《數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史》期終復(fù)習(xí)提綱

1、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史期終復(fù)習(xí)提綱20092010學(xué)年第一學(xué)期 Lecture 0 為什么要開設(shè)數(shù)學(xué)史談?wù)勀銓?shù)學(xué)史教育價值的認(rèn)識。隨著新課程在全國的推進，數(shù)學(xué)史教育受到廣大的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視。數(shù)學(xué)史是反映數(shù)學(xué)文化的歷史，數(shù)學(xué)史教育體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值。當(dāng)前正在我國推進的基礎(chǔ)教育改革十分重視這一點，采取了一系列措施，加強數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的教育。新課標(biāo)要求培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)價值觀，特別要了解數(shù)學(xué)文化價值。學(xué)生只有了解數(shù)學(xué)的價值，才能自覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)史能幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的文化價值，這對學(xué)生今后的發(fā)展是終身受用的。那么從數(shù)學(xué)史的視角來看，數(shù)學(xué)史教育應(yīng)該滲透哪些文化價值呢？中國科學(xué)院我國著名數(shù)學(xué)

2、史專家李文林在作數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的錄音談話中說到：我們應(yīng)從五個角度去挖掘數(shù)學(xué)史的文化價值，首先，數(shù)學(xué)為人類提供精密思維的模式；其次，數(shù)學(xué)是其他科學(xué)的工具和語言；其三，數(shù)學(xué)是推動生產(chǎn)發(fā)展、影響人類物質(zhì)生活方式的杠桿；其四，數(shù)學(xué)是人類思想革命的有力武器；最后，數(shù)學(xué)是促進藝術(shù)發(fā)展的文化激素。另外他還談到一個信息：重視數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，實際上可以說是一種國際現(xiàn)象。若干年前，美國數(shù)學(xué)協(xié)會(MAA)下屬的數(shù)學(xué)教育委員會曾發(fā)出題為呼喚變革：關(guān)于數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)修養(yǎng)的建議書，其中呼吁所有未來的中小學(xué)教師注意培養(yǎng)自身對各種文化在數(shù)學(xué)思想的成長與發(fā)展過程中所作的貢獻有一定的鑒賞能力；對來自各種不同

3、文化的個人在古代、近代和當(dāng)代數(shù)學(xué)論題的發(fā)展上所作的貢獻有所研究，并對中小學(xué)數(shù)學(xué)中主要概念的歷史發(fā)展有所認(rèn)識。從以上材料我們可以看出，數(shù)學(xué)史教育中滲透文化價值成了數(shù)學(xué)史教育的一項重任，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合應(yīng)該是必要的，而且?guī)缀跏潜厝坏?。對于今后的中小學(xué)數(shù)學(xué)史教學(xué)，我們應(yīng)該將數(shù)學(xué)文化盡可能地結(jié)合數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，選擇介紹一些對數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物，反映數(shù)學(xué)在人類社會進步、人類文明發(fā)展中的作用，同時也反映社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的促進作用。使學(xué)生通過數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，了解人類社會發(fā)展與數(shù)學(xué)發(fā)展的相互作用，認(rèn)識數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的必然規(guī)律；了解人類從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識客觀世界的過程；發(fā)展求知、求實、勇于

4、探索的情感和態(tài)度；體會數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、嚴(yán)密性、應(yīng)用的廣泛性，了解數(shù)學(xué)真理的相對性；提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。Lecture 1 史前數(shù)學(xué)求Fibonacci數(shù)列的通項。Fibonacci數(shù)列是一組自然數(shù)序列an，其中a0=a1=1，當(dāng)n=2時，an=an-1+an-2。如： 1, 1, 2, 3, 5, 8, .現(xiàn)在求數(shù)列的通項公式an。解答：將數(shù)列寫成矩陣乘積的形式： 令矩陣求A的n次冪，方法是找到與A相似的對角陣D，則有 , 得出 (1) 求A的特征值和特征向量A的特征多項式在R內(nèi)的兩個根為:, 則A相似于對角陣，且, 從而，代入原式可得：Lecture 2 古代數(shù)學(xué)（I）：埃及3、Rhind紙草

5、書問題79是一個等比數(shù)列求和問題，介紹其中蘊涵的等比數(shù)數(shù)列求和方法。通過研究發(fā)現(xiàn)，這是一個等比數(shù)列，的求和問題，其中左邊兩欄就是的具體算式。由此可知，古代埃及人已經(jīng)總結(jié)出了等比數(shù)列，的前n項和的遞推關(guān)系用這種方法同樣可以導(dǎo)出一般等比數(shù)列前n項和的遞推公式： 注意到，易得我們熟悉的公式 （）4、“埃及幾何學(xué)中的珍寶”是什么？正四棱臺體積公式。Lecture 3 古代數(shù)學(xué)（II）：美索不達米亞5、研究古巴比倫時期的泥版BM15285。設(shè)想你是一位祭司，你會提出什么數(shù)學(xué)問題？這些多邊形（圓 曲四邊形 菱形 正方形）的面積怎樣計算6、美國哥倫比亞大學(xué)收藏的Plimpton 322號巴比倫泥版的內(nèi)容是什

