2023高考科學復習解決方案-數(shù)學(名校內(nèi)參版) 第三章 3.1函數(shù)及其表示（word含答案解析）

1、31函數(shù)及其表示(教師獨具內(nèi)容)1在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用，理解構(gòu)成函數(shù)的三要素，能求簡單函數(shù)的定義域2體會區(qū)間表示集合的簡潔性和優(yōu)越性，重點是函數(shù)的概念、函數(shù)的表示法及定義域和值域的求法，特別是理解抽象函數(shù)的定義域與值域，理解分段函數(shù)的概念及其應(yīng)用3重點提升數(shù)學抽象、數(shù)學運算和數(shù)學建模素養(yǎng)(教師獨具內(nèi)容)1函數(shù)的定義域、值域問題在高考中一般不單獨考查，但常會和函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等結(jié)合考查2對于函數(shù)的表示方法，要求在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解

2、析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用3對于分段函數(shù)，從近五年的全國卷來看，多與函數(shù)的零點、解不等式結(jié)合考查(教師獨具內(nèi)容)(教師獨具內(nèi)容)1函數(shù)及其有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作yf(x)，xA，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的 eq o(,sup3(01)定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的 eq o(,sup3(02)值域(2)函數(shù)的三要素： eq o(,sup

3、3(03)定義域、 eq o(,sup3(04)值域和 eq o(,sup3(05)對應(yīng)關(guān)系(3)同一個函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且 eq o(,sup3(06)對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)注：兩函數(shù)值域與對應(yīng)關(guān)系相同時，兩函數(shù)不一定相同2函數(shù)的三種表示法(1)用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為 eq o(,sup3(01)解析法(2)一般地，將函數(shù)yf(x)，xA中的自變量x和對應(yīng)的函數(shù)值y分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點(x，y)組成的集合F稱為函數(shù)的圖象，即F(x，y)|yf(

4、x)，xA這就是說，如果F是函數(shù)yf(x)的圖象，則圖象上任意一點的坐標(x，y)都滿足函數(shù)關(guān)系yf(x)；反之，滿足函數(shù)關(guān)系yf(x)的點(x，y)都在函數(shù)的圖象F上用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為 eq o(,sup3(02)圖象法(3)列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為 eq o(,sup3(03)列表法3分段函數(shù)如果一個函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有 eq o(,sup3(01)不同的對應(yīng)關(guān)系，則稱其為分段函數(shù)注：關(guān)于分段函數(shù)的三個注意(1)分段函數(shù)雖然由幾個部分構(gòu)成，但它表示同一個函數(shù)(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義

5、域的并集，值域是各段值域的并集(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交1(2022撫順市雷鋒高級中學高三月考)已知函數(shù)f(x) eq f(1,x)，則f(x1)()A eq f(2,x1) B eq f(1,x1) C eq f(2,x) D eq f(1,x1)答案D解析依題意f(x1) eq f(1,x1).故選D.2(2022銀川唐徠回民中學高三月考)f(x) eq blc(avs4alco1(x22x，x0，,x，x0，)則f(3)()A3 B3 C0 D6答案A解析30，f(3)32233.故選A.3(2022福建省廈門第六中學高三月考)若函數(shù)yf(x)的定義域為Mx|2x2，值域為Ny|0

6、y2，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是()答案B解析對于A，當x(0，2時，在集合N中，沒有對應(yīng)的實數(shù)，所以不構(gòu)成函數(shù)，不符合題意；對于B，根據(jù)函數(shù)的定義，本選項符合題意；對于C，出現(xiàn)了定義域當中的一個元素對應(yīng)值域當中的兩個元素的情況，不符合函數(shù)的定義，不符合題意；對于D，值域當中有的元素在集合M中沒有對應(yīng)的實數(shù)，不符合題意故選B.4(2022廣東廣州高三月考)已知集合A2，1，0，1，2，Bx|y eq r(x24)，則AB()A2 B2，2C2 D1，0，1答案B解析對于集合B，x240 x2或x2，即B(，22，)，則AB2，2故選B.5函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(x26

7、，x1，2，,x7，x1，1），)則f(x)的最大值和最小值分別為()A8，6 B10，8 C10，6 D10，7答案C解析由題意得，當1x2時，7f(x)10；當1x1時，6f(x)4，所以B不符合題意；對于C，因為y2x22x2 eq r(2x22x)4，當且僅當2x22x，即x2x，x1時取等號，所以ymin4，所以C符合題意；對于D，當0 x1時，ln x0，yln x eq f(4,ln x)2，所以f( eq r(6)642，所以f(f( eq r(6)f(2)1a3，解得a2.3(2020北京高考)函數(shù)f(x) eq f(1,x1)ln x的定義域是_答案(0，)解析由題意得 e

