高二數(shù)學(xué)人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)第三章3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)設(shè)計(jì)

1、PAGE PAGE 6橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析：本節(jié)課是普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)（人教A版）第三章第一節(jié)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程第一課時(shí)。用一個(gè)平面去截一個(gè)對(duì)頂?shù)膱A錐，當(dāng)平面與圓錐的軸夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線，我們將這些曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當(dāng)時(shí)人們從純粹幾何學(xué)的觀點(diǎn)研究了這種與圓密切相關(guān)的曲線，它們的幾何性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的自然推廣。17世紀(jì)初期，笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，人們開始在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)方法研究圓錐曲線。在這一章中，我們將繼續(xù)用坐標(biāo)法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過(guò)方

2、程研究它們的簡(jiǎn)單性質(zhì)，并用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題和實(shí)際問題，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。解析幾何是數(shù)學(xué)一個(gè)重要的分支,它溝通了數(shù)學(xué)中數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對(duì)象之間的聯(lián)系。在第二章中學(xué)生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,并在平面直角坐標(biāo)系中研究了直線和圓這兩個(gè)基本的幾何圖形，在本章，教材利用三種圓錐曲線進(jìn)一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題。由于教材以橢圓為重點(diǎn)說(shuō)明了求方程、利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法,然后在雙曲線、拋物線的教學(xué)中應(yīng)用和鞏固，因此“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”起到了承上啟下的重要作用。本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等。因

3、此，教學(xué)時(shí)應(yīng)重視體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法及價(jià)值。二、教學(xué)目標(biāo)：按照教學(xué)大綱的要求，根據(jù)教材分析和學(xué)情分析，確定如下教學(xué)目標(biāo)：1知識(shí)與技能目標(biāo)：理解橢圓的定義。掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在化簡(jiǎn)橢圓方程的過(guò)程中提高學(xué)生的運(yùn)算能力。2過(guò)程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過(guò)程，學(xué)習(xí)從具體實(shí)例中提煉數(shù)學(xué)概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生的歸納概括能力。鞏固用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生具有利用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題的意識(shí)3情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)：充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進(jìn)形成研

4、究氛圍和合作意識(shí)重視知識(shí)的形成過(guò)程教學(xué)，讓學(xué)生知其然并知其所以然，通過(guò)學(xué)習(xí)新知識(shí)體會(huì)到前人探索的艱辛過(guò)程與創(chuàng)新的樂趣通過(guò)對(duì)橢圓定義的嚴(yán)密化，培養(yǎng)學(xué)生形成扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)通過(guò)經(jīng)歷橢圓方程的化簡(jiǎn),增強(qiáng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美利用橢圓知識(shí)解決實(shí)際問題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性和知識(shí)的力量，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心三、教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：橢圓定義的形成過(guò)程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、坐標(biāo)化的基本思想難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)，坐標(biāo)法的應(yīng)用四、教法分析：新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進(jìn)者，使教學(xué)過(guò)程成為師生交流、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。本

5、節(jié)課采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法，并以多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過(guò)程，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：（一）新課引入師：請(qǐng)同學(xué)們回顧我們是如何來(lái)研究直線和圓的？師：我們找到確定直線和圓的幾何要素，得到他們的定義。然后通過(guò)定義建立方程，再由方程探索性質(zhì)，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題。那么本章我們?nèi)匀挥眠@個(gè)思路來(lái)研究圓錐曲線。師：用一個(gè)平面去截圓錐，當(dāng)截面與軸所成角度不同時(shí)，得到的截口曲線也不同。它們分別是橢圓，雙曲線，拋物線。統(tǒng)稱為圓錐曲線。圓錐曲線在生活中應(yīng)用廣泛，例如行星運(yùn)行的

