借相遇之力突方程之質(zhì)

1、借“相遇”之力突“方程”之質(zhì)“實際問題與方程例 5”教學(xué)實踐與研究【內(nèi)容摘要】：“相遇問題”作為典型的行程問題類型，曾經(jīng)是小學(xué)生必須掌握的解決問題的類型之一。新課改之后，編寫者弱化了行程問題的教學(xué)，沒有單獨安排相關(guān)例題，但在 2011 版人教版中它又重新回歸視線，但是回歸并不意味著老調(diào)重彈，將相遇問題放在簡易方程這一單元中，別有用意。為此筆者分析，對“相遇問題”的教學(xué)進行了深入的分析與思考，確定本節(jié)課是借助方程，將相遇問題當(dāng)成某類有著共同數(shù)量關(guān)系的一個例子，將圖數(shù)量關(guān)系方程這三者緊密結(jié)合，通過“三比“構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，再通過”兩融合”在原有的基礎(chǔ)模型上進行拓展延伸，淡化模型，最終達到內(nèi)化模型的教學(xué)

2、目標(biāo)。真正提高學(xué)生分析解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生初步的模型，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗?！尽浚合嘤鰡栴}方程線段圖模型困惑：教方程or教相遇五年級數(shù)學(xué)組進行集體備課的時候，發(fā)現(xiàn)右圖中的例題（圖 1）作為 2011 版的新內(nèi)容編入了簡易方程這一單元，并安排在了實際問題與方程 5 個例題中的最后一個，例 5 是以兩個人相向運動為背景的實際問題，也就是行程問題中的典型的相遇問題。在討論的過程中，大家產(chǎn)生了許多困惑。困惑 1：這節(jié)課到底要教給學(xué)生側(cè)重相遇問題中的數(shù)量關(guān)系還是側(cè)重用方程解決問題的一般方法？困惑 2：相遇問題屬于行程問題中的一種，是否還需要拓展其他行程問題的類型呢？困惑 3：如何將相遇問題的數(shù)量關(guān)系

3、遷移到工程問題等圖 1其他數(shù)學(xué)問題？看似簡單的相遇問題，卻又不簡單，顯然，老師都對這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容還是定位不清。為此筆者對人教版新有關(guān)內(nèi)容進行了梳理。梳理：方程and相遇經(jīng)過梳理筆者發(fā)現(xiàn)：在人教版新中，除了四年級上（圖 2）出現(xiàn)過“速度、時間和路程”這些基本概念和最基本的數(shù)量關(guān)系外，其余涉及到速度、時間和路程的內(nèi)容都只是在課后練習(xí)中零散出現(xiàn)，例如三年級上第六單元多位數(shù)乘一位數(shù) P64 第 10 題（圖 3），直到五年級上第五單元簡易方程中才出現(xiàn)典型的“相遇問題”。如果只是要求教相遇問題，那么筆者認(rèn)為應(yīng)該把這個例題放在四年級上冊學(xué)完“速度、時間和路程”這一內(nèi)容后，更加合理一些，這樣學(xué)習(xí)

4、內(nèi)容銜接自然，也可以更好地鞏固速度、時間和路程的數(shù)量關(guān)系。由此可以確定本節(jié)課的重點不是側(cè)重行程問題的結(jié)構(gòu)關(guān)系，那么困惑 1 中所提到的教學(xué)重點，筆者認(rèn)為自然應(yīng)該立足于方程。在五年級上冊簡易方程關(guān)于例 5 的編排中，除了將“相遇問題”作為例題外，工程問題、追及問題等則以練習(xí)的形式出現(xiàn)。（圖 4）從知識結(jié)構(gòu)層面分析，“工程問題”、“相遇問題”應(yīng)該是納入同一個知識系統(tǒng)的，而用方程解決實際問題，本身就是注重對等量關(guān)系的分析，列出方程，用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實生活中特定關(guān)系的過程，也就是數(shù)圖 4學(xué)建模的過程。而中又特別提醒學(xué)生通過畫圖策略來解決這個問題。筆者認(rèn)為，將相遇問題當(dāng)成某類有著共同數(shù)量關(guān)系的例子，立足

