數(shù)學(xué)分析選論習(xí)題解.華東師大

1、數(shù)學(xué)分析選論習(xí)題解答第一章 實(shí)數(shù)理論1 .把 1.3例4改為關(guān)于下確界的相應(yīng)命題，并加以證明.證 設(shè)數(shù)集S有下確界，且 inf S S ,試證：(1)存在數(shù)列anS,使liman；n(2 )存在嚴(yán)格遞減數(shù)列 an S,使lim an . n證明如下：(1)據(jù)假設(shè)，a S,有a ；且 0, a S,使得 a.現(xiàn)依1次取n n, n 1,2,，相應(yīng)地 an S,使得an n , n 1, .證明 1.3例6的因n 0(n),由迫斂性易知lim an.n(2)為使上面得到的a。是產(chǎn)格遞減的，只要從 n 2起，改取n minan1 , n 2,3,就能保證an 1(an 1n an , n 2, 3,

2、A, B為非空有界數(shù)集，SB，試證:inf Smininf A, inf B現(xiàn)證明如下.由假設(shè)，SAB顯然也是非空有界數(shù)集，因而它的下確界存在.故對(duì)任何x S,有x A或x B ,由此推知 xinf A或x inf B ,從而又有x min inf A, inf B inf S min inf A, inf B另一方面，對(duì)任何 x A,有x S ,于是有x inf Sinf A inf S ；同理又有inf B inf S ,由此推得inf S min inf A, inf B .綜上，證得結(jié)論inf S min inf A, inf B 成立.口.設(shè)A, B為有界數(shù)集，且 A B .證明：s

3、up(A B) min sup A, sup B ；inf (A B) max inf A, inf B .并舉出等號(hào)不成立的例子.證 這里只證(2 ),類似地可證(1 ).設(shè) inf A, inf B .則應(yīng)滿足：x A, y B ,有 x , y .于是， z A B ,必有zz max ,，z這說(shuō)明max , 是A B的一個(gè)下界.由于 A B亦為有界數(shù)集，故其下確界存在，且因下確界為其最大下界，從而證得結(jié)論inf A B max inf A, inf B成立.上式中等號(hào)不成立的例子確實(shí)是存在的.例如：設(shè)A (2, 4) , B (0, 1) (3, 5),則 A B (3, 4),這時(shí)

4、inf A 2 , inf B 0,而 inf (A B) 3 ,故得inf A B max inf A, inf B .口.設(shè)A, B為非空有界數(shù)集.定義數(shù)集A B c aba A, b B ,證明：sup(A B) sup A sup B ;inf (A B) inf A inf B .由條件，不妨設(shè)supA supB 0 ,故當(dāng)足夠小時(shí),(sup A supB) 仍為證 這里只證(2 ),類似地可證(1 ).由假設(shè)，inf A, inf B都存在，現(xiàn)欲證inf (A分兩步證明如下：1)因?yàn)?x A, y B,有x , y ,所以 zz x y這說(shuō)明 是A B的一個(gè)下界.0, X0 A,

5、y0 B ,使得xo萬(wàn)，y02從而 Zo Xo yo A B,使得z () ，故是結(jié)論 inf (A B) inf A inf B 得證.5 .設(shè)A,B為非空有界數(shù)集，且它們所含元素皆非負(fù)AB c ab a A, b B證明：sup(AB) sup A sup B ；inf (AB) inf A inf B .證 這里只證(1 ),類似地可證(2 ).由于 c (AB), a A, b B (a 0, b 0),使 c因此sup A sup B是AB的一個(gè)上界.另一方面，0, a0 A, b0 B ,滿足a0 sup A , b0 sup B故 C0 a0b0 (AB)，使得B).依據(jù)下確界定

6、義,A B ,必有是A B的最大下界.于定義數(shù)集a sup A,ab,且 b supB , c sup A sup B,c0 sup A sup B (sup A sup B)一任意小正數(shù).這就證得 supA supB是AB的最小上界，即 inf (AB) inf A inf B 得證.證明：一個(gè)有序域如果具有完備性，則必定具有阿基米德性.證 用反證法.倘若有某個(gè)完備有序域F不具有阿基米德性，則必存在兩個(gè)正元素, F，使序列 n 中沒(méi)有一項(xiàng)大于 .于是， n 有上界( 就是一個(gè))，從而 由完備性假設(shè)，存在上確界sup n .由上確界定義，對(duì)一切正整數(shù) n ,有 n ； 同時(shí)存在某個(gè)正整數(shù) n0

7、，使n0,由此得出(no 2)(no 1),這導(dǎo)致與0相矛盾.所以，具有完備性的有序域必定具有阿基米德性.試用確界原理證明區(qū)間套定理.證 設(shè)an , bn 為一區(qū)間套,即滿足:aia2anbnb2 b1 , Jim (bn an) 0 .由于 an有上界bn有下界ak),因此根據(jù)確界原理，存在sup aninfbn倘若則有bnan0,n 1,2,而這與lim (bnnan)0相矛盾，故又因anbn, n 1, 2,所以 是一切an, bn的公共點(diǎn).對(duì)于其他任一公共點(diǎn)an，bn，n1,2,因此只能是,這就證得區(qū)間套bnan0, nan,bn存在惟一公共點(diǎn).試用區(qū)間套定理證明確界原理.證設(shè)S為一非

8、空有上界的數(shù)集,欲證S存在上確界.為此構(gòu)造區(qū)間套如下：令a1,b1 x。，M ,其中 x。 S( S.aa1 b1),M為S的上界.記C1，若Ci是S的上界，則令a2,b2ai,Ci;否則，若ci不是S的上界，則令a2, b2 Ci, bi . 一般地，若記 Cny，則令an i , bn i n i,2,an,Cn, Cn當(dāng)是S的上界，Cn, bn, Cn不是S的上界，如此得到的 an, bn顯然為一區(qū)間套，接下來(lái)證明這個(gè)區(qū)間套的惟一公共點(diǎn)即為S的上確界.由于上述區(qū)間套的特征是：對(duì)任何n N上界，故 x S ,有x bn ,再由lim bn n界；又因lim an ，故 0 , an n加不

