2022年不定積分教案

1、學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 第五章 不定積分 章節(jié)題目： 不定積分的概念 不定積分的性質(zhì) 換元積分法 分部積分法 學(xué)時支配：共 6 學(xué)時； 教學(xué)支配說明 不定積分的概念 1 學(xué)時 不定積分的性質(zhì) 1 學(xué)時 換元積分法 2 學(xué)時 分部積分法 2 學(xué)時 本章教學(xué)目的與要求： 懂得并把握原函數(shù)與不定積分的概念；嫻熟把握不定積分 的基本公式和基本積分方法,嫻熟地利用換元積分法與分部積分法求不定積分； 課 堂 教 學(xué) 方 案（一） 課程名稱： 5.1 不定積分的概念； 不定積分的性質(zhì) 授課時數(shù)： 2 學(xué)時 授課 類型 : 理論課 教學(xué)方法與 手段： 講授法 教學(xué)目的與要求： 懂得并把握原函數(shù)與不定積分的概念；嫻

2、熟把握不定積分的基 本公式,明白不定積分的基本運算法就,能夠用不定積分的基本公式和性質(zhì)求不 定積分 教學(xué)重點,難點： 教學(xué)重點：原函數(shù)和不定積分的概念 ,不定積分的性質(zhì)及幾何意 義,不定積分的基本公式；教學(xué)難點：不定積分的概念及幾何意義和用不定積分 的性質(zhì)求不定積分； 教學(xué)內(nèi)容 不定積分的概念 1. 原函數(shù)與不定積分 在微分學(xué)中,我們爭辯了求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的問題；但是,在科學(xué), 第 1 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 技術(shù)和經(jīng)濟的許多問題中,經(jīng)常仍需要解決相反的問題,也就是要由一個函數(shù)的 已知導(dǎo)數(shù)（或微分）,求出這個函數(shù)；這種由函數(shù)的已知導(dǎo)數(shù)（或微分）去求原先 的函數(shù)的運算,稱為不定

3、積分,這是積分學(xué)的基本問題之一； 定義 1 假如函數(shù) f x 與 F x 為定義在某同一區(qū)間內(nèi)的函數(shù) , 并且處處都有 F x f x 或 dF x f xdx , 就稱 F x 是 f x 的一個原函數(shù) . 依據(jù)導(dǎo)數(shù)公式或微分公式 , 我們很簡潔得出一些簡潔函數(shù)的原函數(shù) . 如 sin x cos x , 故 sin x 是 cos x 的一個原函數(shù)； 故 sin x 1 也是 cos x 的一個原函數(shù)； 2故 x 是 2x 的一個原函數(shù)； sin x 1 cos x , 2 x 2 x , 2 x 2 2 x , 2 故 x 也是 2x 的一個原函數(shù) . 由此可見 , 一個函數(shù)的原函數(shù)并不

4、是唯獨的 . 對此有以下兩點需要說明： 第一,如在某區(qū)間內(nèi) F x 為 f x 的一個原函數(shù),即 F x f x , 就對任意常 數(shù) C , 由于 F x C f x , 所以函數(shù) F x C 都是 f x 的原函數(shù) . 這說明假如 函數(shù) f x 有原函數(shù) , 那么它就有無限多個原函數(shù) . 其次,如在某區(qū)間內(nèi) F x 為 f x 的一個原函數(shù),那么, f x 的其它原函數(shù)和 F x 有什么關(guān)系？ 設(shè) x 是 f x 在同一區(qū)間上的另一個原函數(shù),即 0, x f x ,于是有 x F x x F x 由于導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)必為常數(shù),因此 第 2 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 x F x 歡迎下載 C1

5、 C1為某個常數(shù) , 即 x F x C1. 這說明 f x 的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù) . 因此 , 假如 F x 是 f x 的一個原函數(shù) , 就 f x 的全體原函數(shù)可以表示為 F x C 其中 C 為任意常數(shù) . 為了更便利地表述一個函數(shù)的全體原函數(shù) 2. 不定積分的概念 , 我們引入下面不定積分的概念 . 定義 2 函數(shù) f x 在某區(qū)間內(nèi)的全體原函數(shù)稱為 f x 在該區(qū)間內(nèi)的不定積分 , 記為 f xdx , 其中記號 稱為積分號 , f x 稱為被積函數(shù) , f xdx 稱為被積表達式 , x 稱為積分 變量 . 即 f xdx F x C . 這說明 , 要運算函數(shù)的不定

