選修曲線參數(shù)方程

1、關(guān)于選修曲線的參數(shù)方程第一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月？救援點(diǎn)投放點(diǎn) 一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處100m/s的速度作水平直線飛行。為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？ 即求飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離多遠(yuǎn)時(shí)，開始投放物資？如圖，建立平面直角坐標(biāo)系。 因此,不易直接建立x,y所滿足的關(guān)系式。 x表示物資的水平位移量，y表示物資距地面的高度， 由于水平方向與豎直方向上是兩種不同的運(yùn)動，第二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月xy500o物資投出機(jī)艙后，它的運(yùn)動由下列兩種運(yùn)動合成：（1）沿ox作初速為100m/s的勻速直線運(yùn)

2、動；（2）沿oy反方向作自由落體運(yùn)動。 在這個(gè)運(yùn)動中涉及到哪幾個(gè)變量？這些變量之間有什么關(guān)系？ t時(shí)刻，水平位移為x=100t，離地面高度y，即：y=500-gt2/2，物資落地時(shí)，應(yīng)有y=0，得x10.10m；即500-gt2/2=0，解得，t10.10s， 因此飛行員在距離救援點(diǎn)水平距離約為1010米時(shí)投放物資，可以使其準(zhǔn)確落在指定位置。第三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 參數(shù)方程的概念： 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x，y 都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù) 那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。 并且對于

3、t 的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn) M(x, y) 都在這條曲線上， 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x, y的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù)。 相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。第四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例1: 已知曲線C的參數(shù)方程是 （為參數(shù)） (1)判斷點(diǎn)M1(0，1)，M2(5，4)與曲線C的位置關(guān)系；(2)已知點(diǎn)M3（6，a）在曲線C上，求a的值。 解：(1)把點(diǎn)M1的坐標(biāo)(0,1)代入方程組，解得t=0，所以M1在曲線上把點(diǎn)M2的坐標(biāo)(5,4)代入方程組，得到這個(gè)方程無解，所以點(diǎn)M2不在曲線C上(2)因?yàn)?/p>

4、點(diǎn)M3(6,a)在曲線C上，所以解得t=2, a=9 所以，a=9.第五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí) 1、曲線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是( )BA(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0)2、方程所表示的曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)是( )DA(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)3 已知曲線C的參數(shù)方程是 點(diǎn)M(5,4)該曲線上.(1)求常數(shù)a; （2）求曲線C的普通方程 (1)由題意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2； 代入第二個(gè)方程得: y=(x-1)2/4 第六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6

5、月（4）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程.參數(shù)方程求法: （1）建立直角坐標(biāo)系, 設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為;（2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù); （3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì), 物理意義, 建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式;第七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圓的參數(shù)方程第八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月復(fù)習(xí)：1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？它表示怎樣的圓？(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圓心坐標(biāo)為 (a,b),半徑為r的圓。2.三角函數(shù)的定義？3.參數(shù)方程的定義？一般地，在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即第九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022

6、年6月探求：圓的參數(shù)方程點(diǎn)P在P0OP的終邊上, 如圖,設(shè)O的圓心在原點(diǎn),半徑是r.與x 軸正半軸的交點(diǎn)為P0 ,圓上任取一點(diǎn)P,若OP0 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OP位置所形成的角P0 OP =,求P點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)三角函數(shù)的定義得解:設(shè)P（x,y）,(1) 我們把方程組(1)叫做圓心為原點(diǎn)、半徑為r的圓的參數(shù)方程。 其中參數(shù)表示OP0到OP所成旋轉(zhuǎn)角， 。第十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月yxorM(x, y) 圓周運(yùn)動中，當(dāng)物體繞定軸作勻速運(yùn)動時(shí)，物體上的各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動， 怎樣刻畫運(yùn)動中點(diǎn)的位置呢？第十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月那么=t. 設(shè)|OM|=r，那

7、么由三角函數(shù)定義，有如果在時(shí)刻t，點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的角度是，坐標(biāo)是M(x, y)，即這就是圓心在原點(diǎn)O，半徑為r 的圓的參數(shù)方程參數(shù) t 有物理意義(質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動的時(shí)刻)考慮到=t，也可以取為參數(shù)，于是有第十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圓心為原點(diǎn)半徑為r 的圓的參數(shù)方程. 其中參數(shù)的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過的角度 圓心為 ，半徑為r 的圓的參數(shù)方程一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。第十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月1.寫出下列圓的參數(shù)方程:(1)圓心在原點(diǎn),半徑為 :_;(2)圓心為(-

8、2,-3),半徑為1: _.x = cosy = sinx =-2+cosy =-3+sin2.若圓的參數(shù)方程為 ,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:_.x =5cos+1y =5sin-1(x-1)2+(y+1)2=253.已知圓的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,則它的參數(shù)方程為_.x =1+2cosy =-3+2sin練習(xí)第十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解： x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程, (x+1)2+(y-3)2=1參數(shù)方程為(為參數(shù))例1 已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0,將它化為參數(shù)方程。練習(xí)：第十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 例2 如圖,

