2=MO MA MB MCOB | AC 22(M取對角線交點時不等號去等

6、號 )評注：使用坐標(biāo)系，這種方法可謂是萬能鑰匙，在絕大部分問題中，此方法都具有一定的可 行性，而且結(jié)合圖形，更直觀，新穎。方法5分析：從要證明的結(jié)論出發(fā)，及各部分式子的結(jié)構(gòu)特點，容易聯(lián)想到證明勾股定理時所采用的方法，及如圖 2所示，作單位正方形 ABCD取DE=AF=a,DG=CH=b,EFf GH相交于M,則M在正方形ABCEJo由勾股定理得a2 b2(1 a)2 b2a2 (1 b)2(1 a)2 (1 b)2=MD| |MC MA |MBAC BD 2 2評注：數(shù)學(xué)結(jié)合，此方法看是簡單，實則難以想到，所涉及知識面相對來說較大，需要在平 時解決數(shù)學(xué)問題過程中多作積累，歸納。方法6圖3分析：

7、如圖3所示，取線段 AC=1,在AC上取AO=a，過。作BD AC,取OD2 BD=1,所以1 一 1 一-AC BD （定值）. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 22一,一_ _ ,.、一 r1.因為，面積一定的四邊形以正方形的周長為最小，所以ABCM正方形，即a=b=1時,2AB+BC+CD+DA= 2/2 最小即2， HYPERLINK l bookmark15 o Current Document ,a2 b2, (1 a)2 b2, a2 (1 b)2. (1 a)2 (1 b)22、. 2評注：此方法根

8、據(jù)面積一定，周長最小，這種方法是很早之前我們都接觸過的，只要在平時練習(xí)過程多積累對總結(jié)，是容易理解，也容易想到。上面對問題來說，能夠從這些方面求解。對于問題本身，我們也能夠作多層次對角度的探究, 從而將這類問題實行如下推廣推廣1、設(shè)0 a 1,0 b 1,0 c 1求證222222-2221222a b c . (1 a) b c . a (1 b) c a b (1 c)(1 a)2 (1 b)2c2a2(1b)2(1c)2.(1 a)2b2(1 c)2 +V(1 a)2 (1 b)2 (1 c)24v13對于此問題，仍然借鑒上一問題的解題思路，下面就我們采用方法4的解題，來求解此問題。此問

9、題較上一題而已，僅僅將二維變成三維，將平面變成了空間立體。還是根據(jù)a,b,c的取值范圍，放到空間直角坐標(biāo)系中，作一單位正方體，要證明的不等式，及是空間內(nèi)一點到正方體八個頂點的距離之和，這是很容易得證的。另外還能夠用方法6得出結(jié)果。猜想、如果0 a 1,0 b 1,0 c 1,0 d 1這樣的條件，我們能不能假想為四維空間，然后仍然視為空間內(nèi)到一頂點的距離。如果延展到n個，這個結(jié)論是否還是成立呢？通過前期我們所作的各種猜想，這是十分可行的。對于此類問題，就能夠用距離來解決。推廣2、設(shè)0 a 1,0 b 1,0 c 1求證 TOC o 1-5 h z 3333333333333333abc3 (1a) b c3 a (1 b)c3 ab(1c)3333333333 (1a)(1b)c3, (1a)b(1 c)3a(1b)(1c)3 (1a)3(1b)3(1c)333 3猜想2、在推廣2成立的基礎(chǔ)上，我們能否大膽做出猜想：能否將題中的3次換成n次是否依然成立呢；或者再將其推廣a、b、c、d.n 是還是成立?？偨Y(jié)：通過上面對一簡單不等式的探究，我們多方面來思考問題。同時也能夠體現(xiàn)在神奇的數(shù)學(xué)世界中，幾何不單單是幾何，代數(shù)也不單單是代數(shù)，它們之間有著莫大的聯(lián)系，在對問題的思考過程中，應(yīng)該在不同知識之間實行信息轉(zhuǎn)換，解題思路也會在這種轉(zhuǎn)換