固體物理(第3課)晶格分類

1、1.7 晶體的宏觀對稱性與晶格結(jié)構(gòu)的分類系統(tǒng)的一些要素等價。對稱性使系統(tǒng)的描述簡化。晶體的對稱操作：使晶體與自身重合的操作，操作之后，點陣不變 。1.7.1 晶體的對稱性與對稱操作 平移，旋轉(zhuǎn)，鏡反射， 中心反演。1.7.2 對稱操作的變換關(guān)系(1)旋轉(zhuǎn)/轉(zhuǎn)動：如果晶體繞固定軸u旋轉(zhuǎn)角度=2/n后，能與自身重合，則此對稱操作稱為旋轉(zhuǎn)，軸u稱為n度旋轉(zhuǎn)對稱軸（n度軸），記作n。n=1,2,3,4,6n度旋轉(zhuǎn)=2/1=2/4=2/6=2/3=2/2(2)中心反演： 如果晶體中存在一個固定點O，當(dāng)以O(shè)為坐標(biāo)原點，并將晶體中任一點（x，y，z）變?yōu)椋▁，-y，-z）時，晶體能與自身重合，則該對稱操作稱

2、為中心反演，點O為反演中心，記作i。 如果晶體中存在一個平面，當(dāng)以它作為xoy面，并將晶體中任一點（x，y，z）變?yōu)椋▁，y，-z）時，晶體能與自身重合，則該對稱操作稱為反映，該平面稱為晶體的對稱面或鏡面，記作m。(3)反映（鏡面反演，鏡象）： (4)像轉(zhuǎn)：如果晶體繞某固定軸u旋轉(zhuǎn)2/n后，再通過某點O作中心反演，能與自身重合，則此對稱操作稱為像轉(zhuǎn)，軸u稱為n度像轉(zhuǎn)對稱軸，記作 。 =1,2,3,4,6如果晶體中存在i和n，則晶體中必有 ；但晶體中如果存在 ，則未必有n和i。 (示意圖) 不是獨立的對稱操作：只有 是獨立的。 (示意圖)正四面體示意圖返回abab并非4度旋轉(zhuǎn)ab并非反演baab

3、中心對稱旋轉(zhuǎn)ab轉(zhuǎn)動2/4，ab正四面體示意圖返回像轉(zhuǎn)示意圖返回平移示意圖返回返回點群和空間群(1)點群：一個晶體所包含的全部對稱操作的集合。(2)最簡單的點群是Cn群，即旋轉(zhuǎn)，利用二維晶格可證明。(3)若只考慮宏觀對稱性，不考慮平移，晶體中有8種獨立的對稱元素：1，2，3，4，6，i，m ， 組合起來，得到32種宏觀對稱類型，即32種點群。*(4)空間群：點群的延伸，32種點群再加另外兩種操作，導(dǎo)出230種微觀對稱類型。晶系與布喇菲原胞結(jié)晶學(xué)中的布喇菲原胞(晶胞)一般包括幾個最小重復(fù)單元，格點不僅在頂角上，而且可以在體心或面心上。晶軸：晶胞的基矢沿對稱軸或在對稱面的法向上，構(gòu)成了晶體的坐標(biāo)系

4、，基矢即是晶軸。晶系：把晶胞基矢 滿足同一類要求(邊長a，b，c和夾角，)的一種或數(shù)種布喇菲格子稱為一個晶系。七大晶系14種布喇菲格子（14種布喇菲原胞，14種晶胞）* (示意圖)晶系示意圖返回級別晶系布喇菲原胞數(shù)對稱特征坐標(biāo)系的性質(zhì)點群符號低級三斜簡單三斜沒有對稱軸或只有一個反演中心abc1，單斜簡單單斜，底心單斜一個2度軸或1個對稱面abc=90902，m，2/m正交簡單正交，底心正交，體心正交，面心正交。有3個互相垂直的2度軸abc=90222，mm2，mmm中級三角簡單三方/三角一個3度軸a=b=c=90四方簡單四方，體心四方一個4度軸abc=90六角簡單六方/六角一個6度軸a=bc=