6、積分 C 就可以了 . 例 1 求 f x 2 x 的不定積分 . , 只需求出它的一個原函數(shù) , 再加上任意常數(shù) 解：由于 x2 e2 x , 所以 f xdx 2xdx x 2 C. 例 2 求 f x x 的不定積分 . x e dx x eC. 解： 由于 ex ex , 所以 f xdx 3. 不定積分學(xué)的幾何意義 不定積分的幾何意義 : 如 F x 是 f x 的一個原函數(shù),就稱 y F x 的圖象為 f x 的一條積分曲線 . 于是 , f x 的不定積分在幾何上表示 f x 的某一條積分曲 線沿縱軸方向任意平移所得一組積分曲線組成的曲線族 . 如在每一條積分曲線上 橫坐標相同的

7、點處作切線 , 就這些切線相互平行 如圖 -1, 任意兩條曲線的縱坐 第 3 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 標之間相差一個常數(shù) . 給定一個初始條件 , 就可以確定一個常數(shù) C 的值,因而就確 定了一個原函數(shù),于是就確定了一條積分曲線 例 3 設(shè)曲線通過點 1,2 ,且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍 ,求 此曲線的方程 為 解：設(shè)所求的曲線方程為 y f x , 按題設(shè), 曲線上任一點 x, y 處的切線斜率 說明 y f x 是 2x 的一個原函數(shù) . 由于 2x 的全體原函數(shù)為 2, 解 路 2xdx 2 x C , 所以曲線方程為 y f x x 2 C , 又由于曲線

8、過點 1,2 , 故 f 1 2 , 1C 得 C 1 , 于是所求曲線為 y f x 2 x 1. 例 4 一物體作直線運動,速度為 vt 2t 21m / s,當 t 1s 時,物體所經(jīng)過的 程為 3m,求物體的運動方程； 解：設(shè)物體的運動方程為 s st . 依題意有 s t vt 2t 2 1, 所以 st 2t 1dx 2 t 3 3 t C 2將 t 1, s 3 代入上式,C 4 ,因此,所求物體的運動 方程為 得 32 3 4st t t 3 3一般,如 F x 是函數(shù) f x 的原函數(shù), 那么 y F x 所表示的曲線稱為 f x 的 一條積分曲線； 不定積分 f xdx 在

9、幾何上表示由積分曲y F x 沿 y 軸方向上 線 下平移而得到的一族曲線,稱為積分曲線族；這就是不定積分的幾何意義； 課堂練習(xí)：填空 第 4 頁,共 27 頁（ ） 4 x （ 學(xué)習(xí)必備 x 歡迎下載 ） 2ex 2） csc （ x 小結(jié)：本節(jié)表達了原函數(shù)的概念,不定積分的概念,性質(zhì)及幾何意義； 4. 基本積分表及常用的積分公式 第一節(jié)我們知道積分與微分互為逆運算,因此由其次章的導(dǎo)數(shù)的基本公式可 以相應(yīng)地寫出不定積分的基本公式；列表如下： （1） kdx kx C k 是常數(shù) ； （2） x dx uu1 1x u 1 C 1 ； 1（3） dx ln x C ； x （4） a dx x

10、 ln a 1a x C a 0,a 1 ； （5） e xdx e x C ； （6） sin xdx cosx C ； （7） cosxdx sin x C ； （8） 12 dx sec 2xdx tan xC； cos x （9） 12 dx csc 2xdx cot xC； sin x （10） 12 dx arcsin x C ； 1 x （11） 12 dx arctan x C ； 1 x （12） secx tan xdx secx C ； （13） cscxcot xdx cscx C ； 以上 13 個基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ) 會起到關(guān)鍵性的作用 . , 如能熟記

11、, 就對不定積分的運算 以上 11 個公式是求不定積分的基礎(chǔ),必需熟記； 第 5 頁,共 27 頁例 5 求以下不定積分：（1） 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 1dx （ 3） 2x x e dx xdx （ 2） 2 x 解：1 xdx 11 21111C23Cx 2 dx x 2 Cx 2 32 1 x 2 dx 2 x dx 1 21x 2 1 C1 x C3 2 x exdx 2e x dx x 2e C2x ex ln 2e 1ln 2 不定積分的性質(zhì) 依據(jù)不定積分的定義,可以得到其如下性質(zhì)： 性質(zhì) 1 兩個函數(shù)之和 差 的不定積分等于這兩個函數(shù)的不定積分之和 差, 即 f x g xdx f

