2022年三角恒等變換知識(shí)歸納總結(jié)

1、三角恒等變換學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié) 2022/10/24 一,基本內(nèi)容串講 1 兩角和與差的正弦,余弦和正切公式如下： sin sin cos cos sin ; cos cos cos msin sin ; tan tan tan 1 mtan tan 對(duì)其變形：tantan=tan +1- 2 二倍角的正弦,余弦,正切公式如下： tantan ,有時(shí)應(yīng)用該公式比較便利； sin 2 sin cos . cos2 2 cos2 sin 2 2cos12 1 2sin . tan 2 12 tan . 2 tan 要熟識(shí)余弦 “倍角 ”與“ 二次” 的關(guān)系（升角 降次,降角 升次）特別留意公式的 三角表達(dá)

2、形式,且要善于變形, 2 cos1 cos 2 , 2 sin 1 cos 2 這兩個(gè)形式 22常用； 3. 幫忙角公式： sin x cos x 2 sin x 4; 3 sin x cos x 2sin x 6a sin x b cos x a 2 . b2 sin x 4. 簡(jiǎn)潔的三角恒等變換 （1）變換對(duì)象：角,名稱(chēng)和形式,三角變換只變其形,不變其質(zhì)； （2）變換目標(biāo)：利用公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式,達(dá)到化簡(jiǎn),運(yùn)算或證明的目的； （3）變換依據(jù)：兩角和與差的正弦,余弦,正切公式和二倍角的正弦,余弦,正切公 式； （4）變換思路：明確變換目標(biāo),選擇變換公式,設(shè)計(jì)變換途徑； 5. 常用學(xué)問(wèn)點(diǎn)： （

3、1）基本恒等式： 2 sin 2 cos sin 1, cos tan （留意變形使用,特別 1 的靈敏應(yīng) 用,求函數(shù)值時(shí)留意角的范疇） ； （2）三角形中的角： A B C, sinA r r r r a b cos a, b , sinB C,cosA 0cosB C ； r r agb （3）向量的數(shù)量積： r r agb x1x2 y1 y2 r, a r b x1x2 y1 y2 r r0 a / /b x1 y2 x2 y1 ； 二,考點(diǎn)闡述 1第 1 頁(yè),共 8 頁(yè)考點(diǎn) 1 兩角和與差的正弦,余弦,正切公式 1, sin 20 o cos40 ocos20o sin 40 o 的

4、值等于（ ） ） 2,如 tan 3 , tan 4 ,就 tan 3 等于（ 3,如 3, 就 1 tan 1 tan 的值是 44, 1 tan1 1 tan 2 1 tan 3 L 1 tan 44 1 tan 45 考點(diǎn) 2 二倍角的正弦,余弦,正切公式 . 5,cos 5cos 2的值等于（ ） 提示 : 構(gòu)造分子分母 56, cos20o cos40 o cos60 o cos80 o（ ） ） 3 5,那么 sin 2 A 等于（ 7, 已知 32A 2 ,且 cos A 考點(diǎn) 3 運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行簡(jiǎn)潔的三角恒等變換 8,已知 tan 2 , tan 5 1 ,cos 241 ,

5、 就 tan 4 41 , 就 cos 3 的值等于（ ） 9,已知 sin sin cos 值等于（） 10,函數(shù) f x 2 cos x 12 2 sin x 12 1 是（ ） （ A）周期為 2 的奇函數(shù) （B）周期為 2 的偶函數(shù) （ C）周期為 的奇函數(shù) （D）周期為 的偶函數(shù) 4,常見(jiàn)題型及解題技巧（另外總結(jié)） （一）關(guān)于幫忙角公式： a sin x b cos x a2 b 2 sin x . ） . 其中 cos aab2,sin ab2 b（可以通過(guò) a2 b 2 來(lái)判定最大最小值 22如： 1. 如方程 sin x 3cosx c 有實(shí)數(shù)解,就 c 的取值范疇是2. y

6、2cosx 3sin x 2 的最大值與最小值之和為 . 7如 tan 42, 就 tan . 5（二）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值 0 cos15 例 1 1. 0 cos15 0 sin15 ； 0 2. sin 50 1 0 3 tan10 ; 0 sin15 2第 2 頁(yè),共 8 頁(yè)3. 求 tan 70 otan50 o3 tan 70 tan50 o o 值 ; 4.ABC 不是直角三角形,求證 ： tan A tan B tan C tan A tan B tanC （三）三角函數(shù)給值求值問(wèn)題 47 1. 已知 cos 6 sin 5 3,就 sin 6 的值是; 2. 已知 cos

