2022年主元法破解極值點偏移問題

1、. .主元法破解極值點偏移問題2022 年全國 I 卷的第 21 題是一道導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題,出現(xiàn)的形式特別簡潔,考察了函數(shù)的雙零點的問題,也是典型的極值點偏移的問題, 是考生實力與潛力的綜合演練場雖然大多同學(xué)懂得其題意,但對于極值點偏移的本質(zhì)懂得的深度欠佳,面對此類問題大多感到“ 似懂非懂或“ 云里霧里所謂主元法就是在一個多元數(shù)學(xué)問題中以其中一個為“ 主元,將問題化歸為該主元的函數(shù)、方程或不等式等問題,其本質(zhì)是函數(shù)與方程思想的應(yīng)用作為一線的訓(xùn)練教學(xué)工作者,筆者嘗試用 主元法破解函數(shù)的極值點偏移問題,理性的對此類進(jìn)展剖析、探究,旨在為今后的高考命題和高考復(fù)習(xí)教學(xué)供應(yīng)一點參考 . 一、試題再現(xiàn)及解析一

2、題目2022年全國 I 卷函數(shù)fxx2exa x12有兩個零點1求 a 的取值圍；2設(shè) x x 是 f x 的兩個零點,證明：x 1 x 2 2此題第 1小題含有參數(shù)的函數(shù) f x 有兩個零點,自然想到爭論其單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理求得 a 的取值圍是 0,第 2小題是典型的極值點偏移的問題,如何證明呢？二官方解析2不妨設(shè)x 1x ,由 1知,x 1,1 ,x 21,2x 2,1, fx 在,1 上單調(diào)遞減,所以x 1x 22等價于fx 1f2x 2,即fx 2f2x 2212,.word.zl.由于f2x22 x ex 2a x212,而fx 2x22ex 2a x22所以f2x 2fx

3、22 x ex 2x 22e x 2e2xex,令g x2 xexxx e ,那么gxx1x 2所以當(dāng)x1時,gx0,而g10,gx 20,故x 1故當(dāng)x1時,g x10從而g x 2f2. . .二、對解析的分析本問待證是兩個變量的不等式,官方解析的變形是 x 1 2 x ,借助于函數(shù)的特性及其單調(diào)性,構(gòu)造以 x 為主元的函數(shù)由于兩個變量的位置一樣,當(dāng)然也可調(diào)整主元變形為 x 2 2 x ,同理構(gòu)造以 1x 為主元的函數(shù)來處理此法與官方解析正是極值點偏移問題的處理的通法不妨設(shè) x 1 x ,由 1知,2 x 1 ,1 , x 2 1, ,2 x 1 1, f x 在 1, 上單調(diào)遞增,所以

4、x 1 x 2 2 等價于 f x 2 f 2 x 1,即 f x 1 f 2 x 1 02 x x令 u x f x f 2 x xe 2 x e x 1,那么x 2 xu x x 1 e e 0,所以 u x u 1 0,即 f x f 2 x x 1,所以 f x 1 f x 2 f 2 x 1；所以 x 2 2 x ,即 x 1 x 2 2 . 三、例談主元法破解極值點偏移問題對文獻(xiàn) 1的四道例題,筆者都能運用主元法順當(dāng)破解,驗證主元法破解極值點偏移問題的可行性例 1 2022年省市二模第20 題設(shè)函數(shù)fxx eaxa ,其圖象與 x 軸交于A x 1,0,B x 2,0兩點,且x 1

5、x 1求 a 的取值圍；2證明：fe 2,x x 20 fx 1x 為函數(shù) fx 的導(dǎo)函數(shù)；ln ,a上單解： 1a,且0lnax , f 2x 在 0,ln a 上單調(diào)遞減,在調(diào)遞增；2要證明fx x 20,只需證fx 1x20,即fx 12x2flna,.word.zl.2由于fxx ea 單調(diào)遞增,所以只需證x 1x 2lna ,亦即x 22lnax ,2只要證明fx 2fx 1f2lnax 1即可；. . .f令g xfxf2lnaxxlna ,那么gxfxf2lnaxexa22a0,ex所以 g x 在 0,ln a 上單調(diào)遞減,g xglna0,得證例 2 2022年 XX 理科

6、21 題函數(shù)f x xexxR . 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間和極值；2略 3假如x 1x ,且f x 1f x 2,證明x 1x 22解： 1 f x 在,1上是增函數(shù),在1,上是減函數(shù),f x 微小值f11；e3證明：f ex1x ,f x 1f x 2,亦即x ex 1x ex2,且x 11x ,2欲證明x 1x 22,即x 22x ,只需證fx 2f2x 10,即fx 1f2x 10令g xfxf2xx1,那么g xxex2x x e2,由于gx1xexx e20,所以 g x 在,1 上單調(diào)遞增,故g xg10,得證例 3 2022年理科 21 題函數(shù)f x lnx2 ax2a x

7、1爭論f x 的單調(diào)性；2設(shè)a0,證明：當(dāng)0 x1時,f1xf1x；aaa3假設(shè)函數(shù)yf x 的圖象與 x 軸交于A B 兩點,線段AB 中點的橫坐標(biāo)為0 x ,證明：x00在解：1假設(shè)a0,f x 在 0,上單調(diào)增加；假設(shè)a0,f x 在0,1上單調(diào)遞增,a1 , a上單調(diào)遞減；2略. .word.zl. .3由 1可得a0,f 12ax2a在 0,上單調(diào)遞減,f10,xa不妨設(shè)A x 1,0,B x 2,0,0 x 1x ,那么0 x 11x 2,x 2,a欲證明fx00,即fx 0f1,只需證明x0 x 12x21,即x 12aaa只需證明fx2fx 1f2x2a由 2得f2x 2f11

