帶電粒子在電磁場中運動的對稱美賞析

1、一、一片綠葉 例1如圖1所示，在平面內(nèi)有很多質(zhì)量為、電量為的電子，從坐標原點O不斷以相同的速率沿不同方向平行平面射入第象限現(xiàn)加一垂直平面向里、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，要求這些入射電子穿過磁場都能平行于軸且沿軸正方向運動求符合條件的磁場的最小面積（不考慮電子之間的相互作用） 解析如圖2所示，電子在磁場中做勻速圓周運動，半徑為在由O點射入第象限的所有電子中，沿軸正方向射出的電子轉(zhuǎn)過14圓周，速度變?yōu)檠剌S正方向，這條軌跡為磁場區(qū)域的上邊界下面確定磁場區(qū)域的下邊界設(shè)某電子做勻速圓周運動的圓心和點的連線與軸正方向夾角為，若離開磁場時電子速度變?yōu)檠剌S正方向，其射出點（也就是軌跡與磁場邊界的交點）的坐標為

2、（、）由圖中幾何關(guān)系可得，消去參數(shù)可知磁場區(qū)域的下邊界滿足的方程為（）（0，0） 這是一個圓的方程，圓心在（0，）處磁場區(qū)域為圖中兩條圓弧所圍成的面積磁場的最小面積為 2（14）（12）（2）（2） 欣賞由兩條圓弧所圍的磁場區(qū)域像一片嫩綠的樹葉，青翠欲滴! 二，一座拱橋二、一朵梅花 例2如圖3所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫、和，外筒的外半徑為在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感應(yīng)強度大小為在兩極間加上電壓，使兩筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場一質(zhì)量為、帶電量的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫的點出發(fā)，初速度為零如果該粒子經(jīng)過一段時間的運動之后恰

3、好又回到出發(fā)點S，則兩極之間的電壓U應(yīng)是多少?（不計重力，整個裝置在真空中）解析如圖4所示，帶電粒子從S點出發(fā)，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿出狹縫a而進入磁場區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動粒子再回到S點的條件是能沿徑向穿過狹縫只要穿過了，粒子就會在電場力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)重新進入磁場區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過、，再經(jīng)回到S點設(shè)粒子進入磁場區(qū)的速度大小為，根據(jù)動能定理，有（12） 設(shè)粒子做勻速圓周運動的半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有 由前面的分析可知，要回到S點，粒子從到必經(jīng)過34圓周，所以半徑R必定等于筒的外半徑，即由以上各式解得：2 欣賞粒子的運動軌跡構(gòu)成了

4、一朵怒放的梅花，香氣迎風(fēng)而來! 3.一個電風(fēng)扇例3、據(jù)有關(guān)資料介紹，受控熱聚變反應(yīng)裝置中有極高的溫度，因而帶電粒子將沒有通常意義上的容器可裝，而是由磁場約束帶點粒子運動將其束縛在某個區(qū)域內(nèi)，現(xiàn)將下面的簡化條件來討論這個問題，如圖所示，由一個環(huán)形區(qū)域，其截面內(nèi)半徑為R1=m，外半徑為R2=1.0m，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，已知磁感應(yīng)強度B=1.0T，被束縛粒子的荷值比為 若中空區(qū)域中的帶電粒子沿環(huán)的半徑方向射入磁場，求帶電粒子不能穿越磁場外邊界的最大速度V0。若中空區(qū)域中的帶電粒子（1）中的最大速度V0沿圓環(huán)半徑方向射磁場,求帶電粒子從進入磁場開始到第一次回到該點的時間t。一朵葵花：例4

5、：據(jù)有關(guān)資料介紹，受控熱核聚變反應(yīng)裝置中有極高的溫度，因而帶電粒子將沒有通常意義上的容器可裝，托卡馬克裝置是一種利用磁約束來實現(xiàn)受控核聚變的環(huán)形容器，現(xiàn)按下面的簡化條件來討論這個問題，如圖所示，有一個環(huán)形區(qū)域，其截面半徑為R1=a，外半徑為R2=(-1)a，環(huán)形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B。被磁場圍住的中心區(qū)域為反應(yīng)區(qū)，反應(yīng)區(qū)內(nèi)質(zhì)量為m、電量為q的帶電粒子，若帶電粒子有反應(yīng)區(qū)沿各個不同射入磁場區(qū)域，不計帶電粒子重力和運動過程中的相互作用力，則：要求所有帶電粒子均不能穿過磁場外邊界，允許帶電粒子速度的最大值Vm多大？若一帶電粒子以上述最大速度從邊界上某點沿半徑方向垂直射入磁場，