7、5 ,cos 13 44, , 均為銳角,求 si n 的值； 的值 50 3. 43 4,cos 3,sin 35,求 sin 5413 （四） 三角函數(shù)給值求角問(wèn)題 1. 如 sinA= 5 5,sinB= 10 , 且 A,B 均為鈍角 , 求 A+B 的 值 . ） 10 2. 已知 , , , 且 tan , tan 22是方程 2 x 3 3x 4 0 的兩個(gè)根,求 3.已知 , 均為銳角,且 tan 1, tan 1, tan 1,就 + 的值（ 258 61 , 并且 , 32 5 4144. 已知 tan , tan 均為銳角,求 的值 . 73（五）綜合問(wèn)題（求周期,最值,

8、對(duì)稱(chēng)軸,增減區(qū)間等） 1.2022 北京 已知函數(shù) f x 2 2cos 2x sin x . 3）求函數(shù)在 1 求 f 的值； 2 求 f x 的最大值和最小值 32. 已知函數(shù) f x 2sin x cos x . 1 求 f x 的最小正周期； 2 求 f x 在區(qū)間 , 上的最大值和最小值；（ 6 2 , 的單調(diào)區(qū)間； 三,解題方法分析 1熟識(shí)三角函數(shù)公式,從公式的內(nèi)在聯(lián)系上查找切入點(diǎn) 【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)中顯現(xiàn)的公式較多,要從角名稱(chēng),結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,做到真 正的懂得,記熟,用活；解決問(wèn)題時(shí)究竟使用哪個(gè)公式,要抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì),善于聯(lián)想,靈敏運(yùn)用； 3第 3 頁(yè),共 8 頁(yè)

9、例 1 設(shè) a 1 o cos 6 3 o sin 6 , b o 2 tan13 , c o sin 50 , 就有（ ） 221 tan 2 13 oo 2cos 25【點(diǎn)評(píng)】：此題屬于 “懂得 ”層次,要能善于正用,逆用,變用公式；例如： sin cos = 1 sin 2 2,cos = sin2 2sin , cos 2sin 2cos2 , 2tan 21 - tantan 2 , 1 2 sin cos sin cos 2 ,1 cos2 2 cos 2,1 cos2 2 2 sin , cos21 cos 2 , 2 sin 1 cos 2 2, tan tan =tan +1

10、- tan tan 2等；另外,三角函數(shù)式 asinx+bcosx 是基本三角函數(shù)式之一,引進(jìn)幫忙角,將它化為 a 2 b2 sin x 即 asinx+bcosx= a 2 b 2 sin x （其中 tan b）是常用轉(zhuǎn)化手段； a特別是與特別角有關(guān)的 sin cosx ,sinx 3 cosx,要嫻熟把握其變形結(jié)論； 2明確三角恒等變換的目的,從數(shù)學(xué)思想方法上查找突破口 （1）運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想,實(shí)現(xiàn)三角恒等變換 【方法點(diǎn)撥】教材中兩角和與差的正,余弦公式以及二倍角公式的推導(dǎo)都表達(dá)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想, 應(yīng)用該思想能有效解決三角函數(shù)式化簡(jiǎn),求值,證明中角,名稱(chēng),形式的變換問(wèn)題； 例 2 已

11、知 3, cos（）= 12 , sin （+） = 3 ,求 sin2 的 2 4 13 5值（ 56 65 （此題屬于 “ 懂得 ”層次,解答的關(guān)鍵在于分析角的特點(diǎn), 例 2 解答： 2=（ ） +（ +） 例 3化簡(jiǎn)： 2sin50+sin10 （ 1+ 3tan10 ） 2 sin 80 【解析】：原式 = 4第 4 頁(yè),共 8 頁(yè)= 3 【點(diǎn)評(píng)】：此題屬于 “ 懂得 ”層次 , 解題的關(guān)鍵在于靈敏運(yùn)用 “ 化切為弦 ” 的方法,再利用兩角和 與差的三角函數(shù)關(guān)系式整理化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)時(shí)要求使三角函數(shù)式成為最簡(jiǎn)：項(xiàng)數(shù)盡量少,名稱(chēng)盡量少, 次數(shù)盡量底,分母盡量不含三角函數(shù),根號(hào)內(nèi)盡量不含三角函數(shù),

