六、誤差基本知識(shí)

1、第六章 測(cè)量誤差基本知識(shí)第一節(jié) 測(cè)量誤差第二節(jié) 評(píng)定精度的指標(biāo)第三節(jié) 誤差傳播定律第四節(jié) 算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差第五節(jié) 加權(quán)平均值及其精度評(píng)定要求1.掌握測(cè)量誤差的分類及其存在規(guī)律；2.掌握衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)、算術(shù)平均值及其中誤差的基本概念和運(yùn)算；3.了解誤差傳播定律。 1第六章 測(cè)量誤差基本知識(shí)重點(diǎn)誤差的分類及特點(diǎn)中誤差誤差傳播定理 難點(diǎn)誤差傳播定理中誤差算術(shù)平均值的中誤差白塞爾公式 261 測(cè)量誤差舉例： 1、對(duì)某一三角形的三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行觀測(cè)，其和不等于180； 2、所測(cè)閉合水準(zhǔn)路線的高差閉合差不等于零等。A1234ABC原因：觀測(cè)值中包含有測(cè)量誤差。361 測(cè)量誤差真值：任何一個(gè)觀測(cè)量客觀

2、上總存在著一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值，這一數(shù)值稱為該觀測(cè)量的真值。用X表示。觀測(cè)值：通過觀測(cè)得到的數(shù)值稱為該量的觀測(cè)值，用Li（i=1,2,n）表示真誤差（誤差）：真值與觀測(cè)值之差稱為真誤差，用表示：i=X-Li （i=1,2,n）真值X客觀上存在，實(shí)際上無法得到4一、誤差來源來源主要有以下三個(gè)方面： 1、測(cè)量儀器 每種儀器有一定限度的精度，因而觀測(cè)值必然帶有誤差，如水準(zhǔn)尺的分劃誤差； 同時(shí)儀器本身在設(shè)計(jì)、制造、安裝、校正等方面也存在一定的誤差。 如：鋼尺的刻劃誤差、度盤的偏心等。 52、觀測(cè)者:三方面因素綜合起來稱為觀測(cè)條件。由于觀測(cè)者感覺器官鑒別能力有一定的局限性，在儀器安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等

3、方面都產(chǎn)生誤差。 3、外界條件： 溫度、濕度、大氣折光等因素都會(huì)對(duì)觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。6根據(jù)觀測(cè)誤差對(duì)觀測(cè)成果的影響性質(zhì)，分為系統(tǒng)誤差，偶然誤差和粗差3種。 1、系統(tǒng)誤差： 定義：在相同的觀測(cè)條件下作一系列觀測(cè)，如果出現(xiàn)的誤差在符號(hào)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱“系統(tǒng)誤差”。 舉例：用一把名義為30m長、而實(shí)際長度為30.02m的鋼尺丈量距離，每量一尺段就要少量2cm，該2cm誤差在數(shù)值上和符號(hào)上都是固定的，且隨著尺段的倍數(shù)呈累積性。處理：利用尺長方程進(jìn)行尺長改正。二、誤差的分類：71、系統(tǒng)誤差處理方法： 1、檢校儀器； 2、對(duì)觀測(cè)值施加改正數(shù)； 3、采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法，使

4、系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱。 特點(diǎn)：符號(hào)、大小相同或按一定規(guī)律變化； 重復(fù)觀測(cè)難以發(fā)現(xiàn)。 盡可能消除或限制到最小程度。82、偶然誤差：定義：在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都表現(xiàn)出偶然性，即從單個(gè)誤差來看，該誤差的大小及符號(hào)沒有規(guī)律，但從大量誤差的總體來看，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這類誤差稱為偶然誤差或隨機(jī)誤差。原因：人力所不能控制的或無法估計(jì)的因素如經(jīng)緯儀的照準(zhǔn)誤差、水準(zhǔn)尺估讀毫米誤差。 特點(diǎn)：符號(hào)、大小不一致，表面沒有規(guī)律； 抵償性； 不可消除，不可避免的。處理：多次重復(fù)觀測(cè)取平均值抵消部分偶然誤差。93、粗差：粗大誤差注意： 粗差：如讀錯(cuò)、記錯(cuò)等。這主要是由于粗心大

5、意或各種干擾引起。如瞄錯(cuò)目標(biāo)、讀錯(cuò)大數(shù)等； 粗差值大大超過系統(tǒng)誤差或偶然誤差。粗差不屬于誤差范疇，不僅大大影內(nèi)測(cè)量成果的可靠性，甚至造成返工。 采取適當(dāng)?shù)姆椒ê痛胧梢员苊獯植畎l(fā)生。 10系統(tǒng)誤差可以按照現(xiàn)代測(cè)量誤差理論和測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法消除或削弱；粗差可以探測(cè)并剔除；觀測(cè)結(jié)果主要存在的誤差是偶然誤差，可以進(jìn)行適當(dāng)處理，求得觀測(cè)量的最可靠值。1162 偶然誤差的特性 人們從無數(shù)測(cè)量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，大量的偶然誤差的分布表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。下面通過實(shí)例來說明這種規(guī)律性。 一、舉例： 例：某一測(cè)區(qū)，在相同的觀測(cè)條件下共觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部內(nèi)角，每個(gè)三角形的內(nèi)角和真誤差（三角閉合差）由下式計(jì)算

6、：ABC12將358個(gè)i進(jìn)行整理： 以3”為區(qū)間長度進(jìn)行分區(qū)； 統(tǒng)計(jì)各區(qū)間內(nèi)誤差的個(gè)數(shù)k ； 統(tǒng)計(jì)“誤差出現(xiàn)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的頻率k/n（n為誤差個(gè)數(shù)）”。得到誤差分布表13誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.017