6、求帶電粒子從進入磁場開始到第一次回到出發(fā)點所用的時間t。例7，如圖所示，兩個同心圓時磁場的理想邊界，內(nèi)圓半徑為R，外圓半徑為R，磁場方向垂直于紙面向里，內(nèi)外圓之間環(huán)形區(qū)域次感應(yīng)強度為B，內(nèi)圓的磁感應(yīng)強度為B/3.t=0時一個質(zhì)量為m，帶-q電量的離子（不計重力），從內(nèi)圓上的A點沿半徑方向飛進環(huán)形磁場，剛好沒有飛出磁場。求離子速度大小離子自A點射出后在兩個磁場間不斷地飛進飛出。從他=0開始經(jīng)過多長時間第一次回到A點？如圖甲所示，在xoy平面內(nèi)加有空間分布均勻、大小隨時間周期性變化的電場和磁場，變化規(guī)律如圖乙所示（規(guī)定豎直向上為電場強度的正方向，垂直紙面向里為磁感應(yīng)強度的正方向）。在t=0時刻，質(zhì)

7、量m、電荷量為q的帶正電粒子自坐標原點O處，以v0=2m/s的速度沿x軸正向水平射出。已知電場強度E0=、磁感應(yīng)強度B0=，不計粒子重力。求：（1）t=1s末粒子速度的大小和方向；（2）1s2s內(nèi)，粒子在磁場中做圓周運動的半徑和周期；（3）畫出04s內(nèi)粒子的運動軌跡示意圖（要求：體現(xiàn)粒子的運動特點）；（4）（2n-1）s2ns（n=1，2，3，）內(nèi)粒子運動至最高點的位置坐標。從t=0開始到離子第二次回到A點，離子在內(nèi)圓磁場中運動的時間共為多少？解：（1）在01s內(nèi)，粒子在電場力作用下帶電粒子在x方向上做勻速運動Y方向做勻加速運動1s末粒子的速度V1與水平方向的夾角，則代入數(shù)據(jù)解得，(2) 在1

8、s2s內(nèi)，粒子在磁場中做圓周運動，由牛頓第二定律得m粒子做圓周運動的周期（3）粒子運動軌跡如圖所示（4）（2n-1）s末粒子的坐標為，此時粒子的速度為帶電粒子在（2n-1）s2ns（n=1，2，3）內(nèi)做圓周運動的軌跡如圖所示半徑m最高點G的位置坐標為mm如圖所示.半徑分別為a、b的兩同心虛線圓所圍空間分別存在電場和磁場，中心O處固定一個半徑很?。珊雎圆挥嫞┑慕饘偾?，在小圓空間內(nèi)存在沿半徑向內(nèi)的輻向電場，小圓周與金屬球間電勢差U，兩圓之間存在垂直于紙面向里的勻強磁場，設(shè)有一個帶負電的粒子從金屬球表面沿x軸正方向以很小的初速度逸出，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q.（不計粒子的重力，忽略粒子逸出的初速度

9、）試求：（1）粒子到達小圓周上時的速度為多大？（2）粒子以（1）中的速度進入兩圓間的磁場中，當磁感應(yīng)強超過某一臨界值時，粒子將不能到達大圓周，求此磁感應(yīng)強度的最小值B.（3）若當磁感應(yīng)強度?。?）中最小值，且時，粒子運動一段時間后恰好能沿x軸負方向回到原出發(fā)點，求粒子從逸出到第一次回到原出發(fā)點的過程中，在磁場中運動的時間.（設(shè)粒子與金屬球正碰后電量不變且能以原速率原路返回）如圖所示，半徑分別為a、b的兩同心虛線圓所圍空間分別存在電場和磁場，中心O處固定一個半徑核銷（可忽如圖所示.半徑分別為a、b的兩同心虛線圓所圍空間分別存在電場和磁場，中心O處固定一個半徑很?。珊雎圆挥嫞┑慕饘偾?，在小圓空間

10、內(nèi)存在沿半徑向內(nèi)的輻向電場，小圓周與金屬球間電勢差U，兩圓之間存在垂直于紙面向里的勻強磁場，設(shè)有一個帶負電的粒子從金屬球表面沿x軸正方向以很小的初速度逸出，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q.（不計粒子的重力，忽略粒子逸出的初速度）試求：（1）粒子到達小圓周上時的速度為多大？（2）粒子以（1）中的速度進入兩圓間的磁場中，當磁感應(yīng)強超過某一臨界值時，粒子將不能到達大圓周，求此磁感應(yīng)強度的最小值B.（3）若當磁感應(yīng)強度?。?）中最小值，且時，粒子運動一段時間后恰好能沿x軸負方向回到原出發(fā)點，求粒子從逸出到第一次回到原出發(fā)點的過程中，在磁場中運動的時間.（設(shè)粒子與金屬球正碰后電量不變且能以原速率原路返回）三、