8、x2f11x2fx 2,得證aaaaa1,例 4 2022年文科第 21 題函數(shù)fx1xex.1x21求 fx 的單調(diào)區(qū)間；2證明 :當(dāng)fx 1fx 2x 1x 2時,x 1x 20. 解： 1 fx在,0 上單調(diào)遞增,在0,上單調(diào)遞減；2由1知當(dāng)x1時,fx0不妨設(shè)x 1x ,由于fx 1fx 2,即1x 1ex 11x 2ex 2,那么x 10 x 212 x 11x 22要證明x 1x 20,即x 1x 20,只需證明fx 1fx 2,即fx 2fx 2而f x 2fx 2等價于12 x ex 21x20,令g x 12 x ex1x x0,那么g x 12 2 x ex1,令h x 2

9、 1 2 x ex1,那么h x 2 4 xex0,所以h x 單調(diào)遞減,h x h00,即gx0,所以 g x 單調(diào)遞減,所以g xg00,得證對文獻(xiàn) 3的例 1,朱老師供應(yīng)了 更為簡捷？3 種方法,筆者也可運用主元法順當(dāng)破解,請看以下解析,豈不例 5 函數(shù)fxx443 x 與直線ya a1交于A x a B x a ,證明：x 1x 22. 33. .word.zl. .解：函數(shù)fxx443 x ,fx4x2x1,那么 fx 在,1 上單調(diào)遞減, 在 1,3上單調(diào)遞增,且f4f00；0 x 12x 21,只需證明30 x 11,1x 24,要證明x 1x 22,即1假設(shè)3fx 1f2x 2

10、,即fx 2f2x 213在 1,上單調(diào)遞增,fxf2xx1,那么g x16x令g x3故g xg10；2假設(shè)x 10,x 24,同理可證x 1x 22,得證3四、通法提煉 一般地,主元法破解極值點偏移問題思路是：第一步：依據(jù)fx 1fx 2x 1x 2建立等量關(guān)系,并結(jié)合fx 的單調(diào)性,確定x x 的取 1 2值圍；其次步：不妨設(shè) x 1 x ,將待證不等式進(jìn)展變形,進(jìn)而結(jié)合原函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化如例 1、例 3 中的待證是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式,因此應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化,例 2、例 4 中的待 證是應(yīng)用原函數(shù)的單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化；第三步：構(gòu)造關(guān)于1x 或2x 的一元函數(shù)T xfx i

11、f2 ax ii1,2,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)爭論其單調(diào)性,并借助于單調(diào)性,到達(dá)待證不等式的證明五、通性通法的感悟 極值點偏移問題在高考中幾乎年年可見,深受高考命題專家的青睞,年年歲歲意相像,歲歲年 年題不同,屬于高考高頻題型對于此類問題的爭論,多位方家已經(jīng)作了探討文1從高等數(shù)學(xué)的視角闡述了問題的背景,指明并提煉出極值點偏移問題的解題策略：假設(shè)fx 的極值點為x ,那么依據(jù)對稱性構(gòu)造一元差函數(shù)F xfx 0 xf2x 0 x ,巧借 F x的單調(diào)性以及F00,借助于fx 1fx2fx 0 x 0 x 2與x2x 的大小有了這fx0 x 0 x2f2x 0 x 2,比擬x 與2x 0 x 的大小,即比擬0 x

12、 與種解題策略,我們師生就克制明白題的盲目性,細(xì)細(xì)咀嚼不得不為其巧妙的想法喝彩,但是,此解. .word.zl. .法并不利于同學(xué)思維的提升,比擬突兀,有“ 模式化的曲高和寡之嫌疑,明顯不是自然的想法,“ 想說愛你不簡單老師的自然想法卻讓同學(xué)屢屢想不到、想不通、學(xué)不會,加重其自卑感；順 應(yīng)同學(xué)的思維,才能對接同學(xué)的認(rèn)知,貼近同學(xué)“ 最近開展區(qū),化用于無痕,活用于無間,妙用 于無限,神用于無形,走有限之路,飲不竭之泉文2結(jié)合文 1的四個例題驗證了轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均的求解的可行性,提煉出極值點偏移問題的又一解題策略：依據(jù)fx 1fx 2建立等式,通過消參、恒等變形轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均,捆綁構(gòu)造函數(shù),利用對數(shù)平均不等式鏈求解這種解題策略,師生都感到運算量紛雜,有肯定的技巧要求,而且對 數(shù)平均數(shù)的不等式鏈也有超綱的嫌疑,在解答過程中存在能否直接運用的疑問 4,“ 想你,但,我不 會愛你！其實,解決極值點偏移問題的上兩種方法,實質(zhì)上都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變 量問題求解,途徑都是構(gòu)造一元函數(shù),因此,主元法才是破解極值點偏移問題的通法,親切自然,美感靈氣這一點也可以從官方答案得到印證對于官方供應(yīng)的參考答案,是命題專家經(jīng)過反復(fù)考 量的,承載著新課程改革的理念和導(dǎo)向,滲透著創(chuàng)新精神和實踐才能的培育,表達(dá)著高考改革的開 展趨向,同時也包蘊(yùn)著命題者解題的思維歷程,包蘊(yùn)著其問題的本質(zhì)我們多一