9、是S的上界.根據(jù)上確界的定義，證得bn恒為S的上界，而 an則不為S的，便得X ,這說(shuō)明 是S的一個(gè)上,由于an不是S的上界，因此 更supS .同理可證，若S為非空有下界的數(shù)集，則S必有下確界.試用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界定理.證設(shè) Xn為遞增且有上界 M的數(shù)列，欲證 Xn收斂.為此構(gòu)造區(qū)間套如下：令ai , bi Xi , M ;類似于上題那樣，采用逐次二等分法構(gòu)造區(qū)間套an , bn，使an不是 Xn的上界，bn恒為 Xn的上界.由區(qū)間套定理，an , bn ,且使lim an lim bn .下面進(jìn)一步證明lim Xn.nnn一方面，由Xn bk ,取k的極限，得到Xnlim bk, n

10、 i, 2,k另一方面， 0, K N,使aK;由于aK不是 Xn的上界，故Xn aK ;又因 Xn遞增，故當(dāng)n N時(shí)，滿足Xn Xn .于是有aK XnXn, n N ,這就證得lim Xn . n同理可證 Xn為遞減而有下界的情形.口.試用區(qū)間套定理證明聚點(diǎn)定理.證設(shè)S為實(shí)軸上的一個(gè)有界無(wú)限點(diǎn)集，欲證S必定存在聚點(diǎn).因S有界，故 M 0 ,使得x M , x S .現(xiàn)設(shè)ai, bi M , M ,則S ai, bi .然后用逐次二等分法構(gòu)造一區(qū)間套an , bn,使得每次所選擇的 an , bn都包含了 S中的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).由區(qū)間套定理,應(yīng)用區(qū)間套定理的推論，0,當(dāng)n充分大時(shí)，使得an, b

11、nU（;）；由于an , bn中包含了 S的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，因此 U（;）中也包含了 S的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，根據(jù) TOC o 1-5 h z 聚點(diǎn)定義，上述 即為點(diǎn)集S的一個(gè)聚點(diǎn).口1 1 .試用有限覆蓋定理證明區(qū)間套定理.證 設(shè)an, bn為一區(qū)間套，欲證存在惟一的點(diǎn)an, bn, n 1,2,下面用反證法來(lái)構(gòu)造ai, bi 的一個(gè)無(wú)限覆蓋.倘若an, bn 不存在公共點(diǎn)，則ai, bi 中任一點(diǎn)都不是區(qū)間套的公共點(diǎn).于是， x ai, bi ,an, bn ,使x an, bn .即U （x； x）與某個(gè)an, bn不相交（注：這里用到了 an , bn 為一閉區(qū)間）.當(dāng)x取遍ai, bi 時(shí)，這無(wú)

12、限多個(gè)鄰域構(gòu)成 ai, bi的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋：H U （x; x） x ai, bi.依據(jù)有限覆蓋定理，存在 ai, bi 的一個(gè)有限覆蓋：HUi U(xi； xi) i i,2, , N其中每個(gè)鄰域Ui ani , bni ,i i,2, N .若令K max ni, n2, nN ,則aK , bK ani, bni , i i,2, N，從而包此Ui , i i,2, N()K)N但是 U i覆蓋了 ai, bi ,也就覆蓋了 aK , bK ,這與關(guān)系式（水）相矛盾.所 i i以必定存在an, bn, n i, 2,.（有關(guān) 惟一性的證明，與一般方法相同.）1 2 .設(shè)S為非空有界數(shù)集

13、.證明:sup |x y |x, y SsupS inf S -inf S,supS,且,則S為單元素集，結(jié)論顯|xy | x, y S ,欲證sup E首先,x, y|x y |這說(shuō)明的一個(gè)上界.又因0,不再是S2的上下界，故x0 , y0，使所以xoyo是E的最小上界,| xoyo I (于是所證結(jié)論成立.13 .證明：若數(shù)集 S存在聚點(diǎn),則必能找出一個(gè)各項(xiàng)互異的數(shù)列xnS，使lim xnn證依據(jù)聚點(diǎn)定義，對(duì)1 1,xiS . 一般地，對(duì)于如此得到的數(shù)列xnminxn U必定滿足:1 4 .設(shè)聚點(diǎn)，則2,3,| xn| xn| xn 1S為實(shí)軸上的一個(gè)無(wú)限點(diǎn)集.xn(n試證:xnn 2,3

14、,;lim xn nS的任一無(wú)限子集必有屬于S為有界集;S的所有聚點(diǎn)都屬于 S證 (1)倘若 S無(wú)上界，則對(duì) Ml 1, xi S,使Xi Mi ; 一般地，對(duì)于Mn max n , Xn 1 , Xn S,使Xn Mn , n 2,3,這就得到一個(gè)各項(xiàng)互異的點(diǎn)列 XnS,使lim Xn. S的這個(gè)無(wú)限子集沒(méi)有聚點(diǎn)，與題設(shè)條件相矛盾，所n以S必有上界.同理可證 S必有下界，故 S為有界集.(2)因S為有界無(wú)限點(diǎn)集，故必有聚點(diǎn).倘若S的某一聚點(diǎn) o S ,則由聚點(diǎn)的性質(zhì)，必定存在各項(xiàng)互異的數(shù)列XnS ,使lim Xn0 .據(jù)題設(shè)條件，Xn的惟n一聚點(diǎn) 0應(yīng)屬于S ,故又導(dǎo)致矛盾.所以S的所有聚點(diǎn)

15、都屬于S1 5 .證明：sup anan ,則必有 lim ann.舉例說(shuō)明，當(dāng)上述 屬于an時(shí)，結(jié)論不一定成立.證利用 1.3例4,ankan，使 lim ankn,這說(shuō)明 是an的一個(gè)聚點(diǎn).又因又是an的上界，故an不可能再有比更大的聚點(diǎn).所以an的上極限.an時(shí)，結(jié)論不一定成立.例如,1 supn顯然不是的上極限.指出下列數(shù)列的上、下極限:(3 )1 ( 1)n(2)1)nn2n 1n cos n3(4)2nn 1sin(5)n2 1sin -n na2k2 , a2k 10,故 limnan 2,lim ann1或lim anlim1,則an必定收斂.(2)a2k 4k2k1-，a2k