5、 90=120高級立方簡單立方，體心立方，面心立方四個3度軸a=b=c=90abc三斜晶系和單斜晶系單斜晶系簡單單斜 底心單斜abc =90 90一個2度軸或1個對稱面，2，m，2/m三斜晶系abc簡單三斜點群：11度旋轉(zhuǎn)2/1又名石青，化學(xué)成分Cu3CO32(OH)2，單斜晶系斜方柱晶類。 （均為復(fù)式布拉菲晶格）正交晶系簡單正交abc =90底心正交 面心正交體心正交有3個互相垂直的2度軸三角晶系四方晶系簡單四方a=bc =90體心四方一個4度軸一個3度軸a=b=c=90aaa簡單三方六角晶系a a c 簡單六方 一個6度軸a=bc= 90=120立方晶系簡單立方a=b=c =90體心立方

6、面心立方四個3度軸和三個4度軸(100)(010)(001)完全對稱，可用100表示，稱為等效晶面布喇菲原胞示意圖返回作業(yè)：1 如果晶體中存在i和n，則晶體中必有 ；但晶體中如果存在 ，則未必有n和i。上述說法是否正確，請舉例說明。2 總結(jié)像轉(zhuǎn)與中心反演、旋轉(zhuǎn)、鏡面對稱的關(guān)系。1.9 倒格子(倒易點陣reciprocal)*S0ABOPS1.9 1 倒格子(倒易點陣)*的定義：1 正格矢與倒矢點P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲點陣中由原胞基矢a1，a2，a3構(gòu)成的矢量，S0和S是入射線和衍射線的單位矢量，經(jīng)過O點和P點衍射后光程差為：原子可向空間任何方向散射X光線，只有一

7、些固定方向可形成衍射。當(dāng)X光為單色光，衍射加強的條件為： Rl(S-S0)=u 令 ，代入上式，衍射加強條件變?yōu)椋?Rl （k -k0） = 2 u根據(jù)正點陣與倒易點陣的關(guān)系，(k-k0)必是倒易空間中的位置矢量，令：有 Rl Gh = 2 u ( Rl和Gh 不一定平行)可見， Rl和 Gh的量綱是互為倒逆的， Rl是格點P的位置矢量，稱為正矢量， kh稱為倒易矢量。若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3，則稱由b1，b2，b3為基矢構(gòu)成的點陣為倒易點陣.(b1，b2，b3)如何確定？1.9.2 倒格子空間(倒易點陣)*1.倒矢與正格矢的關(guān)系： 2. 倒格子點陣與正格子點陣的關(guān)系為什么在倒

8、易關(guān)系中存在2 因子，這是因為如此定義的互為倒易的兩個矢量G與T之間滿足下面簡潔的恒等式： exp(iG T) = 1(5)倒易點陣與正點陣互為倒易點陣(6)倒易點陣與正點陣有相同的宏觀對稱性倒格矢和正點陣晶面族示意圖返回3.倒易點陣與傅里葉變換(示意圖)總結(jié)：晶體點陣倒易點陣實際晶體結(jié)構(gòu)虛構(gòu)顯微圖像衍射圖像微觀粒子一族晶面線度量綱：L線度量綱：L1位置空間坐標(biāo)空間倒易空間傅里葉空間K空間1.9.3 常見晶格的布里淵區(qū)(1) 一維晶格(2) 二維晶格離原點最近的倒格點有個：b1，-b1，b2，-b2b1-b1b2b2離原點次近的倒格點有個：b1b2 ，b1-b2 ，b2，-b2b1b2b1-b

9、2-b1b2b1-b2離原點再遠的倒格點有個： b1，-b1，b2，-b2b1b1bb二維正方晶格的布里淵區(qū)二維長方晶格的布里淵區(qū)二維六方晶格的十個布里淵區(qū) 面心立方晶格的第一布里淵區(qū)(3) 三維晶格 a. 簡立方晶格示意圖 b. 體心立方晶格 示意圖體心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞常數(shù)為 。c. 面心立方晶格 示意圖面心立方晶格的倒易晶格是體心立方，其晶胞常數(shù)為 。3. 總結(jié)布里淵區(qū)是由倒格矢中垂面圍成的封閉區(qū)，其形狀與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)；每個布里淵區(qū)的體積都等于倒易原胞的體積，其中包含N個k點，可容納2N個電子；簡約布里淵區(qū)是未被分割的整塊，它即是倒易點陣的維格納賽茨原胞；布里淵區(qū)邊界上