8、q blc(avs4alco1(x0，,x10，)x0.函數(shù)的定義域為(0，).一、基礎(chǔ)知識鞏固考點函數(shù)的概念例1(2021安陽模擬)設(shè)集合Mx|0 x2，Ny|0y2，那么下列四個圖形中，能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有()A. BC D答案C解析圖象不滿足函數(shù)的定義域，不正確；滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，正確；不滿足函數(shù)的定義例2下列各組是同一個函數(shù)的是()Af(x)x22x1(xR)，g(s)s22s1(sZ)Bf(x)x1，g(x) eq f(x21,x1)Cf(x) eq r(x2)，g(x) eq blc(avs4alco1(x，x0，,x，x0時，每一個x的值對應(yīng)兩個不同

9、的y值，因此不是函數(shù)圖象；中，當xx0時，y的值有兩個，因此不是函數(shù)圖象；中每一個x的值對應(yīng)唯一的y值，因此是函數(shù)圖象故選B.2(2021上海嘉定區(qū)期末)已知函數(shù)f(x) eq f(x,x1)(x1)，g(x) eq f(x1,r(x)(x2)，若存在函數(shù)F(x)，G(x)滿足：F(x)|f(x)|g(x)， eq f(G（x）,f（x）)|g(x)|，學生甲認為函數(shù)F(x)，G(x)一定是同一個函數(shù)，乙認為函數(shù)F(x)，G(x)一定不是同一個函數(shù)，丙認為函數(shù)F(x)，G(x)不一定是同一個函數(shù)，觀點正確的學生是_答案甲解析因為f(x) eq f(x,x1)(x1)，g(x) eq f(x1,

10、r(x)(x2)，所以|f(x)| eq blc|rc|(avs4alco1(f(x,x1)(x1)，F(xiàn)(x) eq blc|rc|(avs4alco1(f(x,x1) eq f(x1,r(x) eq r(x)(x2)， eq f(G（x）,f（x）)|g(x)|， eq f(G（x）,f(x,x1) eq blc|rc|(avs4alco1(f(x1,r(x)(x2)，解得G(x) eq r(x)(x2)，所以F(x)G(x) eq r(x)(x2).故觀點正確的學生是甲研究一個函數(shù)，首先要看函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域考點函數(shù)的定義域例3(2021湘潭模擬)函數(shù)f(x) eq r(

11、254x2)ln (ex1)的定義域為_答案 eq blc(rc(avs4alco1(0，f(5,2)解析由f(x) eq r(254x2)ln (ex1)，得 eq blc(avs4alco1(254x20，,ex10，)解得0 x eq f(5,2)，所以f(x)的定義域為 eq blc(rc(avs4alco1(0，f(5,2).例4(2021河南高三期末)設(shè)函數(shù)f(x) eq r(3x1)ln (4x)的定義域為A，函數(shù)g(x)x2x1的值域為B，則AB_(結(jié)果用區(qū)間表示).答案 eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，4)解析由f(x) eq r(3x1)ln (4x)

12、得 eq blc(avs4alco1(3x10，,4x0，)解得 eq f(1,3)x4，則A eq blcrc)(avs4alco1(f(1,3)，4)，g(x) eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2) eq sup15(2) eq f(3,4) eq f(3,4)，當且僅當x eq f(1,2)時取“”，則B eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)，所以AB eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，4).3.(2021安徽省舒城中學高三月考)已知函數(shù)f(x)log2x的值域是1，2，則函數(shù)(x)f(2x)f(x2)的定義域為()A eq r

13、(2)，2 B2，4 C4，8 D1，2答案A解析因為f(x)的值域為1，2，即1log2x2，所以2x4，所以f(x)的定義域為2，4，所以(x)f(2x)f(x2)應(yīng)滿足 eq blc(avs4alco1(22x4，,2x24，)解得 eq r(2)x2，所以(x)的定義域為 eq r(2)，2.故選A.4(1)已知函數(shù)yf(x2)的定義域為1，4，求函數(shù)yf(x)的定義域解yf(x2)中，1x4，3x26，故函數(shù)yf(x)的定義域為3，6.(2)已知函數(shù)yf(2x)的定義域為0，1，求函數(shù)yf(x1)的定義域解yf(2x)中，0 x1，02x2，函數(shù)yf(x1)中，0 x12，1x1，函