11、一滴水珠例3如圖5所示，空間分布著有理想邊界的勻強電場和勻強磁場左側(cè)勻強電場的場強大小為E、方向水平向右，電場寬度為L；中間區(qū)域勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直紙面向外；右側(cè)勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直紙面向里一個質(zhì)量為、電量為、不計重力的帶正電的粒子從電場的左邊緣的O點由靜止開始運動，穿過中間磁場區(qū)域進入右側(cè)磁場區(qū)域后，又回到O點，然后重復(fù)上述運動過程求：（1）中間磁場區(qū)域的寬度；（2）帶電粒子從O點開始運動到第一次回到O點的所用時間t解析（1）帶電粒子在電場中加速，由動能定理，可得 （12），帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)，由牛頓第二定律，可得 ，由以上兩式，可得（1）可見在兩磁場區(qū)

12、粒子運動半徑相同，如圖6所示，三段圓弧的圓心組成的三角形是等邊三角形，其邊長為2所以中間磁場區(qū)域的寬度為60（12）（2）在電場中222，在中間磁場中2（16）23，在右側(cè)磁場中（56）53，則粒子第一次回到O點的所用時間為273欣賞粒子在兩磁場區(qū)的運動軌跡形成了一滴水珠，晶瑩明亮! 四、一條波浪例4如圖7（甲）所示，0的區(qū)域內(nèi)有如圖7（乙）所示大小不變、方向隨時間周期性變化的磁場，磁場方向垂直紙面向外時為正方向現(xiàn)有一個質(zhì)量為、電量為的帶正電的粒子，在0時刻從坐標原點O以速度沿著與軸正方向成75角射入粒子運動一段時間后到達P點，P點的坐標為（，），此時粒子的速度方向與OP延長線的夾角為30粒子

13、只受磁場力作用（1）若為已知量，試求帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑R和周期的表達式； （2）說明粒子在OP間運動的時間跟所加磁場變化周期T之間應(yīng)有什么樣關(guān)系才能使粒子完成上述運動； （3）若為未知量，那么所加磁場的變化周期T、磁感應(yīng)強度的大小各應(yīng)滿足什么條件，才能使粒子完成上述運動?（寫出、應(yīng)滿足條件的表達式） 解析（1）由牛頓第二定律，可得 ，粒子運動的周期22（2）根據(jù)粒子經(jīng)過O點和P點的速度方向和磁場的方向可判斷：粒子由O點到P點運動過程可能在磁場變化的半個周期之內(nèi)完成；當磁場方向改變時，粒子繞行方向也改變，磁場方向變化具有周期性，粒子繞行方向也具有周期性，因此粒子由O點到P點的運動過程

14、也可能在磁場變化的半個周期的奇數(shù)倍時間完成 （3）若粒子由O點到P點的運動過程在磁場變化的半個周期之內(nèi)完成，則磁場變化周期與粒子運動周期應(yīng)滿足：26，由圖8可知粒子運動的半徑為 ，又，2，所以、分別滿足： 2，2323 若粒子由O點到P點的運動過程在磁場變化的半個周期的奇數(shù)倍時間完成，則磁場變化周期與粒子運動周期應(yīng)滿足（21）2（21）6，2，3，由圖8可知 （21），又，2所以、分別滿足 （21）2，23（21）其中2，3，欣賞帶電粒子在磁場中周期性的運動像一條緩緩前行的波浪，浪花點點! 五、一顆明星例5如圖9所示，一個質(zhì)量為、電量為的正離子，從A點正對著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒

15、中圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞兩次后仍從A點射出，求正離子在磁場中運動的時間設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電量損失，不計粒子的重力解析由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電量損失，每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心，并且離子運動的軌跡是對稱的，如圖10所示每相鄰兩次碰撞點之間圓弧所對的圓心角為120由幾何知識可知，離子運動的半徑為60，離子運動的周期為2，又，所以離子在磁場中運動的時間為 3（16）3 欣賞離子運動的軌跡構(gòu)成了一顆星星，閃閃發(fā)光! 六、一彎殘月 例6如圖11（a）所示，有一勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，方向垂直所在的紙面向外

