廣西科技大學(xué)時(shí)間序列分析計(jì)算題復(fù)習(xí)考試題

1、 / 6 / 6?e211 ?120.645。廣西科技大學(xué)2013 2014學(xué)年第 2學(xué)期時(shí)間序列分析計(jì)算題復(fù)習(xí)題設(shè)時(shí)間序列 Xt 來自 ARMA(2,1) 過程，滿足(1 B 0.5B 利用所學(xué)知識，對X t 所屬的模型進(jìn)行初步的模型識別。( 5 分) 對所識別的模型參數(shù)和白噪聲方差e2 給出其矩估計(jì)。( 5 分)解答： ( 1)樣本自相關(guān)系數(shù)1 階截尾，樣本偏相關(guān)系數(shù)拖尾，ARIMA(0,1,1)1?11 4 ?111 4 0.472)由于 ARIMA(0,1,1)模型有112 ，?110.7415111212 ?12 0.47)Xt (1 0.4B)et ,其中et是白噪聲序列，并且E(

2、et) 0,Var(et)2，判斷 ARMA(2,1) 模型的平穩(wěn)性。( 5 分)利用遞推法計(jì)算其一般線性過程表達(dá)式的前三個(gè)系數(shù)：0 ，1 ，2 。 ( 5 分)解答： ( 1 ) 其 AR 特征方程為1 x 0.5x20， 特征根為x 111 i ， 在單位圓外，故平穩(wěn)！也可用平穩(wěn)域法見(P52 公式(4.3.11) ) 。( 2)由 P57 公式( 4.4.7)知道01111( 0.4) 1 1.4。2221 10 0.5 1.40.9某國 1961 年 1 月 2002 年 8 月的 1619 歲失業(yè)女性的月度數(shù)據(jù)經(jīng)過一階差分后平穩(wěn)(N 500) ，經(jīng)過計(jì)算樣本其樣本自相關(guān)系數(shù) ?k 及

3、樣本偏相關(guān)系數(shù) ?kk 的前10個(gè)數(shù)值如下表k12345678910?k-0.470.06-0.070.040.000.04-0.040.06-0.050.01? kk-0.47-0.21-0.18-0.10-0.050.02-0.01-0.060.010.003. 設(shè) Xt是二階滑動平均模型2E(et) 0,Var(et )，MA(2),即滿足Xt etet 2，其中et 是白噪聲序列，并且 / 6101（0.234 1.96 0.0025,0.234 1.96 0.0025） / 6( 1)求X t 的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。( 2)當(dāng)0.8時(shí)，計(jì)算樣本均值(X1 X2X3 X4)/4的

4、方差。解答： ( 1)12 2,k 0 TOC o 1-5 h z k E XtXt k E t t 2 t k t k 22,k 20, 其他1,k 0k 12,k 20,其他X1X2 X3 X412 122) VarVar 1111203441611203442 1 0.8 0.642() 0.614.設(shè)et 是 正 態(tài) 白 噪 聲 序 列 ， 并 且E(et) 0,Var(et)2 ， 時(shí) 間 序 列Xt 來 自Xt0.8Xt 1 et et 1，問模型是否平穩(wěn)？為什么？ TOC o 1-5 h z 解答： 該模型是平穩(wěn)的，因?yàn)槠銩R 特征方程1 0.8x 0的根為1.25，大于1。.假

5、定 Acme公司的年銷售額(單位： 百萬美元)符合AR(2)模型：Yt51.1Yt10.5Yt2et,其中e2 2 。( a)如果說2005年、2006年和2007年的銷售額分別是900萬美元， 1100萬美元和1000萬美元，預(yù)測2008年和2009年的銷售額。( b)證明模型里的1 1.1。( c)計(jì)算問題(a)中2008年預(yù)測的95%預(yù)測極限。( d)如果2008年的銷售額結(jié)果為1200萬美元，更新對2009年的預(yù)測。解答 : (a)應(yīng)用P142公式(9.3.28)得Y?2007(1)51.1Y2007 0.5Y20065+ 1.1( 10) 0.5( 11) = 10.5(百萬美元)Y

6、?2007(2)51.1Y?2007(1) 0.5Y20075 + 1.1( 10.5) 0.5( 10) =11.55(百萬美元)(b)由課本54頁公式(4.3.21) ,0 1，11 01 1.1 。(c)由課本第140頁公式(9.3.15)知道：Var(et(l)e2(11222.t21)，2008年預(yù)測的 95%預(yù)測極限為(Y?2007 (1)z1 0.025 Var (e2007 (1), Y2007 (1) z1 0.025 Var (e2007 (1) ) ，這里e2007 (1) Y2008 Y?2007 (1)e2008 ，故Var (e2007 (1)e 2 ，代入后簡單計(jì)