5、與方程，將線段圖作為橋梁，以相遇問題的模式遷移到工程問題等其他問題中，困惑 3 的難題也就迎刃而解了。至于困惑 2 中所提到的有關(guān)行程問題的其他類型，自然就不在教學(xué)范圍之內(nèi)。結(jié)論思考分析結(jié)論思考分析結(jié)合以上兩點，筆者認(rèn)為例 5 這節(jié)課并非只是單純地教相遇問題，而是應(yīng)該立足于方程，借助線段圖，通過分析數(shù)量關(guān)系，抓住“相遇問題”、“工程問題”、“追及問題”等這一類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，抽象出數(shù)學(xué)模型，有效滲透模型，促進學(xué)生建模的和解決問題能力的。實踐：相遇vs圖vs方程明確本節(jié)課的定位后，筆者結(jié)合自己的思考，對本節(jié)課進行了實際的研究與實踐。在教學(xué)活動中，以例題作為突破口，圍繞著線段圖等量關(guān)系方程這三者，

6、學(xué)生通過觀察、比較、分析、抽象、提煉、判斷等活動，抽象出解決一類數(shù)學(xué)問題的模型。一、畫圖分析，感知模型（一）畫一畫，理解題意1、根據(jù)題意，畫圖一師：，今天這節(jié)課，繼續(xù)來學(xué)習(xí)解決問題（板書：解決問題）師：看大屏幕，一起讀題（幻燈片出示題目，見圖 5）圖 5師：仔細(xì)觀察，你知道了什么？要求什么？師：你能不能用畫圖的方法來表示題目的意好了嗎？開始吧。設(shè)計意圖課伊始，教師便開門見山，直接切入。出示例題之后，要求學(xué)生用畫圖的方法來表示題目的意思。知道，對于行程問題而言，線段圖是最好的表征方式。讓學(xué)生動手畫一畫，通過圖文的互相轉(zhuǎn)換，將題目中的數(shù)學(xué)信息以更加畫圖是小學(xué)數(shù)學(xué)中分析、解決數(shù)學(xué)問題的策略之一。畫圖

7、可以幫助學(xué)生把抽象問題具體化、直觀化，從而使學(xué)生能從圖中理解題意和分析數(shù)量關(guān)系，搜尋到解決問題的突破口。簡潔明了的形式呈現(xiàn)出來。2、比較鑒別，加深理解二師：老師搜集了兩幅線段圖（圖 6），比較一下，哪一幅好？為什么？圖 6學(xué)生發(fā)言，對第一幅圖進行補充說明。師總結(jié)：在畫圖的時候，要標(biāo)明出發(fā)地點（起點）、方向（相向）和最后的結(jié)果（相遇）。設(shè)計意圖教師選擇了兩幅學(xué)生作品，進行對比分析，一幅是畫的比較完整的，一幅是比較簡單的，拋出問題：“你覺得哪一幅好一些？為什么？”學(xué)生通過比較分析，發(fā)言，體會到題目中的運動起點、運動方向及相遇地點在圖上。雖然教師在畫圖這個環(huán)節(jié)中看上去“浪費”了不少時間，但是這樣的“

8、浪費”是值得的，通過從文到圖的轉(zhuǎn)換過程，不僅可以幫助學(xué)生題意，用數(shù)學(xué)的語言和符號來表示題目中所提到的相距、相遇、相向而行，理解相遇問題中的幾個基本要素，而且在動手畫的過程中，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了線段圖的生成過程，對等量關(guān)系有了初步的感悟。（二）指一指，尋找關(guān)系畫圖不是為了畫而畫，理解分析才是最終目標(biāo)。因此當(dāng)學(xué)生面前呈現(xiàn)完整的線段圖后，教師并不急著讓學(xué)生直接解決問題，而是讓學(xué)生看找指說，一系列的數(shù)學(xué)活動，根據(jù)線段圖尋找相遇問題中的等量關(guān)系。（圖 7）圖 7（三）列一列，解決問題三學(xué)生根據(jù)剛才找到的等量關(guān)系，用方程解決問題，教師巡視全班。師：請一位同學(xué)把他的解決過程結(jié)合著他畫的圖說一說生：設(shè)x 分鐘后