12、 xdx gxdx . 證明 ：依據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法就, 因此 f xdx gxdx f xdx gxdx f x g x, f xdx gxdx 是 f x g x 的原函數(shù) , 而且上式含有不定積分記號 , 因此 已經(jīng)含有任意常數(shù) , 故上式即為 f x 類似可證明如下性質(zhì) . g x 的不定積分 . 證畢. 性質(zhì) 2 不為零的常數(shù)因子可以移到積分號前 af xdx a f xdx a 0 x 3sin x 4x C例 1 求不定積分 ex 2 sin xdx. 解： ex 2sin xdx x e dx 2 sin xdx x e2cos x C . 例 2 求 x 2 3cosx 4dx

13、解： x 2 3cosx 4dx = x 2 dx 3 cosxdx 4 dx = 12ln 2 第 6 頁,共 27 頁例 3 求不定積分 x1dx . x 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 2 解： 2 x 1dx x x 551C2x 3C2x C. x 22 dx 25133 x 22x 1 33 x C . 例 4 求不定積分 x 2 2 x dx .解： x 2 2 x dx x 2 dx 2 x dx ln 2 留意：在分項積分后,每個不定積分的結(jié)果都應(yīng)有一個積分常數(shù),但任意常 數(shù)的和仍是常數(shù),因此最終結(jié)果只要寫一個任意常數(shù)即可； 例 5 求 2 x 1 dx 2 x 1 dx x 21 dx

14、 x 1 x 2 22 x ln x Cx 2 解： （ x 1 x dx 2 x x 例 6 求 2 tan xdx 解： 2 tan xdx 2 sec x 1dx tan x x C上面例題都是屬于基本積分法的應(yīng)用,就是利用基本積分公式和積分運算法 就直接求不定積分 . 但有時并不是被積函數(shù)直接就符合基本積分公式,需要對被積 函數(shù)作適當?shù)暮愕茸儞Q . 如用代數(shù)運算或三角關(guān)系等對被積函數(shù)進行變形,是變 形后的被積函數(shù)能直接使用基本公式和運算法就求出不定積分 . C例 7 求 cos2 xdx 2x dx 21 cos xdx 2 12sin 2 x dx . cos x 2sin xcos

15、 x dxcos x 1 cos xdx1 2x sin xdx解： 2 cos 例 8 求不定積分 2 sin xdx 2cos x C . 解： sin 2 x dx cos x 例 9 求不定積分 3 x e xdx . 第 7 頁,共 27 頁解： x x 3 e dx x 3e dx 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 x x 3 e 1 ln 3 C . 例 10 求不定積分 4 x 2 dx . 1 x 1,所以 C 解：由于 4 x dx x2 112 1 x 2 x 4 x 1 x 2 dx 2 x 111 x 2 dx 3 x x arctan x 3小結(jié)：本節(jié)表達了不定積分的基本公式和基

16、本運算法就,以及利用直接積分法求 函數(shù)的積分方法； 作業(yè)： P1511； 3（ 1）（4）（ 6）（7）（10）（11） 課 堂 教 學(xué) 方 案（二） 課程名稱： 換元積分法 授課時數(shù)： 2 學(xué)時 授課 類型 : 理論課 教學(xué)方法與 手段： 講授法 教學(xué)目的與要求： 把握第一類換元積分法和其次類換元積分法求不定積分的基本 方法和步驟；強調(diào)其次類換元積分法與第一類換元積分法之間的區(qū)分；明白其次 類換元積分法適用的函數(shù)類型 教學(xué)重點,難點： 教學(xué)重點：第一類換元積分法和其次類換元積分法；教學(xué)難點： 第一類換元積分法中中間變量 u x 的選取,靈敏地運用微分公式湊微分 du d x xdx; 其次類