12、能求值的盡量求出值來(lái)； （2）運(yùn)用函數(shù)方程思想,實(shí)現(xiàn)三角恒等變換 【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種,其變換的實(shí)質(zhì)仍是函數(shù)的變換；因此,有時(shí)在三角恒等 變換中,可以把某個(gè)三角函數(shù)式看作未知數(shù),利用條件或公式列出關(guān)于未知數(shù)的方程求解； 例 4：已知 sin （+）= 2 ,sin （ ）= 3 3 4,求 tan tan2 tan tan 的值； tan 【解析】 tan 2 tan tan = tan tan 1 tan tan = tan tan = 17 tantan tan2tan 【點(diǎn)評(píng)】：此題屬于 “ 懂得 ”層次,考查同學(xué)對(duì)所學(xué)過(guò)的內(nèi)容能進(jìn)行理性分析,善于利用題中的條 件 運(yùn)用方

13、程思想達(dá)到求值的目的； （3）運(yùn)用換元思想,實(shí)現(xiàn)三角恒等變換 【方法點(diǎn)撥】換元的目的就是為了化繁為簡(jiǎn),促使未知向已知轉(zhuǎn)化,可以利用特定的關(guān)系,把某個(gè) 式子用新元表示,實(shí)行變量替換,從而順當(dāng)求解,解題時(shí)要特別留意新元的范疇； 例 5：如 sin sin 2 , 求 cos 2cos 的取值范疇； cos 2 2 t 1, 【解析】：令 cos cos t ,就 sin sin 2cos 2【點(diǎn)評(píng)】：此題屬于 “ 懂得 ”層次,解題的關(guān)鍵是將要求的式子 cos cos 看作一個(gè)整體,通過(guò) 5第 5 頁(yè),共 8 頁(yè)代數(shù),三角變換等手段求出取值范疇； 3關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合,從學(xué)問(wèn)聯(lián)系上查找結(jié)合

14、點(diǎn) 【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的聯(lián)系比較廣泛,主要表達(dá)在與函數(shù),平面對(duì)量,解析幾何等學(xué)問(wèn) 的 聯(lián)系與綜合,特別是與平面對(duì)量的綜合,要適當(dāng)留意學(xué)問(wèn)間的聯(lián)系與整合； r 例 6：已知：向量 a 3, 1 r, b sin 2x, cos2x ,函數(shù) f x r r a b （1）如 f x 0 且 0 x ,求 x 的值； x 7 或 12 12 r r（2）求函數(shù) f x 取得最大值時(shí),向量 a 與 b 的夾角 【解析】： f x r r a b 3 sin 2x cos2x （2） 2sin2 x 6r 2 時(shí),由 a r b r | a | r |b | cos r r a, b 2 f

15、xmax 2 ,當(dāng) f x 得 cos r r a, b r ra | a | r b r| b | 1, Q 0 rr a, b rr a,b 0【點(diǎn)評(píng)】：此題屬于 “懂得 ”中綜合應(yīng)用層次,主要考查應(yīng)用平面對(duì)量,三角函數(shù)學(xué)問(wèn) 的分析和運(yùn)算才能 . 四,課堂練習(xí) 1sin165o= （ ） A 1 2B 3C 642D 26242sin14ocos16o+sin76ocos74o 的值是（ （ ） A 3B 127C 3 22D 1 22,0 , cos x 4,就 tan 2 x ） A 724 B C 24 73已知 x 524 D 24 76第 6 頁(yè),共 8 頁(yè)4化簡(jiǎn) 2sin（ x

16、）sin（ +x）,其結(jié)果是（ 4 4） sin2x cos2x cos2x sin2x 5sin 3 cos 12 12 的值是 （ ） A0 B 2C 2D 2 sin 512 6 1tan 75 tan 75 的值為 A 23B 23C 23D 23337如 cos 23 , 5 sin 24 ,就角 5的終邊確定落在直線（ ）上； A 7 x 24 y 0B 7x 24 y 0 C 24 x 7 y 0D 24 x 7 y 08 cos cos sin sin . 9 1 1o tan15 o tan1510 tan 20 oo tan40 o o 3 tan 20 tan 40 的值是 . 11求證： 2 cos tan 21sin 2 12 已知 tan 2 1,求 tan 的值 cot 24313已知 0 x 4,sin 4x 5 , 求 cos 2 x 13 cos x 4的值； 14如 A 0, , 且 sin A cos A 15在 A