9、相遇，根據(jù)騎的路程+騎的路程=總路程這個數(shù)量關(guān)系，這一段是騎的路程，用 0.25x 表示，這一段是騎的路程，用 0.2x 表示，這兩段路程合起來是 4.5km。列出的方程是 0.25x+0.2x=4.5，解得 x=10，所以和10 分鐘后相遇。教師板演總結(jié)：根據(jù)線段圖，找到的等量關(guān)系是：騎的路程+騎的路程=總路程，設(shè) x 分鐘后相遇，怎么表示騎的路程？（手指線段圖中的部分）用的速度乘時間來表示的路程，怎么表示騎的路程？(手指線段圖中的部分)這是的速度乘的時間，這兩段路程合起來就是 4.5 千米。列出的方程是 0.25x+0.2x=4.5，解得 x=10，所以和10 分鐘后相遇。師再質(zhì)疑：這個

10、x 一會兒表示的時間，一會兒又表示的時間，你覺得合理嗎？你又是怎么想的？生：這個 x 即表示的時間又表示的時間，兩個人同時出發(fā)，所用的時間是相同的。設(shè)計意圖1、在反饋解題方法的時候，教師并沒有摒棄線段圖，為了畫圖而畫圖，而是充分發(fā)揮線段圖的作用，牢牢將線段圖等量關(guān)系方程這三者緊密結(jié)合起來，（圖 8）一一對應(yīng)，比如：騎的路程在圖中是哪一部分？數(shù)量關(guān)系是什么？又是怎么表示的？看似不經(jīng)意的指圖動作和小問題，卻讓學(xué)生對題意的理解由抽象到具體。圖 8的時間，一會兒又表示2、教師還不忘質(zhì)疑，“這個 x 一會兒表示的時間，你覺得合理嗎？”這其實是相遇問題的一個難點，雖然這個 x 已經(jīng)求出來了，但是這個 x

11、到底表示什么意思呢？學(xué)生的理解仍然是的，教師這么一問，學(xué)生思考，他們便會發(fā)現(xiàn)，這個 x 即表示騎的時間又表示騎的時間，也就是信息中所提到的兩人同時出發(fā)，同時相遇，所用的時間是相同的，再次強化了學(xué)生對同時這個概念的理解。二、橫向三對比，層層抽象，構(gòu)建模型（一）一比：模仿鞏固，意會本質(zhì)在教學(xué)完例 5 后，教師便呈現(xiàn)模仿練習(xí)：“兩列火車從相距 570km 的兩地同時相向開出，兩車 3 小時后相遇，甲車每小時行 110 千米，乙車每小時行多少千米？”與例題相比等量關(guān)系的結(jié)構(gòu)是相同的，方程的結(jié)構(gòu)也是相同的。（圖 9）只是求的部分是不一樣。對于學(xué)生而言，一方面鞏固的是相遇問題的數(shù)量關(guān)系，另一方面也鞏固了用

12、方程解決相遇問題的一般過程和方法。而僅僅局限于用方程解決相遇問題，筆者認(rèn)為又是不夠的，它容易讓學(xué)生只會套用相遇問題的模式解決相遇問題，忽視了學(xué)生對行程問題內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系的整體認(rèn)識，學(xué)生容易以題解題，缺乏知識上的溝通與聯(lián)系。此時教師要做的就是繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生透過相遇現(xiàn)象看相遇本質(zhì)。（二）再比：尋找共性，提煉本質(zhì)隨即教師又出示了一個變式練習(xí)：“兩個工程隊同時開鑿一條 675m 長的隧道，各從一端相向施工，25 天打通，甲隊每天開鑿 12.6m，乙隊每天開鑿多少米？”四第一層：解決“工程問題”教師：這是剛才補充完整的線段圖，請大家仔細(xì)觀察，線段圖悄悄地發(fā)生了變化？（課件動態(tài)演示）（圖 10）師：現(xiàn)在這幅圖

13、你還能看懂嗎？它表示了什么意思？生：兩個工程隊同時開鑿一條 675m 長的隧道，面對面施工，25 天打通，甲隊每天開鑿 12.6m，乙隊每天開鑿多少米？師：根據(jù)這個線段圖，你找到了怎樣的等量關(guān)系呢？（稍停頓）根據(jù)你想的等量關(guān)系，再練習(xí)紙上列出方程解答。學(xué)生反饋，先指著圖說一說等量關(guān)系，再說一說用方程解決問題。第二層：比較、總結(jié)師：，剛才在解決第一題時，根據(jù)線段圖找到了這樣的等量關(guān)系，列出方程。（圖 11）第二題，根據(jù)圖找到了等量關(guān)系，列出方程（圖 12），看一看，從等量關(guān)系或者線段圖中兩個問題相同之處？生 1：把兩段線段合起來就是整條線段。生 2：把左右兩部分合起來就是總數(shù)。師：盡管解決不同，