17、換元積分法中適當選取單調(diào)連續(xù)函數(shù) x t ,將積分 f x dx 化為積分 f t tdt ,求出結(jié)果； 教學(xué)內(nèi)容 換元積分法 有時僅僅依靠不定積分的性質(zhì)和基本積分表來運算不定積分是特殊有限的 , 因 第 8 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 此有必要爭辯求不定積分的一種重要方法 , 其實質(zhì)是把復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法就反過 來用于求不定積分 , 也就是利用變量代換來求不定積分 , 這種方法稱為換元積分法 . 依據(jù)換元方式的不同 , 通常把換元法分為兩類 . 1不定積分的第一類換元法 湊微分法 例 1 求不定積分 1dx. 1 2x 分析 基本積分公式表中沒有與該積分一樣的公式 , 因此該積分不能直

18、接由積 分公式與不定積分的性質(zhì)求得 . 但留意到 11是復(fù)合函數(shù) , 且 d2 x 1 2dx , 于 2 x 是可做如下的變換和運算 : 解 1dx 1 1112dx 111d2 x 1, 2 x 22 x 22 x 11du 令 u 2x 1 , 由 1 ln 2| 2 x 1 | C 12u1 2ln | u | C, 1ln | 2 x 1| C將 u 2x 1 回 代, 21, 驗證上述積分結(jié)果正確 . 2 x 一般地,對于積分 f ax bdx ,總可以作變換 u ax b ,把它化為 f ax bdx 1f ax bdax b . a1f udu u ax b a一般地 , 有:

19、 定理 1 如 f xdx F x C 且 u x 可導(dǎo), 就 f udx F u C 定理 1 說明, 在基本積分公式中 , 將 x 換成任一可導(dǎo)函數(shù) u x 后公式仍然成 立, 從而擴充了基本積分公式的使用范疇 . 定理中的結(jié)論可表示為 f xd x F x C, 第 9 頁,共 27 頁即 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 f x xdx F x C 由此得到如下求不定積分的步驟 , 即 f x xdx f x d x （湊微分） f udu （令 u x ） F u C（積分公式） F x C（將 u x 回代） . 上述方法稱為第一類換元法或湊微分法 . 留意：假如中間換了元,積分完了后,確定要回

20、代,即將積分后的函數(shù)中 的變量 u 換成 x ；假如嫻熟過后,可以不要換元這步,就將 x 當作一個變 量來積分即可,最終也不需要回代了； 例 2 求不定積分 2 x 1 10dx . 1解：利用湊微分方法 dx d ax b , 此時 a 2,b 1, a2 x 1 dx 10 12 x 1 2 x 1 dx 10 12 x 1 d2 x 10 1（湊微分） 2 21u du 10 換元, 令 u 2x 1 21 u 11 C2 11 12 x 1 11 C 將 u 2x 1 回22 代. 8例 3 求 3x 1 dx 解： 3 x 1 8 dx 1 3x 1 8 3dx 313 x 1 （3

21、x 81 dx 13 x 1 d 3 x 1 83 3第 10 頁,共 27 頁18 u du 學(xué)習(xí)必備 C歡迎下載 C1 u27 91 27 9 3x 1 3例 4 求 2 xe x dx e22xdx 1e2x 2 dx 1ex d x 2 2 = 1 ex2 C解： xe2 x dx 1 2x x 222例 5 求 2 ln x dx x 解： 2 ln x dx x 2 ln xdln x 1 ln 3 3 x C例 6 求不定積分 x1 1 dx . 2ln x 解： x1 1dx x 111 dx x x 11 dln x 2ln x 2ln 2ln 111d1 2ln x x 湊

22、微分公式 22ln 11 du u令 u 12 ln x 21ln | u | C1ln | 1 2 ln x | C 將 u 1 2 ln x 回代. 22注: 一般情形有 1 f ln x dx x f ln xdln x 當運算嫻熟后 , 可以不把換元和回代過程寫出來 , 而是直接運算下去 . 例 7 求不定積分 1 x x 2 dx 1 2 1 2解： 依據(jù)不定積分的第一類換元法,有 xdx dx d1+ x ,所以 2 22 2x 2 dx 1 2 xdx 2 1 d1+ x 2 ln 1+ x C 1 x 2 1 x 2 1 x 2例 8 求不定積分 a 2 1x 2 dx . 解