16、12(3 )n2(4)an2nn 12k 14k 1lim annlimnansin故 lim ann2,limnan(5)ansin nlimnanan為有界數(shù)列,limnan )limnsup(k nak )取極限，即得結(jié)論（1）8 .設(shè) lim ann 1(1) liman(3)若lim annlimnlim ananlimnan,2 2n n-, 2nn 1 ,2n n21 , 2n n8k8k4k,8k8k1, 8k3,2,2,1,8k(n2n 2證明:aninfk n1lim ann1)sinnlimnanlimnan(2)lim(nan )lim ann(ak),inf (k n

17、ak)sup( ak),(2)limn1anlimn1an而n ann1ansupk n ak叫（ak）inf k n aksup(ak) k n令n取極限，即得結(jié)論（1）與（2）lim an lim n n n an1 ，則由（1 ）立即得到lim an lim an ,因此極限 nlim an存在，即得結(jié)論（3）n類似地，若lim an lim nn1an1，則由（2）同樣可證得（3）n 22l|x y |x y |(xii 1(x, S)infy s(x, y) -證明：（1）若S是閉集，x S ,則(x, S)第二章 連續(xù)性1 . 設(shè)x, y n ,證明:|x y| . 設(shè)S n ,點(diǎn)

18、x n到集合S的距離定義為 |x y|22(|x|2 | y |2 )證由向量模的定義,n、2,、2yi)(xi yi)i 1n_22_222(x2yi2) 2(|x|11y | )i 1（2）若S s sd （稱為s的閉包），則S x n| (x, S) 0證 （1）倘若 （x,S）0 ,則由 （x, S）的定義，yn S ,使得,、1(x, yn ) , n 1, 2 ,因x S ,故yn x ,于是x必為S的聚點(diǎn)；又因S是閉集，故x S ,這就導(dǎo)致矛盾.所以證得（x,S） 0(2) x S.若 x S,則(x,S)0顯然成立.若x S ,則x Sd （即x為S的聚點(diǎn)），由聚點(diǎn)定義,0,

19、U (x; ) S ,因此同樣有反之，凡是滿足ynfs（x，y）（x，s）0.（x, S） 0的點(diǎn)x ,不可能是S的外點(diǎn)（若為外點(diǎn)，則存在正數(shù) ，使 U(x; 0) S，這導(dǎo)致inf (x,y)y s矛盾）.從而x只能是S的聚點(diǎn)或孤立點(diǎn).若 x為聚點(diǎn)，則x SdS ;若x為孤立點(diǎn),則x S S .所以這樣的點(diǎn) x必定屬于S綜上，證得 Sn| (x, S) 0 成立.3 .證明：對(duì)任何n , Sd必為閉集.證如圖所示，設(shè)x。為Sd的任一聚點(diǎn),欲證x0S。,即x0亦為S的聚點(diǎn).這是因?yàn)橛删埸c(diǎn)定義,0,再由y為S的聚點(diǎn),于是又有U （ x0 ;(x0 ；U(y；(y;(x0;)，有，所以x0為S的聚

20、點(diǎn)，即x0Sd ,亦即Sd為閉集.4 .證明：對(duì)任何S必為閉集.證如圖所示，設(shè)S的任一聚點(diǎn)，欲證 x0 x0亦為S的界點(diǎn).為x0再由y為界點(diǎn)的定義,由聚點(diǎn)定義，0 , y ,使y u (x.;) s .U ( y ; ) U ( x0 ;),記ai , biaibixo , xi , ci2一 .右 ci S ,a2 , b2 ai, ci . 一般地，用逐次二等分法構(gòu)造區(qū)間套：記anbncn z不妨設(shè)cnS ),并取an i , bn icn , bn , cn為S的內(nèi)點(diǎn)，n i, 2,an ,。 , cn為S的外點(diǎn),此區(qū)間套的特征是：其中每個(gè)閉區(qū)間的左端點(diǎn)an恒為S的內(nèi)點(diǎn)，右端點(diǎn)bn恒為S

21、的外在U( y;)內(nèi)既有S的內(nèi)點(diǎn)，又有S的外點(diǎn).由此證得在U(X0；)內(nèi)既有S的內(nèi)點(diǎn)，又有S的外點(diǎn)，所以X0為S的界點(diǎn)，即 S必為閉集.口.設(shè)S n , xo為S的任一內(nèi)點(diǎn)，x1為S的任一外點(diǎn).證明：聯(lián)結(jié)xo與x1的直線段必與 S至少有一交點(diǎn).證 如圖所示，把直線段 x0 x1置于一實(shí)軸上，并為敘述方便起見(jiàn)，約定此實(shí)軸上的點(diǎn)與其坐標(biāo)用同一字母表示.下面用區(qū)間套方法來(lái)證明x0 x1S .則結(jié)論成立；若ci為S的內(nèi)點(diǎn)，則取a2,b2 ci, bi ;若ci為S的外點(diǎn)，則取點(diǎn).現(xiàn)設(shè)lim an lim bn y ,下面證明y S . nn由區(qū)間套定理的推論,0 ,當(dāng)n足夠大時(shí)，an , bn U(

22、y;),因此在U( y;)中既含有S的內(nèi)點(diǎn)(例如an ),又含有S的外點(diǎn)(例如bn ),所以xoxi上的點(diǎn)y必是S的界點(diǎn).口.證明聚點(diǎn)定理的推論2和推論3 .(1)推論2 n中的無(wú)限點(diǎn)集 S為有界集的充要條件是：S的任一無(wú)限子集必有聚點(diǎn).證必要性當(dāng)S為有界集時(shí)，S的任一無(wú)限子集亦為有界集，由聚點(diǎn)定理直接 推知結(jié)論成立. TOC o 1-5 h z 充分性 用反證法來(lái)證明.倘若 S為無(wú)界集，則必能求得一個(gè)點(diǎn)列PkS使得lim | Pk | .這個(gè) Pk作為S的一個(gè)無(wú)限子集不存在聚點(diǎn)，與條件矛盾.故Sk為有界集.口(2)推論3 n中的無(wú)限點(diǎn)集S為有界閉集的充要條件是：S為列緊集，即S的任一無(wú)限子集

