矩陣與線性變換

1、.矩陣的初步概念 與線性變換矩陣概念的引入線性變換與矩陣的關(guān)系矩陣的乘法1一、矩陣概念的引入幾個引例（）考察三位同學(xué)上學(xué)期無機、高數(shù)兩門課程的成績：無機高數(shù)甲乙丙上面的數(shù)表完全刻畫了三位同學(xué)的考試情況2系數(shù)常數(shù)項（）線性方程組解的情況完全取決于對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究.線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項按原相對位置可排為3（）四種食品(Food)在三家商店(Shop)中,單位量的售價(以某種貨幣單位計)可用以下數(shù)表給出在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域和生活實踐中，許多對象都可以采用上邊的數(shù)表形式表示，進而進行研究4矩陣的定義簡記為橫排稱行，縱排稱列；稱為第行第列的元素5例如：是一個矩陣；是一個n(n+)矩

2、陣；是一個3矩陣；6一些特殊矩陣:實矩陣:元素都是實數(shù).復(fù)矩陣:有些元素是復(fù)數(shù).同型矩陣：行數(shù)相同，列數(shù)相同的幾個矩陣例如：是一個 實矩陣,是一個 復(fù)矩陣,為同型矩陣.7n階（級）矩陣：行矩陣（向量）：n矩陣列矩陣（向量）：n矩陣nn矩陣，記作零矩陣：元素全為的矩陣，記作或是一個三階方（矩）陣；注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如：8對角矩陣：除主對角線上有非零元素外，其余的非主對角線上的元素都是的方陣數(shù)量矩陣：主對角線上元素都相等的對角矩陣9單位矩陣：主對角線上元素全為的對角矩陣對稱矩陣：的方陣反對稱矩陣：的方陣記作或注意：反對稱矩陣的對角線上的元素一定是10相等矩陣：兩個同型矩陣的對應(yīng)行

3、對應(yīng)列的元素相等例 設(shè)解行列式與矩陣的區(qū)別:1. 一個是算式 ，一個是數(shù)表2. 一個行、列數(shù)相同 , 一個行、列數(shù)可不同.3. 對 n 階方陣可求它的行列式.記為:11二、線性變換及其矩陣定義n個變量與m個變量之間的關(guān)系線性變換.一般來說,12對線性變換來說，與矩陣有密切的關(guān)系系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間是相互唯一確定的稱之為線性變換的矩陣13這樣對線性變換的討論就可轉(zhuǎn)化為對相應(yīng)矩陣的討論下面我們看幾個簡單的卻是重要的線性變換（）表示平面上繞坐標原點的一個旋轉(zhuǎn)變換Oxy是變換的矩陣表示關(guān)于x軸的反射（反映）表示關(guān)于原點的中心反射（反映）14（）xOyz表示空間一點繞z軸的一個旋轉(zhuǎn)變換是關(guān)于xoy

4、面的(鏡面)反射變換是關(guān)于ox軸的反映.自己寫出這些變換的矩陣.15關(guān)于線性變換的進一步的話題:新變量與舊變量的個數(shù)相同時的線性變換是我們用的最多的,比如剛才的幾個例子.一般n個變量的線性變換的形式為其矩陣為n階方陣以這些元素為元素的行列式稱為變換的行列式.16如果變換的行列式稱相應(yīng)的線性變換是非奇異的,或非退化的,或是一一變換.否則就是奇異的或退化的.如果線性變換的矩陣是單位矩陣,則稱為恒等變換.你能寫出n個變量的恒等變換的表達式嗎?下面談?wù)勥B續(xù)施行兩個變換的問題假如對空間的任意點先繞z軸旋轉(zhuǎn)角度變?yōu)辄c再作對xoy面的鏡面反射(反映)，變?yōu)辄c則我們要求的是間的關(guān)系17繞z軸的旋轉(zhuǎn)變換的表達式

5、的反映可表為把前一式代入后一式，得18其中可由下列方法得到：19一般地，的線性變換為到到的線性變換為把第一個式子中的變量y代入第二個式子，得到的是變量x與z的關(guān)系，具有形式20變換是連續(xù)施行變換和的結(jié)果，稱為的乘積，記作其中（注意書寫順序！）即矩陣C的第k行第j列的元素等于矩陣B的第k行與矩陣A的第j列的對應(yīng)元素的乘積之和對應(yīng)于線性變換的乘積，我們把矩陣稱為矩陣與矩陣的乘積，記作21例如例例求AB22解注意:只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.一個pm矩陣與一個mn矩陣的乘積是一個pn矩陣23例如是不能相乘的而一階矩陣此例說明矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地例24矩陣乘法滿足的運算規(guī)律：()()();1BCACAB=結(jié)合律（其中 為數(shù)）;矩陣乘法不滿足交換律特別注意：矩陣乘法不滿足消去律，即25 若A是n 階方陣， 則 為A的 次冪，即 方陣的冪：并且例如：有但是同時26思考：在什么條件下，有下列式子成立？27線性變換的矩陣表示對于線性變換如果令則線性變換可表為兩個線性變換的乘積就可表示為多么簡潔??！28例求變換的乘積解變換的矩陣分別為29最