23、： 2 12 dx 1 1 1dx 1 dx 1 dx a x 2a a x a x 2a a x 2a a x 1 1 1 a x ln a x ln a x C ln C2a 2 a 2 a a x 第 11 頁,共 27 頁例 9 求 2 x 1a2dx（ a 0 學(xué)習(xí)必備 a歡迎下載 d x a d x a a 解： 2 x 12dx 1 2a 11dx = 1 2a ax ax x ax = 1 ln 2a x _ a ln x aC= 1ln 2a x aCln cos x Cx a例 10 求 a212 x dx（ a 0 解： a212 x dx a1dx x d a arcs

24、in x Cx 2 a1x 2 aa1例 11 求 2 2 dx（ a 0 a x d x 解： a 2 1x 2 dx a 121 dx x 2 1a 1 x a2 1 arctan x a a Ca a例 12 求不定積分 tan xdx . 解： tan xdx sin x dx d cos x cos x cos x 同理 cot xdx ln sin x C例 13 求不定積分 sin 2xdx . 解： 方法一 sin 2 xdx 1sin 2 xd2 x 1cos 2x C ； C ； 2C . 22方法二 sin 2xdx 2 sin x cosxdx 2 sin xdsin

25、x 2 sin x 方法三 sin 2xdx 2 sin x cosxdx 2 cosxdcos x cosx在此例中三種方法得到的結(jié)果并不一樣 , 這說明不定積分的結(jié)果不是唯獨的 , 接受不同的方法 , 可以顯現(xiàn)不同形式的結(jié)果 . 但不同形式的結(jié)果 , 他們之間只相差 一個常數(shù) . 第 12 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 例 14 求不定積分 secxdx. 解： secxdx 1 dx cos x cos x 2 dx cos x dsin x C . 1 sin 2 x 1 ln 2 1 sin x Cln 1 sin x Cln secx tanx 1 sin x cos x 同

26、理 cscxdx ln cscx cot x C例 15 求不定積分 sin x ecosxdx 解：依據(jù)不定積分的第一類換元法,有 cos xdx dsin x ,即 sin x e cos xdx sin x e dsinx sin x eC 例 16 求不定積分 arctan x2dx 2 1 x 解：湊微分 11dx darctan x ,有 2 x arctan x dx 2 arctan x darctan x 13 arctan x 2 1 x 3第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法 , 不過如何適當?shù)剡x取代換卻 沒有一般的規(guī)律可循 , 只能具體問題具體分析 . 要把握好這種

27、方法 , 需要熟記一些 函數(shù)的微分公式 , 并善于依據(jù)這些微分公式對被積表達式做適當?shù)奈⒎肿冃?. 下面是部分經(jīng)常使用湊微分法的積分類型及其湊微分的方法 : （1） f ax bdx 1f ax bd ax b ； a（2） 1 f ln x dx x f ln xdlnx ； （3） f e x e xdx f e x de x ； （4） f sin xcos xdx f sin xdsin x ； （5） f cos xsin xdx f cosxdcos x ； 第 13 頁,共 27 頁（6） f tan xsec2xdx 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 f tan xdtan x ； 2（7）

28、 f cot xcsc xdx f cot xdcot x ； 1（8） f arcsin x 2 dx f arcsin xdarcsin x； 1 x （9） f arctanx 12 dx f arctanxdarctan x ； 1 x f x 1（10） dx d f x ln | f x | C f x f x 2其次類換元積分法 第一類換元積分法是先湊微分 , 再用新變量 u 代替 x , 但是有些不定積分需 要作相反方式的換元 , 即令 x 后再將 t 1x 回代 . t , 把 t 作為新的積分變量 , 從而簡化積分運算 , 最 例 17 求不定積分 x 3dx 3 ,此時

29、dx 2tdt ,于是 x 解：令 t x 3t 0, 即 x t 2 x 3dx 2 t t 32tdx 2 2 t 3dx 3 t 2 33t C, x 再將 t x 3回代 , 整理后得 x 3dx 2x 6 x 13 2C x 3一般地 , 定理 2（其次類換元積分法） 設(shè)函數(shù) f x 在某區(qū)間 I 上連續(xù) , 又 x t 在 t 對 應(yīng)的區(qū)間上的導(dǎo)數(shù) t 連續(xù), 且 t 0 ,就有換元公式 f xdx f t t dtt 1 x , 第 14 頁,共 27 頁其中 t 1 x 是 x 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 t 的反函數(shù) . 對于被積函數(shù)中含有 nax b 的不定積分 , 可令 ax n