23、必有屬于 S的聚點(diǎn).證 必要性 因S有界，故S的任一無(wú)限子集亦有界，由聚點(diǎn)定理，這種無(wú)限子集 必有聚點(diǎn).又因子集的聚點(diǎn)也是S的聚點(diǎn)，而S為閉集，故子集的聚點(diǎn)必屬于S .充分性由上面(1)的充分性證明，已知S必為有界集.下面用反證法再來(lái)證明S為閉集.倘若S的某一聚點(diǎn) P S ,則由聚點(diǎn)性質(zhì)，存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列PkS ,使lim Pk P .據(jù)題設(shè)條件，Pk的惟一聚點(diǎn)P應(yīng)屬于S ,故又導(dǎo)致矛盾.所以 S的k所有聚點(diǎn)都屬于 S,即S為閉集.口.設(shè) Xn,f : Xm, A,B X .證明：f (AB)f(A)f(B)；f (AB)f(A)f(B);(3)若 f 為一一映射，則 f (A B) f (

24、A) f(B) .證 (1) y f(A B), x A B,使 y f(x) .若 x A,則 y f(A)； 若 x B,則 y f(B) .所以，當(dāng) x A B 時(shí)，y f (x) f (A) f(B).這表示 f(A B) f (A) f (B).反之，yf (A)f(B),xX,使 y f(x) .若 y f(A),則 x A;若y f (B),貝I x B ,于是 xAB .這表示 y f (x) f (A B),亦即f(A B) f(A) f (B).綜上，結(jié)論f(A B) f (A) f(B)得證.y f (A B), x A B,使 f(x) y.因 x A且 x B,故f

25、(x) f(A)且 f(x) f (B),即 y f (x) f (A) f(B),亦即 f(A B) f (A) f(B).2然而此式反過(guò)來(lái)不一定成立.例如f(x) x2 , A 2,1, B 1, 2,則有f(A) f(B) f(A) f(B) 0, 4;A B 1, 1, f(A B) 0,1.可見(jiàn)在一般情形下，f (A) f(B) f(A B).y f (A)f(B),x A, x2B,使 y f(x1)f(x2).當(dāng) f 為一一映射時(shí)，只能是 x1x2 AB ,于是yf (A B),故得f (A) f(B) f (A B). TOC o 1-5 h z 聯(lián)系(2),便證得當(dāng)f為一一映

26、射時(shí)，等式f(A) f(B) f (A B)成立.口nm c nm.設(shè) f,g., a ,b,c ，且lim f (x) b, lim g(x) c . x ax a證明：lim 11f (x)| |b|,且當(dāng) 11bH 0 時(shí)可逆； x a(2 ) lim f (x)g(x) bTc . x a證設(shè)f(x) f1(x), fm(x) , g(x) g1 (x) , gm(x),a a1, , an , b bh ，bm , c q, ,%.利用向量函數(shù)極限與其分量函數(shù)極限的等價(jià)形式，知道 TOC o 1-5 h z lim fi (x) bi , lim gi (x) Ci , i 1,2,

27、 m .x ax a(1) lim |f(x)| lim 7f12(x)fm2(x) t%2bm211bH.x ax a當(dāng) |b| 0 時(shí)，由于 |f(x)| |b| 11f (x)|,因此由 lim |f(x)|0 ,推知x a- 2一1一，、一lim fi (x) 0, i 1,2, m ,即得lim f(x) 0 x ax a(2 )類似地有l(wèi)im f (x)g(x) lim fi(x)gi(x)fm(x)gm(x)x ax abiCibmCm b CD滿足.設(shè)D n, f : D m .試證：若存在證數(shù) k , r ,對(duì)任何x, y11f(x)f(y)| k|x y|r ,則f在D上連

28、續(xù)，且一致連續(xù).證 這里只需直接證明f在D上一致連續(xù)即可.1丁., .00 ,對(duì)任何x, y D ,只要滿足| x y |,便有 k11f(x) f(y)| k|x y|r由于這里的 只與 有關(guān)，故由一致連續(xù)的柯西準(zhǔn)則(充分性)，證得f在D上一致連續(xù).口.設(shè)D n,f：D m ,試證：若f在點(diǎn)x0 D連續(xù)，則f在x0近旁 局部有界.證由f在點(diǎn)x0連續(xù)的定義，對(duì)于 1 ,0 ,當(dāng)x U(xO;)時(shí)，滿足11f(x)| 11f (x0)| | f(x) f(x0)| 111f (x)| 111f (x0)|,所以f在x0近旁局部有界.1 1 .設(shè)f : nm為連續(xù)函數(shù)，An為任一開(kāi)集，Bn為任一閉

29、集.試問(wèn)f(A)是否必為開(kāi)集？f(B)是否必為閉集？為什么?解 f (A)不一定為開(kāi)集.例如f (x) sin x, x (,).f(B)必為閉集且有界.但當(dāng) B為無(wú)界這里A (,)為開(kāi)集，但f (A) 1, 1卻為閉集.當(dāng)B為有界閉集時(shí)，由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知道 閉集時(shí)，f(B)就不一定為閉集，例如f(x) arctan x, x (這里B (,)可看作一閉集，而 f(B) , 卻為一開(kāi)集.1 2 .設(shè)D n,: D n .試舉例說(shuō)明:(1)僅有(D) D,不一定為一壓縮映射;(2 )僅有存在 q ( 0 q 1),使對(duì)任何 x , x D ,滿足II (x) (x )| q|x x | , 此