14、但從圖中可以看到，等量關(guān)系都是部分+部分=總數(shù)，只是里面求的部分不一樣。不管求的是哪一部分，都能利用等量關(guān)系列出方程，從而解決問題。（教師邊講解邊課件同步演示）（圖13）設(shè)計意圖1、圖圖比較，發(fā)現(xiàn)問題共性通常情況下，教師講解完這道工程問題就結(jié)束了。而實際上，以相遇講相遇，以工程講工程，這樣的教學(xué)是浮于表面的，也是低效的。同時學(xué)生心中也會產(chǎn)生疑問，前面的例題中老師都在講相遇問題，怎么突然就冒出一個其他問題了呢？此時，教師不妨停下腳步，回頭看看，剛才做過的兩個題目。在動態(tài)呈現(xiàn)的過程中，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，線段圖的結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生改變，只是里面的數(shù)據(jù)發(fā)生了變化。（圖 14）段圖變與不變中，學(xué)生親眼經(jīng)歷了第二幅

15、線段圖的產(chǎn)生過程，親身體會到了工程問題就是變身后的“相遇問題”，兩個問題之間存在著以下的關(guān)系：（表 1）2、式式比較，初現(xiàn)模型框架：通過比較兩個問題的等量關(guān)系，（圖 15）學(xué)生又可以發(fā)現(xiàn)它們的等量關(guān)系都是部分量+部分量=總量，這樣的一個關(guān)系，方程的結(jié)構(gòu)都是(圖16）。3、圖式結(jié)合，抽象出數(shù)學(xué)模型。從圖到式，再從式回到圖，一步一步，層層剖析，尋找兩個問題相通的地方，抓住兩個問題之間的相同數(shù)學(xué)本質(zhì)，使得抽象數(shù)學(xué)模型水到渠成。課堂上，教師以線段圖作為支撐，用式作為提煉，從而更加直觀、形象、具體地讓學(xué)生感受了這是一個怎樣的數(shù)學(xué)模型。（圖 17）從結(jié)構(gòu)上來講，這其實是部總關(guān)系模型，這種模型講述的是總量與

16、部分量之間的關(guān)系，也就是解決問題十一種類型中的一種。通過兩次比較，學(xué)生對相遇問題的理解不再局限于行程問題，也對抽象的數(shù)學(xué)模型有了深刻地認(rèn)識。用線段圖和等量關(guān)系在兩個問題之間搭起橋梁，尋找共性，將工程問題與相遇問題進行了一個對比與溝通，從而使學(xué)生感受到抽象數(shù)學(xué)模型的自然性、合理性和必要性。同時感受圖變與不變的過程中讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的形成過程。不過到現(xiàn)在為止，學(xué)生只是在相遇問題和行程問題中找到了共同的數(shù)學(xué)本質(zhì)，那么其他數(shù)學(xué)情境下呢？學(xué)生自然而然地會想到是不是還有其他數(shù)學(xué)問題也是這樣的一個結(jié)構(gòu)關(guān)系呢？此時，教師要做的就是引領(lǐng)孩子繼續(xù)尋找數(shù)學(xué)情境不同而運算結(jié)構(gòu)相同的數(shù)學(xué)素材， 不斷豐富

17、數(shù)學(xué)模型，繼續(xù)體驗數(shù)學(xué)基本數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)化。（三）三比：變換情境，模型在教學(xué)完相遇問題的完整教學(xué)結(jié)構(gòu)后，教師接連呈現(xiàn)了幾個問題，五師：圖，你還能聯(lián)想到哪些類似的數(shù)學(xué)問題呢？留給學(xué)生適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思考和數(shù)想的時間師：快速讀題（圖 18），根據(jù)題意，將線段圖中括號填完整，再說一說等量關(guān)系。師：根據(jù)剛才找到的等量關(guān)系，只列方程不解答。師：仔細(xì)這幾個問題，盡管這些問題情境不同，但是它們有相同的地方嗎？設(shè)計意圖此時此刻，在學(xué)生腦海中已經(jīng)建立了這樣的一個數(shù)學(xué)模型，但是這個模型的內(nèi)容是單薄的，僅僅是工程問題和相遇問題。教師先問學(xué)生：“圖，你還能聯(lián)想到哪些類似的數(shù)學(xué)問題呢？”看似不經(jīng)意的一句話，其實是激發(fā)學(xué)生的學(xué)