30、b t , 即作變換 x 1 t a nb , a 0, dx n t a n 1 dt , 以簡化運算 . 例 18 求 1dx 1 x 2解：令 x t, 就 t , dx 2tdt.于是 x 1 1 1 t t 1dx 2tdt 2 dt 2 1 dt 1 x 1 t 1 t 1 t = 2t ln 1 t C 2 x ln1 x C例 19 求不定積分 1 dx x x 解：令 3x 13 t, x t 3 13 ,d x 3t 2dt, 就 43x 1dx 3 t dt 3 3t 4C 3x 1 3C 3 4 4 33例 20 求不定積分 1 1 x dx1 x 解： 令 t 6 1

31、 x ,就 x t 61, dx 6t dt ,于是有 53 2 3 51 1 x 1 t 5 2 2 t t dx 3 6t dt 6 1 t t dt 6 C, 1 x t 3 5再將 t 6 1 x 回代,得 第 15 頁,共 27 頁1學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 x 5C 1xdx 31 x 2 1 x 661 52 2 2 2 2 2假如被積函數(shù)中含有二次根式 a x , a x , x a , a 0 時, 通常 接受三角函數(shù)換元的方法去掉根號 : 含 a 2 x 2 時, 設(shè) x a sint ; 含 a 2 x 2 時, 設(shè) x a tant ; 含 x 2 a 2 時, 設(shè) x as

32、ect . 例 21 求不定積分 2 12 dx . a x 解： 令 x asin t , t , dx a costdt , 于是 2 21 12 2 dx 2 2 2 a costdt dt t C. a x a a sin t 再由 x a sint , 得 t arcsin x , 將其回代上式 , 得, 1dx arcsin x C. a a 2 x 2 a例 22 求 2 12 dx（ a 0 x a2 2 2 2 解：令 x a sect 0 t , 就 x a a sec t 1 a tan t ,dx a sect tan tdt . 2于是 1 dx a sect tan

33、 t dt sectdx ln sect tan t C1 ,依據(jù) sect x 知 x 2 a 2 a tan t ax 2 a 2 tant ,因此 ax 2 1a 2 dx ln x a x 2 a a 2 C1 = ln x 2a 2x ln a C1 2 2= ln x a x C （其中 C=C1 ln a ） 第 16 頁,共 27 頁例 23 求不定積分 14學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 dx 9 x2解： 14dx 114dx ,令 x 2sect 0 t 2, dx 2sect tan tdt , 2 9 x 32 x 339就有 9 x 124 dx 13 14 dx 13 sec

34、tdt 13 ln | sect tant | C1 x 2 91ln | sect sec 2 t 1 | C , 3再將 t arccos 2 回代 ,得到 3 x 12 dx 1 ln | 3 x 3 x 21 | C19x 4 3 2 21ln | 3 x 9 x 24 | C , 3其中 C C1 1 ln 2 3例 24 求不定積分 2 12 dx a 0 x a解： 令 x a tan t t , dx a sec 2 tdt ,就有 2 2x 2 1a 2 dx asecasect 2 t dt sectdt ln sect tant C0 2ln 1 tan t tant C

35、0 ln x x 2 a 2 C0 a aln x x 2 a 2 C第 17 頁,共 27 頁其中 CC0 ln a . 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 綜上所述, 當被積函數(shù)含有形如 a22 x 或 2 x a2的根式時, 可作如上三種 變換,上述三種變換稱為三角代換；有些函數(shù)即可用第一類換元法又可用其次類 換元積分法來積分； 上面的三個例子中,最終的回代過程可借助直角三角形的邊角關(guān)系進行；如 2 2當 被 積 函 數(shù) 中 含 a x 時 , 設(shè) x asin t , 可 作 輔 助 直 角 三 角 形 如 圖 , 易 得 2 2c o st aa x , t a nt a 2 x x 2 等其它三角