14、數(shù)yf(x1)的定義域為1，1.求函數(shù)定義域的策略(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義或從實際出發(fā)，求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，可借助數(shù)軸，注意端點值的取舍(2)如果函數(shù)yf(x)是用表格給出，則表格中x的集合即為定義域，如果函數(shù)yf(x)是用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域.(3)求抽象函數(shù)的定義域：若yf(x)的定義域為(a，b)，則解不等式ag(x)1)解析(換元法)令 eq f(2,x)1t，得x eq f(2,t1)，因為x0，所以t1，所以f(t)lg eq f(2,t1)，即f(x)的解析式是f(x)lg eq f(2,x1)(

15、x1).(2)若f(x)為二次函數(shù)且f(0)3，f(x2)f(x)4x2，則f(x)的解析式為_答案f(x)x2x3解析(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3，所以f(x)ax2bx3，所以f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.所以 eq blc(avs4alco1(4a4，,4a2b2，)所以 eq blc(avs4alco1(a1，,b1，)所以所求函數(shù)的解析式為f(x)x2x3.(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)2x，則f(x)的解析式為_答案f(x)2x解析(解方程組法)f(x)2f(x)2x，將x換成x得f(x

16、)2f(x)2x，由消去f(x)，得3f(x)6x，所以f(x)2x.5.(2022河北正定中學高三月考)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，且f(x)2f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq r(x)1，則f(x)()A eq f(r(x),3) eq f(2,3)(x0) B eq f(2r(x),3) eq f(1,3)(x0)C eq r(x)1(x0) D eq r(x)1(x0)答案B解析因為f(x)2f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq r(x)1，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)2f(x) eq r

17、(f(1,x)1，聯(lián)立，解得f(x) eq f(2r(x),3) eq f(1,3)(x0).故選B.6已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2x1)4x26x5，則f(x)_答案x25x9(xR)解析解法一(換元法)：令2x1t(tR)，則x eq f(t1,2)，所以f(t)4 eq blc(rc)(avs4alco1(f(t1,2) eq sup15(2)6 eq f(t1,2)5t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR).解法二(配湊法)：因為f(2x1)4x26x5(2x1)210 x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR).解法三(待定系數(shù)法)：因為f(x)是二次

18、函數(shù)，所以設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因為f(2x1)4x26x5，所以 eq blc(avs4alco1(4a4，,4a2b6，,abc5，)解得 eq blc(avs4alco1(a1，,b5，,c9，)所以f(x)x25x9(xR).求函數(shù)解析式的四種方法考點分段函數(shù)例6(2021安徽省泗縣第一中學高三月考)設(shè)函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(log2（x1），x2，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup15(x)1，x1，則x0的取值范圍是()A(，0)(2，)B(0，2)C(，

19、1)(3，)D(1，3)答案C解析若f(x0)1，可得當x01，解得x01，解得x03.則x0的取值范圍是(，1)(3，).故選C.例7(2021泰安模擬)已知函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(log3（x1）2，x0，,f（x3），x0，)則f(2022)_答案2解析根據(jù)題意，當x0時，f(x)f(x3)，所以f(2022)f(03674)f(0)，f(0)log3(01)22，所以f(2022)2.7.(2021山東青島模擬)已知函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(x23x1，x0，,ex，x0，)則不等式f(3a1)f(a2)2的解集為()A eq blc(rc

20、(avs4alco1(，f(1,2)1，)B eq blc(rc(avs4alco1(，f(3r(5),2) eq blcrc)(avs4alco1(f(3r(5),2)，)C eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)D eq blcrc(avs4alco1(f(3r(5),2)，f(3r(5),2)答案A解析因為a20，所以f(a2)2(ea2)2e2a2f(2a2)，所以f(3a1)f(a2)2，即f(3a1)f(2a2)，畫出f(x)的圖象如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以3a12a2，即2a23a10，解得a1或a eq f(1,2).故選A.8(2021

21、山西太原三中模擬)設(shè)函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(x21（x2），,log2x（0 x2），)若f(m)3，則f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)m)_答案1解析當m2時，m213，所以m2或m2(舍去)；當0m0，,ln x0，)所以 eq blc(avs4alco1(2x1，,x0，,x1，)所以0 x1.故選C.2已知函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(2x1，x1，,2x4，x1，)則f(f(1)()A0 B eq f(3,4) C eq f(5,4) D4答案C解析由題意知f(1)2142，所以f(f(1)f(2)221 eq f(

22、5,4).3已知函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(ex，x0，,ax2，x0，)若f(f(0)1，則a的值為()A1 B0 C1 D2答案A解析因為f(f(0)f(e0)f(1)a(1)21，所以a的值為1.4已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，2，則函數(shù)f( eq r(x1)的定義域為()A1，) B(1，3C eq r(5)，3) D(0， eq r(5)答案B解析由0 eq r(x1)2，得1x3.5已知函數(shù)f(x)x|x|，若f(x0)4，則x0的值為()A2 B2C2或2 D eq r(2)答案B解析當x0時，f(x)x2，f(x0)4，即x eq oal(sup3(2),