18、習(xí)，學(xué)生思考，根據(jù)已有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，進行數(shù)想。等學(xué)生有了一定的聯(lián)想和思考后，教師便呈現(xiàn)各種各樣的數(shù)學(xué)情境，進行讀題填圖說等量關(guān)系只列式不計算的鞏固練習(xí)。教師所呈現(xiàn)的三個數(shù)學(xué)情境，以前只是單一的呈現(xiàn)并解決，而此時它們的作用在于讓學(xué)生體會這些問題都利用線段圖搭建了一座橋梁。從一開始的填線段圖中，學(xué)生可以感受到圖不變，變的是每部分的名稱和所求的部分；再到后來的列式不解答，學(xué)生又可以感受到等量關(guān)系的結(jié)構(gòu)沒有變，方程的結(jié)構(gòu)沒有變。在變與不變的輪番呈現(xiàn)中，讓學(xué)生感受到不是只有相遇問題和工程問題有這樣的聯(lián)系，其他很多數(shù)學(xué)問題都符合這樣的數(shù)學(xué)模型的，對于學(xué)生感悟模型有很大的幫助。重新解決這些問題的過程，對于

19、學(xué)生來說又是一種新的體會和感觸，課堂中有學(xué)生情不自禁地發(fā)出“哦哦”，仿佛然大悟，原來是這樣啊！以大量豐富的具體情境作為認(rèn)識的感性支撐，學(xué)生的思維已經(jīng)不再拘泥于相遇問題了，看似課堂教學(xué)跳出了相遇問題，實際上這些數(shù)學(xué)問題都是符合相遇問題的數(shù)量關(guān)系的特點，由此學(xué)生對相遇問題又有了更加深入、更加本質(zhì)的認(rèn)識，也對這個數(shù)學(xué)模型的框架有了更加清晰的認(rèn)識。三、縱向兩融合，潛移默化，淡化模型（一）類型融合，擴充模型面的幾個環(huán)節(jié)中，從線段圖到等量關(guān)系再到方程，從相遇問題到工程問題再到購物、面積等問題，雖然情境各不相同，但是學(xué)生已經(jīng)開始慢慢地感悟“”這一基本的數(shù)學(xué)模型。此時，學(xué)生已經(jīng)產(chǎn)生了一定的定勢思維，教師應(yīng)該做

20、的不再是鞏固模型，而是應(yīng)該拓寬數(shù)學(xué)模型的外延，求同存異，多種相似類型融合，淡化數(shù)學(xué)模型，從而幫助學(xué)生內(nèi)化模型。1、從過渡到數(shù)學(xué)素材：五（1）、（2）兩班去種 52 棵樹，一班先種 12 棵，剩下的由二班完成。二班每天種 10 棵，需要幾天完成任務(wù)？（解：設(shè)需要 x 天完成任務(wù)。)設(shè)計意圖面解決中，求部分量都是需要兩個量相乘得到的，而事實上有些情況下，是可以直接用一個量來表示部分量的。這個問題就是以植樹為情境，設(shè)的 x 只和二班有關(guān)，可以直接用 12 棵來表示一班的植樹量。將原來部分量中的看成了一個整體，學(xué)生也體會到了要根據(jù)實際情況表示部分量，不管是其中的部分量采用怎樣的表達形式，它們的等量關(guān)系

21、結(jié)構(gòu)仍然是不變的，依舊是部分量與總量的關(guān)系，將原有數(shù)學(xué)模型的范圍又?jǐn)U大了一些。2、從過渡到數(shù)學(xué)素材： A 地和 B 地相距 341 千米，甲乙兩艘輪船同時從 A 地、B 地相向而行，甲船每小時行 32.5 千米，乙船每小時行 35.7 千米，兩船出發(fā)多久,再行駛 172.8 千米就能相遇了？()解：設(shè)兩船出發(fā) x 小時后，再行駛 172.8 千米就能相遇了35.7x32.5x172.8=34135.7x32.5x172.8=341設(shè)計意圖這個數(shù)學(xué)問題的目的是為了打破學(xué)生對+=這個固定框架的，是在上一題的基礎(chǔ)上，又增加了行駛 172.8 千米這一個量，也就是在原來的框架上增加為+172.8=，模型中的部分量不應(yīng)該局限于兩個，所以將原來