36、函數(shù)值；當含有含 a 2x 2時 , 設(shè) x a tant , 可作幫忙直角三角形如圖 4-3 ；當含有 x 2 a 2 時, 設(shè) x a sect , 可作輔 助直角三角形如圖 4-4, 圖 5-1 利用直角三角形的邊角關(guān)系 原積分變量 x 的關(guān)系式 ,即可找出積分結(jié)果中新變量 t 的三角函數(shù)仍原為 下面再列出部分初等函數(shù)的不定積分,以補充基本積分公式表： （1） tan xdx ln | cosx | C ； （2） cot xdx ln | sin x | C ； （3） secxdx ln | secx tanx | C ； （4） cscxdx ln | cscx cot x | C

37、 ； 第 18 頁,共 27 頁（5） a212 x dx 1 x arcsin a a1 a ln | 2a a 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 Ca 0 ； x | C（6） a 2 1x2 dx a 0 ； x （7） a12 x dx arcsin x Ca2a 0 ； 0 ； 0 2a（8） x1dx ln | x 2 x | Ca 2 a2 （9） 2 a 2 x dx a2arcsin x x a22 x Ca 2a2有些函數(shù)即可用第一類換元法又可用其次類換元積分法來積分； 例 25 求 x 3dx x 解 1: 用第一類換元法,得 x 3dx x 3 3dx x 333d x 3 3Cx

38、x 3x = 2 x 36x1C2 x 3 36 x 3 23 233解 2: 用其次類換元法；令 x 3t, 就 x 2 t 3, dx 2tdt x 3dx 2 t t 32tdt 2 2 t 3dt t 32 33t Cx = 2 x 3 36 x 3C3課堂練習(xí) 第 19 頁,共 27 頁1dx x 2 x 2 x 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 4dx x dx x dx 2 x 39x 1小結(jié)：本節(jié)分別表達了用第一類,其次類換元積分法求函數(shù)的積分 作業(yè)： P189 3 23678910151720 4 1456 課 堂 教 學(xué) 方 案（三） 課程名稱： 分部積分法 授課時數(shù)： 2 學(xué)時 授課類

39、型 : 理論課 教學(xué)方法與手段： 講授法 教學(xué)目的與要求： 把握分部積分法的步驟和積分法適用的函數(shù)類型； 教 學(xué) 重 點 , 難 點 ： 教 學(xué) 重 點 ： 分 部 積 分 法 公 式 的 使 用 , 正 確 地 選 取 函 數(shù) u u x, v vx 求出不定積分；教學(xué)難點：用分部積分法時,把握對不同的函數(shù) 積分怎樣選擇 u u x, v vx 的原就,使不定積分簡潔求出； 教學(xué)內(nèi)容 分部積分法 前面介紹的換元積分法雖然可以解決許多的積分運算問題,但有些積分,如 x xe dx, xsin xdx 等等 , 利用換元法求解仍是無法完成的 . 本節(jié)我們介紹另一種基 本積分方法分部積分法 . 設(shè)

40、 u u x, v vx 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),就由函數(shù)求導(dǎo)法就得： uv u v uv , 移項得 : uv uv u v , 所以有 ud v u v dv ,u （1） 或者 u vd x u v ud v. x （2） 式（ 1）或式（ 2）稱為分部積分公式 第 20 頁,共 27 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 vdu 化為 udv 或 利用分部積分公式求不定積分的關(guān)鍵在于如何將所給積分 uv dx形 也就是選擇好 u, v , 一般情形下 , 選擇 u, v , 可依據(jù)反三角函數(shù) , 對數(shù) 式 , 函數(shù) , 冪函數(shù) , 三角函數(shù) , 指數(shù)函數(shù)的次序 , 把排在前面的那類函數(shù)選作 u , 而把排在 后

41、面的那類函數(shù)選作 v 這樣使它更簡潔運算 . 例 1 求不定積分 xsin xdx . 解：令 u x, sin xdx d cos x dv ,就 cosxdx xcosx sin x C xsin xdx uv dx xdcos x x cosx 在使用分部積分法時 ,可不必按部就班地寫出 u, v 的表達式 , 而直接依據(jù)公式 （ 1）寫出求解過程；另外,有些函數(shù)的積分需要連續(xù)多次應(yīng)用分部積分法 例 2 求 xcosxdx； 解： 令 u x, dv cos xdx,就 v sin x,于是 xsin x cosx Cxcosxdx xdsin x xsin x sin xdx xxin