30、時(shí) 也不一定為一壓縮映射.解 (1)例如 (x) x 1, x 0,) .這里D 0,)為一閉域，它雖然滿足 (D) 1,) D ,但因| (x) (x ) | |x x | ,所以不是壓縮映射.(注：這也可根據(jù)壓縮映射原理來(lái)說(shuō)明，由 x 1 x無(wú)解，即沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，故 不是壓縮映射.)x(2)例如(x) - 1, x D 1,1 .它雖然滿足 21I (x) (x )|1|x x I (q 0.5), TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark110 o Current Document 3但因 (D), D ,故此仍不是一個(gè)壓縮映射.23 .討論a, b取怎樣的值時(shí)

31、，能使下列函數(shù)在指定的區(qū)間上成為一個(gè)壓縮映射：21(x)x, x a, b ；(2)(x) x ,xa, a；3(x)Vx, x a, b；(4)4(x) axb,x0, a.解 (1)由I1 (x )1 (x ) | x x| ,可知對(duì)任何 a,b ,1在a,b上都不可能是壓縮映射.(2)首先，只有當(dāng) 0 a 1時(shí)，才能使2(a, a) 0, a a, a .其次，由于對(duì)任何 x , x a , a 都有I 2 (x )2(x ) I Ix x I Ix x I 2aIx x I,1因此只要取0 q 2a 1 ,即0 a 2 ,就能保證 2在a, a上為一壓縮映射.(3)由 3(a, b)

32、ya, Vb a, b,可知 0| x x |1| 收x |& K 右1x x ，又可求得、a1rr 11一，即a .所以，當(dāng)取一244a 1 b時(shí)，就能保證 3在a , b 上為一壓縮映射.(4) 由于a2,0 b ax b a b a ,解出a2 a (即0 a再由| ax b axb | a|x x | ,可見(jiàn)只要 0 a 1, b在0 , a 上為一壓縮映射.1 4 .試用不動(dòng)點(diǎn)方法證明方程x lnx 0在區(qū)間1/2, 2/3 上有惟一解；并用迭代法求出這個(gè)解(精確到四位有效數(shù)字)解若直接取 (x) x (x ln x) In x ,則因13| (x)| - - 1, x 1/2, 2

33、/3 ,x 2可知 在1/2, 2/3 上不是壓縮映射.為此把方程改寫(xiě)成x e x ,并設(shè)(x)xx (x e ) e由于在 1/2, 2/3上| (x) |ex| 七 1一 一 _2/31 /2一 一 _(1/2, 2/3 ) e , e 1/2 1 /2, 2/31/2, 2/3上有惟一不動(dòng)點(diǎn).所以 (x) e x在1/2, 2/3上為一壓縮映射，且在x取x0 1 /2 ,按xk 1 e k迭代計(jì)算如下:kxkkxkkxk00.540.560110.606550.5712150.567220.545260.5649160.567130.579770.5684170.5671所以，方程x e

34、即 x ln x 0 的解(精確到四位有效數(shù)字)為x 0.5671 1 5 .設(shè)f : B n ,其中B x n | (x, x0) r為一個(gè)n維閉球(球心為 x0 ) 試證：若存在正數(shù)q ( 0 q 1 ) ，使對(duì)一切x , x B ，都有|f(x) f(x )| q|x x |，| f(x0) x0 |(1 q )r ，則 f 在 B 中有惟一的不動(dòng)點(diǎn)證 顯然，只需證得了f ( B ) B ，連同條件便知f 在 B 上為一壓縮映射，從而有惟一的不動(dòng)點(diǎn)現(xiàn)證明如下：x B, y f (x) 由 | x x0 | r ，以及題設(shè)條件的兩個(gè)不等式，得到|y x0 | | f(x) f(x0)| |

35、 f(x0) x0 |q|x x0 | (1 q)r qr (1 q)r r .這表示 y f(x) B ，即 f (B) B 第三章 微 分 學(xué).考察 f (x) ex|x|的可導(dǎo)性.解 寫(xiě)出 f ( x) 的分段表達(dá)式：f ( x)xex, x 0,xex , x 0.它在 x 0 時(shí)的導(dǎo)數(shù)為f ( x)(x 1)ex,x 0,x(x 1)ex,x 0;而當(dāng)x 0時(shí)，由于f (0) limx 0 xxe 0 x1,f (0)xxe 0lim x 0 x此f在x 0處不可導(dǎo).設(shè)x 3,x 3.2x ,f(x)ax b,若要求f在x 3處可導(dǎo)，試求a, b的值.解 首先，由f在x 3處必須連續(xù)

36、，得到3a .再由xlimBax b 9x 3lim a(x 3)x 3 x 3一x 9f (3) lim lim (x 3) 6 ,x 3 x 3 x 3又得 a 6, b 9 3a 9 .設(shè)對(duì)所有x ,有f (x) g(x) h(x),且f (a) g(a) h(a), f (a) h (a) .試證：g(x)在xa處可導(dǎo)，且 g (a)f (a)證由條件，有f (x) f (a) g(x) g(a) h(x) h(a),從而又有f(x) f(a)x af(x) f(a)x ag(x) g(a)x ag(x) g(a)x ah(x) h(a)x ah(x) h(a)x a由于 f (a)

37、h (a),因此 f (a)f (a) f (a) h (a) h (a),故對(duì)以上兩式分別取x a與x a的極限，得到于是有f (a) g (a) h (a)與 f (a)g (a) h (a).g (a) g(a),即證得g(x)在x a處可導(dǎo)，且 g (a) f (a).證明：若 f (x)在a, b上連續(xù)，且f(a) f(b) 0, f (a).f (b)0,則存在點(diǎn)(a, b),使f ()證如圖所示，設(shè)f (a)0, f (b)由極限保號(hào)性，在點(diǎn) a的某一右鄰域U內(nèi),內(nèi),使 f(x) f(a)0 x a有 f(x ) f(b)0 x bf (x )x,x 上的介值性，必定(x , x