16、某時刻在、0處，一質(zhì)子沿軸的負方向進入磁場；同一時刻，在、0處，一個粒子進入磁場，速度方向與磁場垂直不考慮質(zhì)子與粒子間的相互作用，質(zhì)子的質(zhì)量為、電量為（1）如果質(zhì)子經(jīng)過坐標原點O，它的速度為多大? （2）如果粒子與質(zhì)子在坐標原點O相遇，粒子的速度為多大?方向如何? 解析（1）根據(jù)質(zhì)子進入磁場的位置和速度方向可知，質(zhì)子運動的圓心必在軸上，又因質(zhì)子經(jīng)過坐標原點，故其軌道半徑（12），由，得2 （2）質(zhì)子運動的周期2粒子的電量為2，質(zhì)量為4，運動的周期42質(zhì)子在（12），（32），（52）時刻通過O點，若粒子與質(zhì)子在O點相遇，粒子必在質(zhì)子經(jīng)過O點的同一時刻到達，這些時刻分別對應(yīng)于（14），（34）

17、如果粒子在時刻（14）到達O點，它運行了（14）圓周所對應(yīng)的弦；如果粒子在時刻（34）到達O點，它運行了（34）圓周所對應(yīng)的弦，如圖11（b）所示（54）等情況不必考慮）由圖可知，粒子軌道半徑（2），由422，得4，方向有兩個，即與x軸正方向夾角分別為（14），（34） 欣賞粒子的運動軌跡形成了一彎殘月，令人浮想聯(lián)翩! 七、一只蝴蝶 例7如圖12（a）所示，在平面上的范圍內(nèi)有一片稀疏的電子，從x軸的負半軸的遠處以相同的速率沿x軸正向平行地向y軸射來試設(shè)計一個磁場區(qū)域，使得（1）所有電子都能在磁場力作用下通過原點O； （2）這一片電子最后擴展到22范圍內(nèi)，繼續(xù)沿x軸正向平行地以相同的速率向遠處射

18、出已知電子的電量為、質(zhì)量為，不考慮電子間的相互作用 解析根據(jù)題意，電子在O點先會聚再發(fā)散，因此電子在第象限的運動情況可以依照例1來分析即只有當磁場垂直紙面向里、沿y軸正方向射入的電子運動軌跡為磁場上邊界（如圖中實線1所示）、沿其它方向射入第象限磁場的電子均在實線2（磁場下邊界）各對應(yīng)點上才平行x軸射出磁場，這些點應(yīng)滿足（2）（2）實線1、2的交集即為第象限內(nèi)的磁場區(qū)域由，得2，方向垂直平面向里 顯然，電子在第象限的運動過程，可以看成是第象限的逆過程即只有當磁場垂直紙面向外，平行于軸向右且距x軸為H的入射電子運動軌跡則為磁場下邊界（如圖中實線1所示）、沿與x軸平行方向入射的其他電子均在實線2（磁

19、場上邊界）各對應(yīng)點發(fā)生偏轉(zhuǎn)并會聚于O點，這些點應(yīng)滿足 （）實線1、2的交集即為第象限內(nèi)的磁場區(qū)域所以，方向垂直平面向外 同理，可在第、象限內(nèi)畫出分別與第、象限對稱的磁場區(qū)域，其中，方向垂直平面向里；2，方向垂直平面向外欣賞全部磁場區(qū)域的分布極像一只漂亮的蝴蝶，賞心悅目! 八、一幅窗簾 例8如圖13所示，正方形勻強磁場區(qū)邊界長為a、由光滑絕緣壁圍成，質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子垂直于磁場方向和邊界，從下邊界正中央的A孔射入磁場中粒子碰撞時無能量和電量損失，不計重力和碰撞時間，磁感應(yīng)強度的大小為B，粒子在磁場中運動的半徑小于欲使粒子仍能從A孔處射出，粒子的入射速度應(yīng)為多少?在磁場中運動時間是多

20、少?解析欲使粒子仍能從A孔處射出，粒子的運動軌跡可能是如圖14甲、乙所示的兩種情形 對圖14甲所示的情形，粒子運動的半徑為R，則2（21），0，1又，2，所以2（21）， （41）2（21），0，1，2， 對圖14乙所示情形，粒子運動的半徑為，則4，1，2，又，所以4， 224（2），1，2， 如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強磁場。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q0）和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時，這束帶電微粒分布在0y2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為g。 （1）從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區(qū)域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求點場強度和磁感應(yīng)強度的大小和方向。 （2）請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由