9、圓O的半徑為2，P是圓上的動點(diǎn)，Q(6,0)是x軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。yoxPMQ解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x, y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2cos,2sin).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是第十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 已知x、y滿足,求的最大值和最小值解：由已知圓的參數(shù)方程為第十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2 點(diǎn)P(x, y)是曲線為參數(shù))上任意一點(diǎn)，則的最大值為( )A 1 B 2 C D練習(xí)1 P(x, y)是曲線(為參數(shù))上任意一點(diǎn),則的最大值為( )AA36 B6 C26 D25

10、D3 圓的圓心的軌跡是( ) A圓 B直線 C橢圓 D雙曲線A第十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月( 為參數(shù))上任意一點(diǎn),則4 點(diǎn)P(x, y)是曲線的最大值為 .5 已知點(diǎn)P是圓 上一個(gè)動點(diǎn),定點(diǎn)A(12, 0)， 點(diǎn)M在線段PA上，且2|PM|=|MA|，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動 時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x, y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4cos,4sin).2|PM|=|MA|, 由題設(shè)(x-12, y)= 因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是第十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 例4 (1)點(diǎn)P(m,n)在圓x2+y2=1上運(yùn)動,求點(diǎn)Q(m+n, 2mn)的軌跡方程; (

11、2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若該方程表示一個(gè)圓, 求m的取值范圍和圓心的軌跡方程. 已知P(x, y)圓C：x2+y26x4y+12=0上的點(diǎn)。 (1)求 的最小值與最大值(2)求xy的最大值與最小值例5 最值問題例6 參數(shù)法求軌跡 已知點(diǎn)A(2, 0),P是x2+y2=1上任一點(diǎn), 的平分線交PA于Q點(diǎn),求Q點(diǎn)的軌跡.AQ:QP=2:1第二十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 例7 已知A（1，0）、B（1，0）,P為圓上的一點(diǎn),求 的最大值和最小值以及對應(yīng)P點(diǎn)的坐標(biāo). 第二十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月參數(shù)方程和普通方程

12、的互化 第二十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 把它化為我們熟悉的普通方程，有 cos=x-3, sin=y; 于是(x-3)2+y2=1，軌跡是什么就很清楚了 在例1中，由參數(shù)方程直接判斷點(diǎn)M的軌跡是什么并不方便， 一般地, 可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程； 曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式. 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等價(jià)的.把參數(shù)方程化為普通方程：第二十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月（1）參數(shù)方程通過消元（代入消元、加減消元、利用三角恒等式消元等）消去參數(shù)化為普通方程。如：參數(shù)方程消去參數(shù)

13、可得圓的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.參數(shù)方程（t為參數(shù)）可得普通方程y=2x-4通過代入消元法消去參數(shù)t ,（x0）。注意： 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價(jià)的. 第二十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 例1、把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線？解: (1)由得代入得到這是以（1，1）為端點(diǎn)的一條射線；所以把得到第二十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1) (x-2)2+y2=9(2) y=1- 2x2（- 1x1）(3) x2- y=2（

14、x2或x- 2）練習(xí)、將下列參數(shù)方程化為普通方程：步驟：（1）消參； （2）求定義域。第二十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí) 將下列參數(shù)方程化為普通方程(2)第二十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月B例2 求參數(shù)方程表示（ ）（A）雙曲線的一支, 這支過點(diǎn)（1, 1/2）;（B）拋物線的一部分, 這部分過（1, 1/2）;（C）雙曲線的一支, 這支過點(diǎn)（1, 1/2);（D）拋物線的一部分, 這部分過（1, 1/2).第二十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例3、把下列參數(shù)方程化為普通方程， 并說明它們各表示什么曲線？第二十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于20

15、22年6月例、將下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或x- 2）步驟：（1）消參； （2）注意取值范圍。第三十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種：1.代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù)2.三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)3.整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征, 整體上消去 化參數(shù)方程為普通方程為F(x,y)=0：在消參過程中注意變量x、y取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f

16、(t)和g(t)值域得x、y的取值范圍。小 結(jié)第三十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月普通方程化為參數(shù)方程：普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)：如：直線 l 的普通方程是 2x-y+2=0，可以化為參數(shù)方程: 一般地, 如果知道變量x, y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變量與參數(shù)t的關(guān)系y=g(t)，那么:就是曲線的參數(shù)方程。 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x, y的取值范圍保持一致第三十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 求橢圓的參數(shù)方程：(1)設(shè)為參數(shù)；(2)設(shè)為參數(shù).為什么兩個(gè)參數(shù)方程合起來才是橢圓的參數(shù)方程？第三十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月在y=x2中，xR, y0，因而與 y=x2不等價(jià)；練習(xí):曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（ ）.在A、B、C中，x, y的范圍都