42、x cosx C. 1 2此題如令 u cos x, dv xdx, 就 x ,于是 v 21 2 1 2 1 2x cos xdx cos xd x cos x x x d cos x 2 2 21 2 1 2x cos x x sin xdx. 2 21 2這樣新得到的積分 x sin xdx 反而比原積分 xcosxdx 更難求了；所以然在分2 部 積分法中, u ux和 dv dv x 的選擇不是任意的, 假如選取不當, 就得不出結(jié)果； 在通常情形下,按以下兩個原就選擇 u u x和 dv x ： dv （1） v x 要簡潔求,這是使用分部積分公式的前提； 第 21 頁,共 27 頁

43、（2） vdu 要 比 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 udv 簡潔求出,這是使用分部積分公式的目的； 例 3 求 xe dx x ； C. 解： 設(shè) u x, dv x e dx, 就v x e , 于是 xe xdx x xdex xee x dx x xee x 注：在分部積分法中, u 及 dv 的選擇有確定規(guī)律的； 當被函數(shù)為冪函數(shù)與正 （余） 弦或指數(shù)函數(shù)的乘積時,往往選取冪函數(shù)為 u. 例 4 求不定積分 x 2e xdx . 解： x 2e xdx x 2 de x x 2e x 2xe x dx x 2e x 2 xde x 2 x x x 2 x x e 2 xe 2e dx x 2x

44、 2e C例 5 求不定積分 xln xdx . 解： x ln xdx 1ln xd x2 1 2 x ln 2x x2dln x, ,就 v 1 3 x ,于是 212 x ln x 12 x 1 dx x 12 x ln x 1xdx 222212 x ln x 12 x C 24例 6 求 2 x ln xdx ； 解： 為使 v 簡潔求得,選取 uln x, dv 2 x dx d1 3 x 232 x ln xdx 13 ln xdx 11 3x ln x 31 x 2 dx 31 33 x d ln x 3 1 3 x ln x 3 x ln x 1x3 C. 339例 7 求不

45、定積分 arcsin xdx . 解：被積函數(shù)是反三角函數(shù)和冪函數(shù) 1 0 x 的乘積 , 應(yīng)選取 arcsin x u , 于是 第 22 頁,共 27 頁arcsin xdx x arcsin x 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 1x 2 dx , xdarcsin x x arcsin x x再利用換元積分法得 arcsinxdx xarcsin x 1d1 2 x xarcsinx 1x 2 C 21x2 例 8 求 arctanxdx； 解： 設(shè) u arctan x, dv dx,就 v x,于是 x 11dx arctan xdx x arctan x xd arctan x x arcta

46、n x 2 x x arctan x 111 2x 2 d 1 x x arctan x 1ln |1 2 x | C. 22例 9 求 xarctanxdx； 解： xarctan xdx arctan xd 1 2 x 1 2 x arctan x 12 x d arctan x 2221 22 x arctan x 12 x 11dx 1 22 x arctan x 1111dx 22 x 22 x 1 22 x arctan x 1x arctan x C. 2注：假如被積函數(shù)含有對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù),可以用考慮用分部積分當, 并設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 u ； 注：在分部積分法應(yīng)用嫻

47、熟后,可把認定的 直接在分部積分公式中應(yīng)用； u , dv 記在心里在而不寫出 來, 仍有一類積分的求解過程是通過分部積分,獲得所求不定積分中意的一個方 程,然后把不定積分解出來這也是一種比較典型的求不定積分的方法,特殊是 被積函數(shù)為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積時是經(jīng)常用到的 例 10 求不定積分 e x cosxdx . 第 23 頁,共 27 頁解： x ecosxdx cosxde x 學(xué)習(xí)必備 ex 歡迎下載 cosx ex ex sin xdx cosx x e dcosx 再次利用分部積分法 ,得到 cox x x e cos xdx cosx ex x sin xde x x e cosx e sin x x e dsin x e x c o sx es i xn x e由上述等式可解得 e x cos xdx 1 e x sin x cosx C 2 例 11 求 e x sin xdx ； x x x x x x 解： e sin xdx e d cosx e cosx e cosxdx e cosx e dsin x x x x x x e cosx e dsin x e cosx e sin x e sin xdx x 由于上式第三項就是所求的積分 e sin xdx ,把它移到等式左邊,得 x x 2 e s