高量林老師課件2014

1、第4章 量子力學(xué)中的對(duì)稱性 4.1 對(duì)稱性、守恒律和簡(jiǎn)并性一、經(jīng)典物理中的對(duì)稱性對(duì)拉格朗日函數(shù)：若 ,即廣義動(dòng)量為運(yùn)動(dòng)常數(shù).類似地，若用哈密頓函數(shù) 的正則方程來討論：二、量子力學(xué)中的對(duì)稱性量子力學(xué)中的操作如平移、轉(zhuǎn)動(dòng)等是與一個(gè)幺正算符T相聯(lián)系的，習(xí)慣上T常被稱作對(duì)稱算符。若T作用下系統(tǒng)不變,則稱系統(tǒng)具有與T相關(guān)的對(duì)稱性.對(duì)無窮小變化的操作，T可寫為， 其中G是對(duì)稱操作的厄米生成元。若H在T作用下不變， 則根據(jù)海森堡運(yùn)動(dòng)方程，有 ，即G是運(yùn)動(dòng)常量。例如動(dòng)量是平移的生成元，若H在平移操作下不變，則動(dòng)量是運(yùn)動(dòng)常量（即守恒）。類似的，若H在轉(zhuǎn)動(dòng)下不變，則轉(zhuǎn)動(dòng)的生成元角動(dòng)量守恒。從態(tài)矢變化的角度看，若G

2、與H對(duì)易，則 保持是G的本征態(tài)，且G的本征值不變：即使初始不是G的本征態(tài)，G的期望值也是不變的。三、簡(jiǎn)并 態(tài)若H,T=0，T為某對(duì)稱算符，|n為本征值為En的能量本征態(tài)，則T|n也是相同能量的能量本征態(tài)。如果T|n與|n是不同的態(tài)，則稱它們是能量簡(jiǎn)并態(tài)，體系有簡(jiǎn)并。有時(shí)T由連續(xù)參量表征T=T(),此時(shí)所有的T()|n態(tài)都簡(jiǎn)并（但簡(jiǎn)并度只是獨(dú)立的T()|n態(tài)數(shù)）。如對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)， 可構(gòu)造H, J2, Jz的共同本征態(tài)|n;j,m。由上所知，所有D(R) |n;j,m態(tài)能量簡(jiǎn)并。由于 , 改變表征D(R)的連續(xù)參量,可得不同|njm組合,故不同m的|njm是簡(jiǎn)并的。因m有2j+1個(gè)，簡(jiǎn)并度為2j+1。從

3、H,J=0和J作用于|njm也可知其有2j+1簡(jiǎn)并度作為應(yīng)用，考慮原子中電子的狀態(tài)，其所受勢(shì)為 。由于該勢(shì)在轉(zhuǎn)動(dòng)下不變，故原子能級(jí)有2j+1重簡(jiǎn)并。若外加Z方向的電磁場(chǎng)，則電子所受的勢(shì)不再在轉(zhuǎn)動(dòng)下不變，簡(jiǎn)并被消除。4.2 分離對(duì)稱性，宇稱或空間反演 上面討論的是連續(xù)性對(duì)稱操作，即對(duì)稱操作可由相繼無窮小對(duì)稱算符所得。量子力學(xué)中有用的對(duì)稱操作并不限于此種形式，可有分立而非連續(xù)的對(duì)稱操作，如宇稱，晶格平移和時(shí)間反演。宇稱或空間反演操作將r變?yōu)?r，而右手坐標(biāo)系變?yōu)樽笫肿鴺?biāo)系。量子力學(xué)中我們討論的常是作用于態(tài)矢而不是坐標(biāo)系的變換。對(duì)稱操作的兩種等價(jià)方式：主動(dòng)與被動(dòng)一、宇稱算符的基本性質(zhì)對(duì)|,用幺正算符

4、表示宇稱算符，| |。 要求位置算符的期望值變號(hào)，即則有位置本征態(tài)|x在宇稱作用下變?yōu)楸菊髦禐?x的態(tài)：故由于用作用兩次體系必恢復(fù)原狀，故2=1=-1=+，是厄米的。對(duì)的本征態(tài)|,因|=2|，知=1二、算符在宇稱操作下的變換由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：有或p,=0. 該關(guān)系與p=dx/dt的預(yù)期相同。對(duì)軌道角動(dòng)量L=xxp，可預(yù)期L,=0.對(duì)一般角動(dòng)量，考慮到R(宇稱)=-I,宇稱和轉(zhuǎn)動(dòng)操作對(duì)易，故量子力學(xué)中的相應(yīng)幺正算符也對(duì)易: D(R)=D(R) ,J=0.三、矢量和贗矢量在轉(zhuǎn)動(dòng)下x和J以相同方式變換，兩者都是矢量，或一階球張量，但x和p與反對(duì)易，而J與對(duì)易。與宇稱反對(duì)易