23、sdo1(0)4，解得x02.當x0時，f(x)x2，f(x0)4，即x eq oal(sup3(2),sdo1(0)4，無解，所以x02.6(2021東營模擬)設(shè)函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(x，x1，R，,2x，x1，)若對任意的aR，都有f(f(a)2f(a)成立，則的取值范圍是()A(0，2 B0，2C2，) D(，2)答案C解析當a1時，2a2，所以f(f(a)f(2a)22a2f(a)恒成立當a0，,logsdo9(f(1,2)（x），xf(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1，0)(1，)D(，1)(0，1)答案C解析當a

24、0時，af(a)得log2alog eq f(1,2)a，所以2log2a0，可得a1；當a0，由f(a)f(a)得log eq f(1,2)(a)log2(a)，所以2log2(a)0，即0a1，即1a0.綜上可知，1a1.故選C.8已知f(x) eq blc(avs4alco1(（12a）x3a，x0，,ln 112a3a，)所以 eq blc(avs4alco1(af(1,2)，,a1，)所以1a0且a1)答案CD解析A項和B項中兩個函數(shù)的定義域不同，故不是同一個函數(shù)，C項和D項中兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個函數(shù)故選CD.三、填空題11.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，

25、則函數(shù)g(x)log eq r(2)f(x)的定義域是_答案(2，8解析要使函數(shù)有意義，需f(x)0，由f(x)的圖象可知，當x(2，8時，f(x)0.12(2022河南南陽一中月考)已知函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(3log2x，x0，,x2x1，x0，)則不等式f(x)5的解集為_答案2，4解析當x0時，令3log2x5，即log2x2log24，解得0 x4；當x0時，令x2x15，即(x3)(x2)0，解得2x3，所以2x0.所以不等式f(x)5的解集為2，4.13定義新運算“ eq avs4alco1()”：當mn時，m eq avs4alco1()nm；當mn時，

26、m eq avs4alco1()nn2.設(shè)函數(shù)f(x)(2 eq avs4alco1()x)x(4 eq avs4alco1()x)，x1，4，則函數(shù)f(x)的值域為_答案2，0(4，60解析由題意知，f(x) eq blc(avs4alco1(2x4，x1，2，,x34，x（2，4，)當x1，2時，f(x)2，0；當x(2，4時，f(x)(4，60，故當x1，4時，f(x)2，0(4，60.14具有性質(zhì)：f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(x)的函數(shù)f(x)我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)，給出下列函數(shù)：f(x)x eq f(1,x)；f(x)x eq f(1,x)；

27、f(x) eq blc(avs4alco1(x，0 x1.)其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是_(填序號).答案解析對于，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq f(1,x)xf(x)，符合題意；對于，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq f(1,x)xf(x)，不符合題意；對于，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq blc(avs4alco1(f(1,x)，0f(1,x)1，)即f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq blc(avs4alco1(f(1,x)，x1，,0，x1，,x，0 x1

28、，)故f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(x)，符合題意綜上，滿足“倒負”變換的函數(shù)是.四、解答題15已知f(x) eq blc(avs4alco1(f（x1），2x0，,2x1，0 x0，求實數(shù)a的值解(1)由題意，得f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2 eq f(1,2)12.(2)當0a2時，由f(a)

29、2a14，得a eq f(3,2)，當a2時，由f(a)a214，得a eq r(5)或a eq r(5)(舍去).綜上所述，a eq f(3,2)或a eq r(5).16已知函數(shù)f(x)x2mxn(m，nR)，f(0)f(1)，且方程xf(x)有兩個相等的實數(shù)根(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當x0，3時，求函數(shù)f(x)的值域解(1)因為f(x)x2mxn且f(0)f(1)，所以n1mn，所以m1，所以f(x)x2xn.因為方程xf(x)有兩個相等的實數(shù)根，所以方程xx2xn有兩個相等的實數(shù)根，即方程x22xn0有兩個相等的實數(shù)根，所以(2)24n0，所以n1.所以f(x)x2x1.(2)由(1)可知f(x)x2x1.此函數(shù)的圖象是開口向上，對稱軸為直線x eq f(1,2)的拋物線，所以當x eq f(1,2)時，f(x)有最小值f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2).f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(2) eq f(1,2)1 eq f(3,4)，因為f(0)1，f(3)32317，所以當x0，3時，函數(shù)f(x)的值域為 eq blcrc(avs4alco1(f(