6、么？普林頓322實際上是一張表格，由4列15行六十進制數(shù)字組成與勾股數(shù)有關(guān)7、古代巴比倫人是如何求平方根近似值的？Lecture 4 古代數(shù)學(xué)（III）：中國8、用出入相補原理證明勾股定理。9、介紹西漢時期的“日高公式”。楊輝是如何推導(dǎo)這個公式的？楊輝“勾中容橫、股中容直原理” 10、試述劉徽和祖暅的球體積工作。11、在直角三角形中，勾、股、弦分別為a、b、c，已知勾弦差（c-a）和股弦差（c-b），試用中國古代的方法來證明下面一組公式：， ，Lecture 5 古希臘數(shù)學(xué)12、求第n個k邊形數(shù)。13、描述希皮亞斯（Hippias, 公元前5世紀(jì)）的割圓曲線，并用利用它來三等分角。 ABCD為

7、一正方形，是以A為圓心的四分之一圓弧。假設(shè)半徑繞A點從AB位置勻速轉(zhuǎn)動到AD位置，而在相同時間內(nèi)直線 BC從BC位置勻速平移到 AD位置（端點B始終沿BA運動）。則平動直線與轉(zhuǎn)動半徑的交點軌跡就是割圓曲線。其性質(zhì)是： :。設(shè)，則割圓曲線的極坐標(biāo)方程為： 有了割圓曲線，就可以輕而易舉地三等分任意角了。如圖所示，要三等分，只需取的三等分點，過作B C 平行于AD，交割圓曲線于L，連接AL，交于N，易證 。因此三等分。14、用歐幾里得的方法證明勾股定理。15、用歐幾里得的方法證明命題：“素數(shù)無限多”。假設(shè)素數(shù)個數(shù)有限，則必有一個最大的設(shè)最大的素數(shù)是P令n=2*3*5*7*P+1即把所有的素數(shù)相乘并加

8、上1顯然nP若因為P是最大素數(shù)，所以n是合數(shù)則n能被2，3，P中至少一個素數(shù)整除但用這些數(shù)去除n，都有余數(shù)1，即都不能整除這就有兩種可能(1),n是素數(shù)(2),n是合數(shù)，但他只能被大于P的素數(shù)整除這兩種情況都和P是最大素數(shù)矛盾。所以假設(shè)錯誤所以素數(shù)是無限16、如圖所示，ADBC是球O被紙面所截得的大圓，AB和CD是其相互垂直的兩條直徑。XVWY是球O的外切圓柱（以AB為軸）的相應(yīng)截面。阿基米德通過力學(xué)方法發(fā)現(xiàn)：球O的體積等于直徑為CD且垂直于紙面的大圓為底、以B為頂點的圓錐BCD的體積的4倍。試介紹阿基米德的方法。Lecture 6 中世紀(jì)數(shù)學(xué)17、敘述中國剩余定理。18、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾卡克

9、希（Al-Karkhi, 953-1029）是如何推導(dǎo)自然數(shù)三次冪和公式的？19、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿布韋發(fā)（Abul-Wefa, 940-998）是如何推導(dǎo)和角正弦公式的？20、斐波納契計算之書中有如下問題：“棋盤（64格）上的數(shù)列滿足：任意一項等于它前面所有各項和的兩倍。已知首項為1，求棋盤上數(shù)列各項之和?！痹囉媒裉斓姆椒ㄇ蠼狻?1、在約瑟夫問題中，若設(shè)排成一圈的人數(shù)為，并且從1號開始按順時針方向點數(shù)，每點到2，第2號被扔進大海。記最后剩下的一個人位于第號。試給出與n的一般關(guān)系式，并計算和。（12分）Lecture 7 文藝復(fù)興時期的歐洲數(shù)學(xué)21、列出Durer幻方的性質(zhì)。中的幻方有以下性質(zhì)：（1）每行、每列和每條對角線上的數(shù)字之和為34；（2）關(guān)于兩對角線交點對稱的任意兩數(shù)的和為17；（3）每一象限（I、II、III、IV）的數(shù)字之和為34；（4）I、III象限的上行數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的下行數(shù)字之和；I、III象限下行數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的上行數(shù)字之和。（5）I、III象限的右列數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的左列數(shù)字之和；I、III象限左列數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的右列數(shù)字之和。（6）第一行和第四行的平方和相等，第二行和第三行的平方和相等。 （7）第一列和第四列的平方和相等，第二列和第三列的平方和相等。（8）兩條對角線上的