6、軌道是橢圓，化工煙囪是由雙曲線旋轉(zhuǎn)而成，雷達(dá)的截面曲線是拋物線。師：圓、橢圓、雙曲線、拋物線一起構(gòu)成了我們的圓錐曲線，這也是“圓錐曲線”名稱的由來(lái)，他們之間既有密切的聯(lián)系，也有明顯的區(qū)別.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼在他的傳世之作圓錐曲線論中就是以截線的定義用幾何的方法創(chuàng)立了相當(dāng)完美的理論，但晦澀難懂，前面我們學(xué)習(xí)了笛卡爾創(chuàng)立的坐標(biāo)法，我們能否將橢圓的問題也用坐標(biāo)法加以解決呢？答案是肯定的，但是我們需要找到將橢圓問題問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題所需要的性質(zhì).(展示丹德林雙球試驗(yàn)，歸納出橢圓的代數(shù)定義)橢圓的性質(zhì)：橢圓上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)。即橢圓滿足的代數(shù)條件為（為定值），回顧圓的定義及畫法，開

7、始下面的實(shí)驗(yàn)及活動(dòng)。師：借鑒圓的畫法，如果把繩子兩端固定，用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在圖紙上慢慢移動(dòng)，看看能畫出什么圖形？（請(qǐng)三名同學(xué)上黑板共同參與實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，其他同學(xué)分組進(jìn)行）第一幕：，3名學(xué)生順利完成任務(wù)（也為推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程畫好圖形）；第二幕：，學(xué)生A與學(xué)生B固定好繩子后，學(xué)生C用粉筆勾不動(dòng)繩子，在其他同學(xué)提示性，畫出線段；第三幕：，學(xué)生A與學(xué)生B拉著繩子在拔河似的爭(zhēng)執(zhí)不下，在學(xué)生笑聲中“表演結(jié)束”師：好，感謝3名同學(xué)的精彩表演，哪位同學(xué)說(shuō)說(shuō)你觀察到了什么？在圖形定義和丹德林雙球模型的鋪墊下，橢圓的繪制方法和數(shù)量定義（即距離定義）水到渠成?？偨Y(jié)歸納橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 、F2

8、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。（在歸納定義時(shí)強(qiáng)調(diào)定義要滿足三個(gè)條件：在平面內(nèi)、任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)、常數(shù)大于）(二) 總結(jié)歸納，形成定義1.橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.在歸納橢圓定義的過(guò)程中，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況，不斷引導(dǎo)他們逐步加深理解并完善橢圓的定義，在引導(dǎo)中突出體現(xiàn)“常數(shù)”及“常數(shù)的范圍”等關(guān)鍵詞與相應(yīng)的特征.2.這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距.記為2c.（設(shè)計(jì)意圖：改變單一、被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)

9、的主人，給他們提供一個(gè)自主探索學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，讓他們通過(guò)觀察、討論，歸納概括出橢圓的定義，這樣既獲得了知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維、歸納概括的能力.)3.教師引導(dǎo).概念中應(yīng)說(shuō)明的幾點(diǎn)（1）.平面大前提；（2）.任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)2a；（3）.常數(shù)2a大于焦距2c.4.師生共同完善橢圓定義的集合語(yǔ)言：5.概念的深化平面內(nèi)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)M的軌跡是：當(dāng)|MF1|+|MF2|F1F2|時(shí)點(diǎn)M的軌跡是為：橢圓思考：在定義中，如果沒有的條件，動(dòng)點(diǎn)的軌跡又是什么？當(dāng)|MF1|+|MF2|=|F1F2|時(shí)點(diǎn)M的軌跡為:線段當(dāng)|MF1|+|MF2|F1F2|時(shí)點(diǎn)M的軌

10、跡不存在（三）橢圓標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)1.復(fù)習(xí)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的基本步驟（由學(xué)生回答，不正確的教師給予糾正）2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的探求( 1 ) 建系：（思考：如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？）學(xué)生回答，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)建系的基本原則. (關(guān)注對(duì)稱性，方程的最簡(jiǎn)性)（2）設(shè)點(diǎn)：設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)；（3）列式：將條件式代數(shù)化，得（4）化簡(jiǎn)：（通過(guò)設(shè)問、點(diǎn)撥“怎么化簡(jiǎn)帶根式的式子”突破難點(diǎn)學(xué)生會(huì)提出兩種方案：一、是直接將根式平方。二、是將其中一個(gè)根式平移再平方.這時(shí)教師讓學(xué)生進(jìn)行小組討論，對(duì)比、分析這兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn).教師引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)以上同學(xué)們提出的這兩種方法都需要進(jìn)行兩次平方，只是方法二計(jì)算較方法一較簡(jiǎn)單.）

