高二數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)突破：專(zhuān)題15 圓錐曲線?？碱}型03-定點(diǎn)問(wèn)題（解析版）

1、 23/23專(zhuān)題15 圓錐曲線?？碱}型03定點(diǎn)問(wèn)題圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn)解決這個(gè)難點(diǎn)沒(méi)有常規(guī)的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是明確的，定點(diǎn)問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就可以用變量表示問(wèn)題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，而這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系中不受變量影響的某個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn)求解這類(lèi)難點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量1如圖，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線過(guò)定點(diǎn)

2、【解答】解：（1）由拋物線的方程可得準(zhǔn)線的方程為：，再由拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到直線的距離，所以由題意可得，解得，所以拋物線的方程為：；（2）證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，可得：，解得，所以直線的方程為：，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)2已知拋物線（1）若與圓在第一象限內(nèi)交于，兩點(diǎn)，求直線的方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，求證：為定點(diǎn)【解答】解：（1）聯(lián)立，解得或，故，可得直線的方程為，即，（2）證明：由題意，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡(jiǎn)整理可得，由韋達(dá)定理可得，由題意，可設(shè)直線方程為，化簡(jiǎn)整理可得，解得，方程為，直線必過(guò)點(diǎn)，為定

3、點(diǎn)，即得證3設(shè)，和，是拋物線上的兩點(diǎn)，且（）若，求直線的方程；（）證明：當(dāng)點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)【解答】解：（），和，是拋物線上的兩點(diǎn)，且，由，可得，則，或，可得直線的方程為，即為；或，即為；（）證明：由題意可得，相減可得，可得的斜率，可得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，可得的垂直平分線方程為，即為，可得，則線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)，4已知曲線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1（）求曲線的方程；（）若不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)【解答】解：（）因?yàn)榍€上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，所以曲線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等

4、，所以曲線為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，即，所以曲線的方程為（）證明：根據(jù)題意當(dāng)?shù)男甭什课?時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，可得，所以，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以，所以，即（舍去）或，所以直線的方程為，即，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性知，此時(shí)也過(guò)，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)綜上直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)5如圖，過(guò)頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸為軸的拋物線上的點(diǎn)作斜率分別為，的直線，分別交拋物線于，兩點(diǎn)（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；（2）若，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)【解答】（1）解：設(shè)拋物線的方程為，則代入，可得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）證明：設(shè)，則直線方程，方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消去，得，同理而

5、直線方程為，由，整理得由且，得，故直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)6已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為8（）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，若軸是的角平分線，證明直線過(guò)定點(diǎn)【解答】解：（）設(shè)圓心，過(guò)點(diǎn)作 軸，垂足為，則，化為當(dāng)時(shí)，也滿足上式動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為（）設(shè)，由題意可知，軸是的角平分線，化為直線的方程為，化為，化為，令，則，直線過(guò)定點(diǎn)7已知拋物線的焦點(diǎn)為，且點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最大值為（1）求；（2）已知直線與相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交直線于點(diǎn)問(wèn)：直線是否過(guò)軸上的一定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，試說(shuō)明理由【解答】解：（1）由拋物線的

6、方程可得焦點(diǎn)，圓可得圓心，半徑，到圓的最大距離為：，由題意可得，解得：；（2）由（1）得拋物線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立，整理可得：，由題意可得，所以直線的方程為：，令，可得，所以直線恒過(guò)軸上的一定點(diǎn)8已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿足定點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是，（1）求拋物線的方程；（2）求證：當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要點(diǎn)、存在且不重合），直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】解：（1）設(shè)，聯(lián)立，整理可得：，所以可得，進(jìn)而可得，由，可得：，即，可得，所以拋物線的方程為：；（2）證明：設(shè)，由，三點(diǎn)共線可得，即，整理可得：，所以，同理可得，三點(diǎn)共線，所以直線的方

7、程：，整理可得：，將，的值代入直線方程可得：，所以解得：，所以直線過(guò)定點(diǎn)9在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離為，到直線距離為，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）已知斜率之和為的兩條直線，相交于點(diǎn)，直線，與曲線分別相交于，四點(diǎn)，且線段、線段的中點(diǎn)分別為，問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，到直線距離為，且，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故曲線的方程為；（2）設(shè)，的方程分別為，聯(lián)立方程組，可得，所以，則，同理可得，所以，由，所以，則直線的方程為，整理可得，故直線恒過(guò)

8、定點(diǎn)10在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為記點(diǎn)的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)【解答】解：（1）設(shè)，根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)得曲線的方程為（2）證明：設(shè)，若直線，都存且不為零，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，當(dāng)時(shí)，這個(gè)方程變?yōu)橹挥幸唤?，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，直線與曲線恒有兩個(gè)交點(diǎn)，由韋達(dá)定理，故線段的中點(diǎn)為，同理，線段的中點(diǎn)為，若，則，直線的方程為，即，此時(shí)，直線恒過(guò)點(diǎn)若，則，或，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，若直線，中其中一條

9、的斜率為0，另一條的斜率不存在，不妨設(shè)的斜率為0，則直線，此時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線也過(guò)點(diǎn)，綜上，直線也過(guò)點(diǎn)11已知曲線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等（）求曲線的方程；（）若不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且求證：直線過(guò)定點(diǎn)【解答】（）解：因?yàn)榍€上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可知，曲線的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線的方程為；（）證明：設(shè)直線，聯(lián)立方程組，可得，所以，所以，因?yàn)榫€段為直線的圓過(guò)點(diǎn)，所以為直角三角形，故有，所以，化簡(jiǎn)可得，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，解得或，因?yàn)橹本€不過(guò)原點(diǎn)，所以，故，所以直線，令，則，所以直