38、f(x),x (a,b),它在點(diǎn)x0 xnx0yn且limnxnx。limnyn先作變形:f(yn) f(xn)ynxn由f (x0)存在，故又由 lim xn limnn從而得到(a)0 ,U (b) .最后利用連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,(a,的任意兩個(gè)數(shù)列.證明:limnynb)可導(dǎo);1,2,xn 與 yn 是滿足f(yn) f(xn)y nxnf (x0) .x0f(yn) f(x0)x0ynxnynx0ynxn f(x0) f (xn) .xn x0 xn0,x00,當(dāng) 0 | xx0 |時(shí)，有f(x) f(x0)x x0yn x0f(yn)0,f(x0)yn x0f(x0) f(xn)

39、x0 xnx0(x0)N 0,當(dāng)n N時(shí)，有xn(x0)(x0)分別以正數(shù) yn x0與z y n xn y nXnXn乘以上兩式，并相加,又得到y(tǒng)n X0 y n XnX0 Xnyn Xnf(yn) f(X0)yn X0yn X0 y n XnX0 xnf (xo) y nXn把它化簡(jiǎn)整理后，即為f(yn)從而證得結(jié)論：lim nyn ynXoXnX0y nXnf(Xn)ynXnf (X0)f(yn) f(Xn) f y n xn(X0).6.設(shè)f(x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，通過(guò)引入適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，證明:存在(a, b),使得2 f(b)f(a) (b2a2)f ();(2

40、)存在(a, b),使得f(b) f(a)(ln -b ) f (a(1)在一般形式的中值定理(定理3.8 )中,令g(X)X2 ,即得本題結(jié)論.(2)把欲證的式子改寫(xiě)成f(b)1f(a) lnbln a f (),且令g(x) lnx ,上式即為關(guān)于f (x)與g(X)所滿足的一般中值公式.證明推廣的羅爾定理：若f(x)在()上可導(dǎo)，且(包括limXf(X)limXf(X) l),則存在，使得f關(guān)鍵在于證明存在兩點(diǎn)a, b ,f(a) f(b) .為此任取一點(diǎn) x0 ,使f(x0) l (這樣的點(diǎn)X0若不存在，則 f(x)l f (x) 0 ).如圖所示，設(shè)f(x0) l由于lim f (X

41、) l ,因此對(duì)于Xlf2(X0)0 , X 0 ,當(dāng)|x| X時(shí)，滿足l f (X) l .現(xiàn)取x X, x X ,并使x x0 x .由于f(x) lf(X0), f(X0) l f(x ),借助連續(xù)函數(shù)的介值性，必存在a (x , X0 )與 b (X0, x ),使得1f(a) f(b) l -l f(x。).于是由羅爾定理，存在 (a, b),使得f ( ) 0 .8 .證明：若 f (x)和g(x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且 g (x) 0 ,則存在 (a, b),使得 f ( ) g ()f( ) f(a) g(b) g()證令(x) f (x) g(x) f (

42、x)g(b) f (a)g(x),它在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且 (a)(b) f(a)g(b).由羅爾定理，存在 (a, b),使得()f( )g( ) f( )g( ) f ( )g(b) f(a)g( ) 0 ,即f ( )g(b) g( ) g ( ) f( ) f(a) .由于g( ) 0, g(b) g()(根據(jù)g (x) 0和導(dǎo)函數(shù)具有介值性，推知 g (x)恒正或恒復(fù)，故 g(x)嚴(yán)格單調(diào))，因此可把上式化為結(jié)論式f ( )f( ) f(a)g( )g(b) g()9 .設(shè) | f(x)| M 0, | f (x) | M2, X (,),證明：| f (X) |

43、2 JM0M2 , x (,).證若M20 ,則可相繼推出：f (x) 0 f (x) C f(x) Cx B ,再由| f(x) | M0 ,可知C 0 f (x) 0 ,結(jié)論成立.同理，當(dāng) M 00時(shí)結(jié)論同樣成立.現(xiàn)設(shè)利用泰勒公式,x,由此得到于是證得使得M0M0f(x) 20.Mf (x)4M 0M2I f (x)|f(x)2M0 fM2(x)IM22、M0M0RA 2M0M0 F7M24M0,.4M 02 M0M2f (x)在a, b上二階可導(dǎo),f (a)(b) 0 .證明:(a,b),以上兩式相減后得到)I(b a)2I f(b)f(a)|.分別在點(diǎn)f(b)maxa與b作泰勒展開(kāi):f

44、(a)要 2 !a ba, 2f(b)f(a)f(b) f(a)f ( 2)2 !2)(1)則有1)2) f ( 2)1，于是證得結(jié)論:I f ( )1(ba)2|f(b) f(a)|.11.設(shè)在0, a上有 f (x)M ,且f (x)在(0, a)內(nèi)存在最大值.證明:f (0) f (a) aM證設(shè)f(x)在c(0, a)取得最大值，則f(c)也是一個(gè)極大值,故f (c) 0 .由微分中值公式得到f (0)f (c) f ( 1)(0 c)cf ( 1),1(0, c)，f (a) f (c) f ( 2)( a c) (a c) f ( 2),2 (c, a );從而又有f (0)| c

45、 f ( i)| cM , I f (a)| (a c) f ( 2) | (a c)M ,由此立即證得| f (0)| f (a)| aM .口1 2 .證明：若fx (X0 , y)存在,fy(x, y)在點(diǎn) P0 (x0, y)連續(xù)，則 f(x, y)在點(diǎn)P0可微.y)f(x0,y。)y) f(x0 x,y。)f (x0, y0).證 z f (x0 x, y0f (x0 x, y0f (x0 x, y)因fy(x, y)在點(diǎn)P0連續(xù)，故z的第一部分可表為y) yf(x0 x, y0 y) f(x0 x, y0)fy(x0 x, y0fy(x0,y0)yy (其中 xm00);y 0又因