10、的k點對應(yīng)的電子能量是不連續(xù)的，其能隙為2|Vn|。布里淵區(qū)示意圖1返回離原點最近的倒格點有6個：b1，b2，bb1-b1b2b2bb布里淵區(qū)示意圖2-1體心立方的倒易點陣是面心立方倒易離原點最近的有個倒格點 第一布里淵區(qū)原點和12個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體體心立方的倒格子是面心立方，離原點最近的有十二個倒格點，在直角坐標(biāo)系中它們的坐標(biāo)為：相應(yīng)的倒格矢長度這十二個倒格矢的中垂面圍成菱形十二面體：其體積正好等于倒格子原胞的體積大小布里淵區(qū)示意圖2-2返回布里淵區(qū)示意圖3-1體心立方的倒易點陣是面心立方倒易離原點最近的有個倒格點個次鄰格點 第一布里淵區(qū) 八個面是正六邊形 六個面是正

11、四邊形布里淵區(qū)示意圖3-2返回 第一布里淵區(qū)為十四面體 布里淵區(qū)中某些對稱點和若干對稱軸上的點能量較為容易計算，這些點的標(biāo)記符號布里淵區(qū)原點六方面的中心四方面的中心 計為 軸 方向計為 軸 方向 將零級近似下的波矢k移入簡約布里淵區(qū)，能量變化的圖像，圖中定性畫出了沿軸的結(jié)果圖5 閃鋅礦結(jié)構(gòu)的本征GaN材料的能帶結(jié)構(gòu)圖，導(dǎo)帶最小和價帶最大。作 業(yè)1 總結(jié)七大晶系的對稱特征及坐標(biāo)軸的性質(zhì)。2 試證簡單立方晶格的倒易點陣仍為簡單立方晶格。3 試證明體心立方和面心立方互為倒易點陣。5 分別計算體心立方和面心立方第一布里淵區(qū)的體積（假設(shè)其晶胞晶格常數(shù)為a）。1.10 晶體結(jié)構(gòu)的實驗測定與衍射X射線衍射勞

12、厄提出晶體作為X光衍射光柵衍射理論:當(dāng)輻射波長與晶格中原子間距相比數(shù)量級相等或更小時，可發(fā)生顯著衍射。晶體中原子數(shù)量級為10-10m，輻射波長應(yīng)小于10-10m。X射線：由高壓電加速后的電子高速撞擊金屬靶材后產(chǎn)生X射線。鋁、鎂、鎢、鉬 1885年倫琴發(fā)現(xiàn)了穿透性很強的射線稱射線勞 厄 斑 點鉛板單晶片 照像底片 單晶片的衍射1912年勞厄?qū)嶒瀀 射線冷卻水 X射線的衍射K勞厄斑點晶體可看作三維立體光柵掌握晶體點陣結(jié)構(gòu)根據(jù)勞厄斑點的分布可算出晶面間距 晶體底片鉛屏X 射線管勞厄斑德國物理學(xué)家勞厄M.von.Laue (1879-1960)布 拉 格 反 射入射波散射波 1913年英國布喇格父子提

13、出了一種解釋射線衍射的方法，給出了定量結(jié)果，并于1915年榮獲物理學(xué)諾貝爾獎掠射角晶格常數(shù) 相鄰兩個晶面反射的兩X射線干涉加強的條件 布喇格公式布喇格父子(W.H.Bragg, W.L.Bragg) 用途 測量射線的波長研究X射線譜，進而研究原子結(jié)構(gòu)；研究晶體的結(jié)構(gòu)，進一步研究材料性能.例如對大分子 DNA 晶體的成千張的X射線衍射照片的分析，顯示出DNA分子的雙螺旋結(jié)構(gòu).DNA 晶體的X衍射照片DNA 分子的雙螺旋結(jié)構(gòu) 布拉格公式1.10.1 X射線衍射的基本原理晶體對輻射的散射可看作是一系列晶面對輻射的散射。單色輻射源，且和觀測點距晶體的距離都大于晶體的線度，入射光和散射光都看作是平行光。散射前后波長不變。散射輻射間相互加強的條件為： n=1,2,3.稱為衍射級數(shù) 布拉格定律S0ABOPS點P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲點陣中由原胞基矢a1，a2，a3構(gòu)成的矢量，S0和S是入射線和衍射線的單位矢量，經(jīng)過O點和P點衍射后光程差為：布拉格定律雖然簡單,但物理模型太簡單。在實際情況下，衍射條件不僅和面間距有關(guān)，還和晶面上原子的分布及種類有關(guān)。需要考慮更復(fù)雜的情況，如下圖：原子可向空間任何方向散射X光線，只有一些固定方向可形成衍射。勞厄方程 衍射加強的條件為：Rl(S-S0)=u 勞厄方程N=1，入射波矢為k0的情況1.10.2 厄瓦爾反