7、24以上0000001810.5051770.4953581.000358個(gè)三角形內(nèi)角和真誤差分布表14直方圖：橫坐標(biāo)：三角形內(nèi)角和的真誤差 ； 縱坐標(biāo)：頻率除以區(qū)間間隔d。+3+6+9+12+15+18+21-24+24-21-18-15-12-9-6-312.611.512.811.29.26.44.73.01.71.19.25.94.53.61.40.6頻率直方圖誤差分布曲線：如果將誤差區(qū)間縮小，各矩形頂部形成的折線就變成一條光滑曲線，稱偶然誤差的概率分布曲線。152、大小的規(guī)律：小的比大的機(jī)會(huì)多（小誤差的密集性）；即3、符號(hào)：絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等（正負(fù)誤差的對(duì)抗性）；4、

8、平均值：算術(shù)平均值隨觀測(cè)次數(shù)的增加而趨近于零（抵償性），即：從圖表中可以看出偶然誤差有如下特性：1、范圍：在一定的觀測(cè)條件下，誤差的絕對(duì)值有一定的數(shù)值（有界性），即：16精度：一組誤差分布的密集或離散程度。相同觀測(cè)條件下，一組觀測(cè)對(duì)應(yīng)一種確定的誤差分布（該組的每一觀測(cè)值為同精度觀測(cè)值），分布密集者精度高。一、中誤差： 愈大，曲線愈平緩，誤差分布分散， 愈小，曲線愈陡峭，誤差分布密集，曲線的2拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)值：拐=63 評(píng)定精度的指標(biāo)-1+1+2-2的大小反映精度的高低，故將標(biāo)準(zhǔn)差作為衡量精度的指標(biāo)。17一、中誤差：根據(jù)離散度的大小可以衡量觀測(cè)精度的高低，而方差正是反應(yīng)離散度的數(shù)字特征。方差：標(biāo)準(zhǔn)

9、差的平方標(biāo)準(zhǔn)差：實(shí)際測(cè)量中，觀測(cè)個(gè)數(shù) n 是有限的，由有限個(gè)觀測(cè)值的偶然誤差求得的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值（估值）為中誤差，用 m 表示。問題：中誤差和真誤差的區(qū)別？18舉例ABC例：中誤差的計(jì)算：下表為兩組三角形內(nèi)角和閉合差，試計(jì)算觀測(cè)值的中誤差。192組三角形內(nèi)角和閉合差舉例20舉例結(jié)論：第一組觀測(cè)結(jié)果精度高。 計(jì)算時(shí)，m取2位有效數(shù)字，數(shù)值前冠以,數(shù)值后寫單位； 標(biāo)準(zhǔn)差已經(jīng)確定，做出對(duì)應(yīng)的偶然誤差正態(tài)分布曲線；21根據(jù)誤差分布曲線，可知各區(qū)間概率分布：二、極限誤差： 定義：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定限值，這個(gè)限值就是極限誤差。常以三倍的中誤差為作為偶然誤差的容許值（容許誤差或

10、限差），嚴(yán)格時(shí)，以2倍的中誤差作為限差。 根據(jù)：誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的概率。 22定義：中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值之比。 三、相對(duì)誤差：特點(diǎn)： 是一個(gè)比值，不需要正負(fù)號(hào)。 相對(duì)誤差是個(gè)無名數(shù)，分子為1，即1/N（N為整數(shù)）； 距離測(cè)量的精度采用相對(duì)誤差表示。比較：鋼尺測(cè)量1000m和80m兩段距離，2者觀測(cè)值的中誤差均為2cm，但2者的相對(duì)中誤差分別為0.02/1000=1/50000和0.02/80=1/4000，前者量距精度高于后者。與相對(duì)誤差對(duì)應(yīng)，真誤差、中誤差、極限誤差均為絕對(duì)誤差2363 誤差傳播定律 AB水準(zhǔn)路線分3段測(cè)量，則hAB=h1+h2+h3，如何由各段觀測(cè)高差的中誤差計(jì)算A、

11、B兩點(diǎn)高差的中誤差？定義：闡述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。 24一、線性函數(shù)設(shè)線性函數(shù)z為： z=k1x1+k2x2+klxl (1)x1，x2，xl獨(dú)立觀測(cè)值，其中誤差分別為m1，m2，ml，k1，k2，kl為任意常數(shù)， 設(shè)x1，x2，xl分別含有真誤差x1 ， x2 ， ， xl(3)25一、線性函數(shù)26一、線性函數(shù)2、和差函數(shù)：由上式可得到如下函數(shù)的誤差傳播定律表達(dá)式：1、倍函數(shù)：27舉例例1：測(cè)得圓形半徑r1.465m，已知中誤差m2mm，求周長及周長中誤差。1、列出周長l函數(shù)式2、由倍函數(shù)誤差傳播式求周長中誤差3、寫出周長計(jì)算結(jié)果2864 算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差真誤差和的平均值算術(shù)平均值假設(shè)某一量真值為X，對(duì)其進(jìn)行n 次同精度觀測(cè)，觀測(cè)值L1，L2 ，Ln，求其最可靠值，即最或然值。 由真誤差定義式， 則各觀測(cè)值的真誤差為：最或然值:最接近真值的值。一、算術(shù)平均值：29真值、真誤差都是未知數(shù)，怎么辦？三、按觀測(cè)值的改正值計(jì)算中誤差中誤差的定義式：算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差稱為觀測(cè)值的改正數(shù)（v）引入用改正數(shù)計(jì)算算術(shù)平均值中誤差的公式30本章練習(xí)題1.偶然誤差與系統(tǒng)誤差有什么區(qū)別?偶然誤差有哪些特性?2.何謂中誤差、相對(duì)誤差和極限誤差?3.對(duì)某線段丈量了5次，觀測(cè)莢果為：49.535m