10、線恒過(guò)定點(diǎn)12已知雙曲線的離心率為，且該雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)斜率分別為，的兩條直線，均經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且直線，與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)，異于點(diǎn)，若，試判斷直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由【解答】解：（1）由離心率為，且，得，即雙曲線方程為又點(diǎn)在雙曲線上，解得，雙曲線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)，則由，得，即，解得，不符合題意，故直線的斜率存在不妨設(shè)直線的方程為，代入，整理得，設(shè)，則，由，得，即，整理得，整理得：，即，或當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，不符合題意綜上，直線過(guò)定點(diǎn)13設(shè)是橢圓上異于長(zhǎng)

11、軸頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，過(guò)作的切線與分別過(guò)，的切線交于，兩點(diǎn)已知，橢圓的離心率為（1）求橢圓的方程；（2）以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)？如果過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)予以證明，并求出定點(diǎn)；如果不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由【解答】解：（1）由題可知，解得，所以，所以的方程為（2）設(shè)，由于是異于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，故切線斜率存在設(shè)過(guò)的橢圓的切線為，聯(lián)立方程，得，結(jié)合，解得過(guò)點(diǎn)的切線方程為由于分別過(guò)，的切線分別為，解得，的坐標(biāo)為，在軸上取點(diǎn)，則，所以，當(dāng)時(shí)，所以，以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)為，14設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】解：（

12、1）橢圓的焦距為，離心率為，即，又橢圓離心率為，故橢圓的方程為：（2）設(shè)，聯(lián)立，消去整理得：，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，整理得：，解得：或（舍去），所以直線過(guò)定點(diǎn)15已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)點(diǎn)，在中，周長(zhǎng)為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】（1）解：由，又的周長(zhǎng)為，聯(lián)立，解得，橢圓方程為；（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，由，得，此時(shí)，重合，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程：，交點(diǎn)，由，依題：，直線方程為：，則過(guò)定點(diǎn)16已知斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與拋物線，為常數(shù)）交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)

13、時(shí)，弦的長(zhǎng)為（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線方程為，聯(lián)立，得，即（舍或設(shè)，則，弦的長(zhǎng)為，整理，得，解得或（舍，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)的方程為，代入拋物線的方程，可得設(shè)，則，由，直線的方程為，可得，直線的方程為可得，直線過(guò)定點(diǎn)17過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，已知當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)圓，已知，是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線，都與圓相切是坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)【解答】解：（1）由題意可得直線的方

14、程為，設(shè)，聯(lián)立，整理可得，所以，所以，因?yàn)椋?，所以由可得，所以拋物線的方程為；（2）證明：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，所以，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即，因?yàn)橹本€，都與圓相切，圓心到直線，的距離相等，所以，整理可得，代入可得，所以，所以直線的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)18從拋物線上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，垂足為，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，為上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出符合條件的所有定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）

15、設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，?分）即，（3分）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即所以點(diǎn)的軌跡的方程為（5分）（2）以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)和理由如下：設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由得由韋達(dá)定理得，（7分）設(shè)點(diǎn)，則所以直線的方程為令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為（9分）同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（10分）如果以為直徑的圓過(guò)軸某一定點(diǎn)，則滿足因?yàn)樗约矗獾没蚬室詾橹睆降膱A過(guò)軸上的定點(diǎn)和（12分）19已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）求橢圓的方程；（）設(shè)為原點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)、，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)若，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)【解答】解：（）橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得，則橢圓方程為；（）證明：與橢圓方程聯(lián)立，可得

16、，設(shè)，的方程為，令，可得，即，；的方程為，令，可得即，即為，即有，由，解得，滿足，即有直線方程為，恒過(guò)原點(diǎn)20已知橢圓，四點(diǎn)，中恰有三點(diǎn)在橢圓上（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)若直線與直線的斜率的和為，證明：過(guò)定點(diǎn)【解答】解：（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，兩點(diǎn)必在橢圓上，又的橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過(guò)，三點(diǎn)在橢圓上把，代入橢圓，得：，解得，橢圓的方程為證明：（2）證法一：當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，直線與直線的斜率的和為，解得，此時(shí)過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，整理，得，則，又，此時(shí)，存在，使得成立，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，過(guò)定點(diǎn)證法二：將坐標(biāo)系向上平移一個(gè)單位，

17、如圖：橢圓方程化為，即，設(shè)直線對(duì)應(yīng)的直線為，則化齊次聯(lián)立，得：，整理得，結(jié)合兩直線斜率之和為，得，直線恒過(guò)點(diǎn)，在原坐標(biāo)系中，直線過(guò)點(diǎn)21已知橢圓的離心率為，為橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否恒過(guò)橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由【解答】解：（1）由題意，因?yàn)?，所以，而，所以，故橢圓的方程為：，（2）由（1）知，設(shè)的方程為：，代入得：，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以直線的方程為：，令，得，所以，同理可得，若以為直徑的圓過(guò)長(zhǎng)軸上定點(diǎn)，則，設(shè)，則，于是對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，而所以，解得或，因?yàn)?，所以，以為直徑的圓是否恒過(guò)橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為22已知平面內(nèi)的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與過(guò)點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，若直線與直線的斜率乘積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為（1）求的方程（2）設(shè)是與軸正半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別與交于點(diǎn)，若直線，斜率之積為，求證：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】