7、算得2008年預(yù)測的95%預(yù)測極限為(7.67,13.33) 。(d)由148頁更新方程(9.6.1)知Y?t1(l)Y?t (l1)lYt1Y?t (1)，所以Y?2008(1) Y?2007(2)1Y2008 Y?2007(1) 11.55 1.1(12 10.5) 13.2(百萬美元).設(shè) Xt的長度為10的樣本值為0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.92,0.78,0.86,0.72,0.8，試求4 TOC o 1-5 h z （ 1）樣本均值x ；（ 2）樣本的自協(xié)方差函數(shù)?1, ?2 和自相關(guān)函數(shù)?1, ?2；對 AR（2） 模型參數(shù)給出其矩估計(jì)，并寫出模型的表達(dá)式。樣

8、本均值x 。0.758樣本的自協(xié)方差函數(shù)值?1, ?2和自相關(guān)函數(shù)值?1, ?2 。nkxt x xt k x?注意?kt 1，而?kk （這里n 10 ，具體計(jì)算略過）n k?0對 AR（2） 模型參數(shù)給出其矩估計(jì)，并且寫出模型的表達(dá)式。由 Yule-Walker 方程121112?11 ?2 ?10.18649， ?2?2?10.08090811?1 121?12?01 ?1?2 ? 0.83803xt0.838030.18649xt 10.080908xt 2 t7.設(shè)Xt服從ARMA（1,1）模型： Xt 0.8Xt 1et0.6et1，其中 X1000.3,e1000.01。（ 1）

9、給出未來3 期的預(yù)測值；（ 2）給出未來3 期的預(yù)測值的95% 的預(yù)測區(qū)間（z0.0251.96）？。解答： （ 1） X?100 10.8X1000.6 1000.234X?100 20.8X?100 10.8 0.234 0.1872X?100 30.8X?100 20.8 0.1872 0.14976（ 2）應(yīng)用延遲算子B 表達(dá)式，我們有Xt10.6Bt1 0.2B 0.16B2t。t10.8Bttl1由（ P143公式（9.3.38） ）知道Varet l e22j ， l 1 。因?yàn)?0 1, 10.2, 20.16, 故有j0Vare100 1 0.0025， Vare100 2

10、0.0026， Vare100 30.002664。所以未來 l期的預(yù)測值的95% 的預(yù)測區(qū)間為:x?100 lz0.025 Var e100 l 。故 未來 3 期的預(yù)測值的95%的預(yù)測區(qū)間為：1011021030.136， 0.332)0.087， 0.287)-0.049， 0.251) 。et 是白噪聲序列，并且12.設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列Xt 服從AR(1) 模型： Xt 1Xt 1 et ，其中E(et) 0,Var(et )2，證明：Var(Xt)證明： 由題意Xt 1Xt 1et，兩邊求方差得Va (rXt) Va (r 1Xt 1et)12Va(rXt 1) Va(ret)(因?yàn)閑t

11、與 Xt 1相互獨(dú)立)12Va (rXt)2(因?yàn)閄t平穩(wěn))Va (rXt )整理即得.設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列Xt服從 AR(2) 模型：Xt1Xt 12Xt 2 et，其中et 是白噪聲序列，k2并且E(et) 0,Var(et)2，證明其偏自相關(guān)系數(shù)滿足：kk 2 k 2。0k3證明：因?yàn)锳R(2) 模型偏自相關(guān)系數(shù)2 階截尾，即當(dāng)k 3時(shí)， kk 0。 (其一般證明見課本P80頁)這里僅證明222。事實(shí)上，22滿足如下Yule-Walker方程：211 221 (見課本P81 公式(6.2.8) ) ，其中221 212221, 2分別為該AR(2)模型前 2 階自相關(guān)系數(shù)。由課本P52頁的公式

12、(4.3.14)和P53頁的公式(4.3.15)知：于是，解Yule-Walker方程得 222121122(12)1212121212 TOC o 1-5 h z 1 (1 )21210.設(shè)時(shí)間序列Xt服從 ARMA(1,1)模型： Xt0.5Xt 1 et 0.25et 1， 其中et是白噪聲序列，1 k0并且 E(et) 0,Var(et)2，證明其自相關(guān)系數(shù)滿足：k 0.27k 1 。0.5 k 1 k 2解：方程兩邊乘以Xt 1再取數(shù)學(xué)期望得E(XtXt 1) E(0.5Xt21) E(Xt 1et) E(0.25Xt 1et 1) ，整理得10.5 0 0.25 2(1)方程兩邊求