46、fx (x。，y。)存在，故z的第二部分可表為f(x0 x, y)f(x0,y0)fx(x0,y0) x x (其中 lim 0).x 0所以有zfx(x0,y) xfy(x0,y) y x y,而且由于，. I I I I 0 ( x 0, y 0)，/22x x y便證得f(x, y)在點(diǎn)P0可微.口3 .若二元函數(shù)f與g滿足：f在點(diǎn)Po(X0, yo)連續(xù)，g在點(diǎn)P0可微，且g(P0) 0 ,則f.g在點(diǎn)P0可微，且d(f .g) Pf(P0)dg(P0)0證 記h f.g .由于g在點(diǎn)P0可微，根據(jù)定理3 .4 (必要性)，存在向量函數(shù)G(P)Gi(P),G2(P)，它在點(diǎn)P0連續(xù)，且

47、滿足g(P) g(P) g(P。)G(P)(P R), g(P。)G(P。).由此得到h(P) h(P。) f(P)g(P) f(P0)g(P。) f(P)G(P)(P P0) H(P)(P P0),其中H(P) f(P)G(P)在點(diǎn)P0連續(xù).仍由定理3 .4 (充分性)，推知h在點(diǎn)P0可微，且因 h(P) H(P)f (P0)G(P) f(P)g (P),進(jìn)一步證得d(f.g) P dh Pf(P0)dg(P0) P0P01 4 .設(shè)2xyf(X, y)22, (x, y) (0,0),x y0,(x, y) (0,0).證明：(1 ) f在原點(diǎn)O (0, 0)連續(xù);fx , fy在點(diǎn)O都存

48、在;fx , fy在點(diǎn)O不連續(xù);f在點(diǎn)O不可微.證 (1)若令 x r cos , y r sin ,則因2lim f (r cos , r sin ) lim r cos sin 0 , TOC o 1-5 h z r 0r 0可知f在r 0處(即在點(diǎn)O處)連續(xù).fx(0,0)lim f( x，0) f(0，0)0,xx 0 xfy(0,0)lim f(0，y) f(0，0)0.y 0y(3 )求出fx(x, y)fy(x, y)2/22、y ( y x )22 2(x2 y2)0,c 32x y27, (x y )0,(x, y) (0,0),(x, y) (0,0)；(x, y) (0,

49、0), (x, y) (0,0).由于當(dāng)r 0時(shí),2, . 22、fx (r cos , r sin ) sin (sin cos ),，.、 c3它們都不隨r0而趨于0 (隨fy (r cos , r sin ) 2 cos sin ,而異)，因此fx , fv在點(diǎn)O都不連續(xù).x y(4)倘若f在點(diǎn)O可微，則2x y22f( x, y) f(0,0) fx(0,0) x fy(0,0) y 22 o( x y ).x y但是當(dāng)令x r cos , y r sin 時(shí)，2x y222 3/2 cos sin 0 (r 0),(x y )所以f在點(diǎn)O不可微.5 .設(shè)可微函數(shù) f (x, y)在含

50、有原點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的凸區(qū)域D上滿足x fx(x, y)y fy(x, y) 0 試證：f (x, y) 常數(shù)，(x, y) D .證對(duì)于復(fù)合函數(shù)z f (x, y), x r cos , y sin由于 TOC o 1-5 h z zr xy fx f y fx cosf y sinr rr1.(xfx yfy)0 (r 0),r的函數(shù)(除原點(diǎn)外).因此在極坐標(biāo)系里 f與r無(wú)關(guān)，或者說(shuō)f只是如圖所示，P1, P2 D , 0Pl與OP2的極角分別為 1與2 .若12 ,則由上面討論知道f(P1) f(P2) .若12，此時(shí)利用f在點(diǎn)0連續(xù)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P分別沿半直線1與 2趨向點(diǎn)0時(shí)，f在 1上的常值與

51、在 2上的常值都應(yīng)等于f(0) .這就證得f (巳)f (P2),即f(x, y)常數(shù)，(x, y) D . 口16.設(shè)二元函數(shù)f(x, y)在 2上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f (1,0) f (0,1) .試證：22.在單位圓x y 1上至少有兩點(diǎn)滿足y fx(x, y) x fy(x, y).證在單位圓r 1上，記()f (cos , sin ), 02 .由于fx與f y連續(xù)，故f可微，一元函 也可微.已知 (0) f (1, 0) f (0,1)(y),由羅爾定理， 1(0,萬(wàn))，使得(1) 0 .同理，由 (萬(wàn))(2),2(萬(wàn)，2),使得 (2) 0 .而f (r cos , r sin )

52、 r sin fx r cos fy y fx x fy ,()(yfxx fy )故在r 1上存在兩點(diǎn) P1(cos 1, sin 1)和P2(cos 2 , sin 2),滿足y fx(Pi) xfy(Pi), i 1,2.(1)若f(x,y)在凸開(kāi)域D上處處有fx(x,y) fy(x,y) 0,則f(x, y)常數(shù),(x, y)f(x, y)在開(kāi)域D上處處有fx(x,y) fy(x,y)0,則同樣有f(x, y)常數(shù),(x, y)1)由于 D為凸開(kāi)域，因此(x1 , y), (x2, y) D ,聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)的直線段必根據(jù) 3 .5的例1。知道 f (x, y)與x無(wú)關(guān)；類似地，f (x,

53、 y)又與y無(wú)關(guān).這樣,f在D上各點(diǎn)處的值恒相等.(2)當(dāng)D為一般開(kāi)域時(shí)( 如圖),P,QD ,必存在一條全含于D內(nèi)、聯(lián)結(jié)P, Q兩點(diǎn)的有限折線.又因這條折線上的點(diǎn)全為D的內(nèi)點(diǎn)，故在每一點(diǎn)處有一鄰廠?Q y *D域含于D ,所有這無(wú)窮多個(gè)鄰域覆蓋了整條折線.由有限覆蓋定理，這條折線能被其中有限個(gè)鄰域所覆蓋.在這每一個(gè)鄰域內(nèi)，由(1)已知f(x, y) 常數(shù)，而相鄰兩個(gè)鄰域之交非空,整個(gè)D上 f(x, y)常數(shù).故經(jīng)有限次推理，可知f (P) f (Q) .由P, Q在D內(nèi)的任意性，這就證得在f(x, y)存在連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且令(其中x u cos vsin , y為常量)，則在此坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變