11、先讓學(xué)生各自在練習(xí)本上自行化簡(jiǎn)，在此過(guò)程中，教師一邊巡視，一邊給予指導(dǎo)和提示，然后選出12位學(xué)生的推導(dǎo)過(guò)程展示出來(lái)，并請(qǐng)學(xué)生本人作簡(jiǎn)要陳述然后教師提出： = 1 * GB3 怎么能讓方程 更簡(jiǎn)潔？ = 2 * GB3 怎么能讓方程更簡(jiǎn)潔？的引入：你在哪見過(guò)？（勾股定理，不妨設(shè),再化簡(jiǎn)方程）得橢圓的方程為（注意引導(dǎo)總結(jié)的大小關(guān)系）該方程叫做焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(設(shè)計(jì)意圖：暴露自然思維，通過(guò)比較，得出最簡(jiǎn)潔的方案，而不是被動(dòng)地接受教材或老師強(qiáng)加給的方法，使學(xué)生完全成了學(xué)習(xí)的主人，由被動(dòng)的接受變成主動(dòng)的獲取。通過(guò)討論，讓學(xué)生互相交流，互相學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們的合作意識(shí)和謙虛好學(xué)的品質(zhì)。在師生互動(dòng)

12、的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，使他們的觀察能力、運(yùn)算能力、推理能力得到訓(xùn)練，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。并感受橢圓方程、圖形的對(duì)稱美，簡(jiǎn)潔美，獲得成功的喜悅！)引入的幾何意義：讓點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軸正半軸上，由學(xué)生觀察圖形自行獲得的幾何意義，讓學(xué)生在講解的過(guò)程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，引出特征三角形，也為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)照?qǐng)D形加以引導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生明白方程中字母的幾何意義，對(duì)方程的理解有很大的作用.）思考：如果橢圓的焦點(diǎn)在軸上，那橢圓的方程又如何？讓學(xué)生猜想方程，并說(shuō)明如何驗(yàn)證？方法1：焦點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)椋貜?fù)推導(dǎo)過(guò)程，布置為作業(yè).方法2：引導(dǎo)學(xué)生回答，如果橢圓的焦點(diǎn)在軸上（選取方式不同，調(diào)換軸）,

13、只要將方程中的調(diào)換，可得 ，這個(gè)方程叫焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（設(shè)計(jì)意圖：利用類比對(duì)稱，劃歸的思想讓學(xué)生體會(huì)問題的本質(zhì)所在，只是位置不同，圖形是一致的，得出焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，避免繁雜計(jì)算.）（四） 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及方程特點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程： （） 焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程： （） 學(xué)生思考：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系怎樣?2.如何從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓焦點(diǎn)的位置？（小組討論，教師引導(dǎo):看形式，看細(xì)節(jié)）學(xué)生總結(jié)方程特征：1. 2哪個(gè)變量下的分母大,焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上.（五）應(yīng)用1在橢圓中， 3 ， 2 ，其焦點(diǎn)位于軸上， 焦點(diǎn)坐標(biāo)是. 2在橢圓 中 4 ， 焦點(diǎn)位于軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是. 3的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是 . (待定系數(shù)法)4若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.教師總結(jié)求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：定位，定量.常用方法：待定系數(shù)法（設(shè)計(jì)意圖1、讓學(xué)生體會(huì)橢圓定義在解題中的重要作用; 2、學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; 分析解答中注意發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的閃觀點(diǎn)，注重不同思維、方法的碰撞.） .(六）回顧反思?xì)w納提煉思考:1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要知識(shí)是什么? 2.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用方法是什么？3.本節(jié)課涉及到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？4.提煉觀點(diǎn)：一動(dòng)二定求和常：兩個(gè)方程大對(duì)焦；三個(gè)字母勾股弦；四個(gè)想法留心間：求美，求簡(jiǎn)，定義，待定系數(shù)