13、方差得Var(Xt) Var(0.5Xt 1 et 0.25et 1) / 6 / 60.25Var(Xt 1) Var(et 0.25et 1) 2Cov(0.5Xt 1,et 0.25et 1) TOC o 1-5 h z 整理得0 0.25 0 (11 ) 2 0.25 2013 2( 2)161277將( 2)代入到(1)可得：172 ，所以 1170.27 。1241026注意到00 1 ，而當(dāng) k 2 時(shí)，方程兩邊乘以X t k 再取數(shù)學(xué)期望可得0E(XtXt k)E(0.5Xt 1Xt k) E(Xt ket) E(0.25Xt ket 1)整理得k 0.5 k 1( 3)在(3

14、)式兩邊同除0，即得k 0.5 k 1， k 2 。證畢！11.設(shè)時(shí)間序列 Xt 服從 AR(1)模型：XtXt 1 et ， 其中et是白噪聲序列，E(et) 0,Var(et)e2x1, x2(x1x2)為來自上述模型的樣本觀測值，試求模型參數(shù), e2的極大似然估計(jì)。2解：依 題意 n 2 ，故無條件平方和函數(shù)為S( )(x2x1)2 (12)x12 x12 x22 2 x1x2t2易見(見 p113 式 (7.3.6)其對數(shù)似然函數(shù)為( , e2)log( 2 ) log( e2) 1 log(1 2)12 S( )22 e2所以對數(shù)似然方程組為( , e2)22x1x22 x1 x22

15、x1 x( , e2)222x1 x2x12x2122x12x22 2?2 x12x2212.對下列每個(gè)ARIMA 模型，求E( Yt)和 Var( Yt)。Yt 3 Yt 1 et 0.75et 1Yt 10 1.25Yt1 0.25Yt 2et0.1et 1解：(a)原模型可變形為Yt3et 0.75et1 , 注意到 et 為零均值方差為e2的白噪聲序列。E( Yt ) E(3 et 0.75et 1) 3所以有2225 2Var( Yt) Var (3 et 0.75et 1) (1 0.752) e2e216b)原 模 型 可 變 形 為Yt 10 0.25 Yt 1 et 0.1e

16、t 1 , 因 此 Yt 為 一 個(gè) 平 穩(wěn) 可 逆 的ARMA(1,1)模型。同時(shí)注意到et為零均值方差為e2的白噪聲序列，所以我們有E(Yt) E(10 0.25Yt1et0.1et1) 10 0.25E(Yt)(平穩(wěn)性)E ( Yt )101 0.2540另一方面，Var( Yt) Var(10 0.25 Yt 1et 0.1et 1)0.252Var( Yt 1 ) Var(et 0.1et 1) 2Cov(0.25 Yt 1,et 0.1et 1)12Var ( Yt ) (1 0.01) e22E0.25 Yt 1(et 0.1et 1) TOC o 1-5 h z 16tet1

17、tt112(1 )Var (Yt)(1 0.01)e20.5E(Yt1et) 0.05E(Yt1et1)(1 0.01)e200.05E(Yt1et1) 1.01e20.05E(et1et1) 0.96e20 96所以有 Var( Yt) 0.96 16 e2 1.024 e2。15 ee若一時(shí)間序列長度為35， 現(xiàn)對該時(shí)間序列擬合AR(1)模型得其殘差的前6個(gè)樣本自相關(guān)系數(shù)如下：r?10.051, r?20.032, r?30.047, r?40.021,r?50.017, r?60.019計(jì)算 Ljung Box統(tǒng)計(jì)量并由此對殘差的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)(顯著性水平0.05) 。解：易見K 6,

18、 p 1,q 0， (見課本P132)故Ljung Box檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量等于222222( 0.051)2(0.032)2(0.047)2(0.021)2( 0.017)2( 0.019)2Q* 35(35 2)35 135 235 335 435 535 60.28此時(shí)服從一個(gè)自由度為6 1 0( 5) 的卡方分布，因?yàn)镼*0.2802.05(5) 11.0705，所以沒有證據(jù)來拒絕殘差項(xiàng)是不相關(guān)的零假設(shè)。若一時(shí)間序列長度為100， 現(xiàn)對該時(shí)間序列擬合ARMA(1,1)模型得其殘差的前8個(gè)樣本自 TOC o 1-5 h z 相關(guān)系數(shù)如下：r?10.02,r?20.05,r?30.10,r?40.02,r?50.05,r?60.01,r?70.12, r?80.06計(jì)算 Ljung B