54、換之下,f xxf yy f uuusin vcosfxxfyy為一形式不變量，即fvv由條件，fxyfyx ,且有由此容易推至結(jié)論1 9 .設(shè) D證明：若由于分別設(shè)為如果Plfu ufvvfxx如果P2fu fxxu fy yu fxCos fy sin ,fv fx xv fy yv fx sinfy cos ;(fxx xu2 fxx COs2 fxx sinfyyfuu2為一有界閉域,fx(x, y)D上的值恒為零，則f(Pi)int D的內(nèi)部取得，則有Mfxy yu )cos ( fyx Xu2 fxy sin cos2 fxysin cosfvv成立.f (x, y)在 Dfyy

55、sinfyy yu)sin22fyy COs上可微,且滿足fy(x, y) f (x, y).f在D上的值亦恒為零.上可微，D為有界閉域，因此 f在則f(Pi)為一極大值，故滿足Mf(P1)fx(P1)f(P2)為一極小值，同理有mm 0 ;如果P1 (或P2 )綜上，在任何情形下恒有f (x, y)2 0 .設(shè)f(u,v)某一直線平行.證由于f可微,又因n . l 0，其中l(wèi)為法向量的切平面恒與以上存在最大值和最小值,fx(Pl)fy(Pl)f(P2)fy(Pl )0 ,由條件,D,則由條件又使0, (x, y) D .為可微函數(shù).試證：曲面 f (x ay, z by)因此該曲面在其上任一

56、點(diǎn)處的法向量為fu, a fu bfv ,(a, 1, b)，所以上述法向量 n恒與常向量l為方向向量的直線相互平行.2 1 .證明：以為參數(shù)的曲線族fvM與m都在D的任一切平面恒與正交.這說(shuō)明以n2y1 (a b) b是相互正交的(當(dāng)相交時(shí)).證 設(shè)曲線族中當(dāng)1, 2時(shí)所對(duì)應(yīng)的兩條曲線相交，則應(yīng)滿足 TOC o 1-5 h z 221 , i 1,2;a i b i將此二式相減，經(jīng)整理得到22(b 1)(b2)x2 (a 1)(a2)y20 .另一方面，此二曲線在交點(diǎn)(x, y)處的法向量分別為nii 1,2.由于 TOC o 1-5 h z x yx yn1. n 2,.,a 1 b 1

57、a 2 b 222(b 1)(b2)x (a 1)(a2)y(a172(b15(b2)因此這兩條曲線在交點(diǎn)(x, y)處互相垂直.2 2 .設(shè)D n為凸集，f : D 為凸函數(shù).證明:(1 )對(duì)任何正數(shù)，f是D上的凸函數(shù)；(2 )若g也是D上的凸函數(shù)，則 f g仍是D上的凸函數(shù)；(3)若f(D) I ,h是I上的凸函數(shù)，且遞增，則 h f亦為D上的凸函數(shù).證 (1)據(jù)凸函數(shù)定義， x, y D ,(0, 1),有f(1 )x y) (1)f(x) f(x).以乘之，得f(1 )x y) (1) f(x) f(x),此即表示f亦滿足凸函數(shù)定義.(2)由f(1 )x y) (1)f(x) f(x)

58、,g (1)xy)(1)g(x)g(x),兩式相加后得到此即表示f(3 )(f g)(1 )xg亦為D上的凸函數(shù).由 f (1 )xy)h(f(1)xy)(1)(fg)(x)(f g)(x),(1)f(x)f(x),以及h為遞增凸函數(shù)，得到y(tǒng)) h(1)f(x)f(x)(1)h(f(x)h(f(y),或者寫(xiě)成此即表示h(h f )(1)xf亦為D上的凸函數(shù).y) (1)(h f )(x)(h f )(y),2 3 .設(shè))上為非負(fù)嚴(yán)格凸函數(shù)，且F(x) fx (x 0),其中 f (x)在0, xf(0) 0 .試證：F(x)與f (x)都是嚴(yán)格遞增函數(shù).證由條件，F(xiàn)(x)f(x) f(x) f

59、(0)x1，x2 ( 0 x1 x2),因?yàn)?f (x)為嚴(yán)格凸函數(shù)，根據(jù)嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件(定理3.12 ),有f(x1) f(0)f(x2) f(0)x2x10而這就是F (x1) F (x2),所以F(x)是嚴(yán)格遞增函數(shù).又因1f(x2)f(x1)短出2)f(x1)下 丫 F(x2) F(x1) ，所以f(x2) f(x1)，即f(x)也是嚴(yán)格遞增函數(shù).24. 證明定理3 .13的推論1和推論2.證 這里要證明的是：若 f在開(kāi)區(qū)間I上為凸函數(shù)，則f在I中每一點(diǎn)處都連續(xù)；f在I中每一點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)都存在.現(xiàn)分別證明如下一一(1 )由定理3 .13, f在任何,I上滿足利普希茨條件f在,

60、上一致連續(xù)f在,上連續(xù) f在I上處處連續(xù).X0 I ,設(shè) F(h) Ux0h)一fix0上(h 0).由定理 3 .12,知道hF (h)為遞增函數(shù).另一方面，因 I為開(kāi)區(qū)間，必存在 xi I ,使Xi xo ,于是又有f(X0)f(Xi)F(h),xo xi這說(shuō)明F(h)有下界.綜合起來(lái)，根據(jù)關(guān)于函數(shù)極限的單調(diào)有界定理，存在右導(dǎo)數(shù)lim F (h) f (xo). h 0同理可證存在左導(dǎo)數(shù) f (x0) .口(注：如果先證得 f (x0)與f (x0)都存在，則立即知道 f在點(diǎn)x0既是左連續(xù)，又是右連續(xù)，從而 f在點(diǎn)x0連續(xù).由x0在I中的任意性，便證得 f在I中處處連續(xù).)2 5. 證明定