5、的矢量稱為極性矢量，而與宇稱對(duì)易的矢量叫做軸矢量或贗矢量。類似的有標(biāo)量算符（與宇稱算符對(duì)易）和贗標(biāo)量算符（與宇稱算符反對(duì)易） 。LS、xp是標(biāo)量： + LS= LS贗標(biāo)量的例子包括Sx、Lx等：四、波函數(shù)在宇稱操作下的變換若|為宇稱本征態(tài)，|= |,則= , 故有“+”對(duì)應(yīng)偶宇稱，“-”對(duì)應(yīng)奇宇稱。當(dāng)然，只有與對(duì)易的算符之本征態(tài)才可能有確定的宇稱。如動(dòng)量算符不與對(duì)易，其本征態(tài)即平面波并非的本征態(tài)，而軌道角動(dòng)量的本征態(tài)則可為的本征態(tài)：五、能量本征態(tài)與宇稱若H,=0,而|n是H的本征值為En的非簡(jiǎn)并本征態(tài)，則|n是宇稱本征態(tài)。證：H|n=En|n,由非簡(jiǎn)并性得|n=ei|n.作為應(yīng)用，考慮簡(jiǎn)諧振子

6、本征態(tài)。 由于基態(tài)為高斯函數(shù)，|0=|0, 而|1=a+|0=-|1。 類似可推得|n=(-)n|n注意:非簡(jiǎn)并性對(duì)得出|n是的本征態(tài)是非常重要的。若有簡(jiǎn)并，如氫原子體系，Cp|2p+Cs|2s是H本征態(tài)，但并非的本征態(tài)。又如動(dòng)量本征態(tài)也是自由粒子 H本征態(tài)，但|p 和 |-p簡(jiǎn)并, |p并非的本征態(tài).當(dāng)然，我們可以通過組合H的簡(jiǎn)并本征態(tài)而得到的本征態(tài)，如|=|p|-p便是和H的共同本征態(tài)六、對(duì)稱雙勢(shì)阱 H與對(duì)易，H的最低兩本征態(tài)為對(duì)稱的|S和反對(duì)稱的|A,EAES,且EA-ES隨勢(shì)壘增高而減少。取|R|S+|A，|L|S-|A,在作用下|R和|L對(duì)調(diào). |R和|L不是的本征態(tài)，也不是H的本征

7、態(tài)，但有相同能量期待值. |R和|L是非定態(tài),若t0=0處于|R，則t時(shí)狀態(tài)為該態(tài)在|R和|L間震蕩，震蕩角頻率為該震蕩可看成量子力學(xué)的隧道貫穿，粒子在經(jīng)典物理禁止的區(qū)域隧穿而震蕩于兩態(tài)間。如勢(shì)壘無窮高，則EA=ES，從而=0，不再震蕩。注：對(duì)無窮高勢(shì)壘， |R和|L均是H的本征態(tài)，但|R和|L均非的本征態(tài)。即H所具有的宇稱不一定反映在其本征態(tài)上，這是簡(jiǎn)并與對(duì)稱破缺的一個(gè)簡(jiǎn)單例子。這種現(xiàn)象在自然界相當(dāng)普遍，如鐵磁現(xiàn)象，糖與氨基酸的手性等。 七、宇稱選擇定則 若 將相反宇稱的態(tài)相聯(lián)系。該討論可推廣到其他算符。如算符為奇宇稱，則其只有在不同宇稱的狀態(tài)間有不為零的矩陣元。偶宇稱算符則在同宇稱態(tài)間矩陣

8、元才可能不為零。 如果H,=0,能量非簡(jiǎn)并態(tài)必?zé)o偶極矩：=0當(dāng)然，對(duì)簡(jiǎn)并態(tài)，則不一定為零。宇稱不守恒：若H與對(duì)易，則宇稱守恒，否則宇稱不守恒。如基本粒子間的弱作用與宇稱不對(duì)易，故過程宇稱不守恒。李楊最早發(fā)現(xiàn)弱相互作用宇稱不守恒而獲諾獎(jiǎng)。 4.3 分立對(duì)稱性：晶格平移 晶格平移這一分立對(duì)稱性在固體物理中有重要的應(yīng)用。對(duì)一維周期勢(shì)，+(a)V(x)(a)=V(x+a)=V(x), a為晶格常數(shù)。H,(a)=0, (a)和H可同時(shí)對(duì)角化.在H和(a)的共同本征矢中，由于幺正而非厄米，的期待值為復(fù)數(shù)且模為1。為求出(a)的本征態(tài)，先考慮無限高勢(shì)壘的情形。此時(shí)電子只能局域于某格點(diǎn)附近。設(shè)相應(yīng)能量本征態(tài)為|n, H|n=En|n, n表示格點(diǎn)位置, 不同|n簡(jiǎn)并。雖然|n是H的本征態(tài),且H與(a)對(duì)易，|n不是(a)的本征態(tài)。將不同|n線性疊加,可得到(a)的本征形態(tài):有限高勢(shì)壘時(shí)，|n并不完全局域于格點(diǎn)n，而是主要集中于格點(diǎn)n而隨與n的距離而衰減。以|n為基構(gòu)造|，|仍為本征值為e-i的本征態(tài)由于取=ka，則Bloch定理可見晶格平移的本征態(tài)|之波函數(shù)可寫成平面波與具有晶格周期性的函數(shù)之乘： 且 ，k空間范圍稱為（第一）Brill