2022年中考數學綜合題專題訓練某以三角形為基礎的綜合題四某專題解析

1、- . 中考數學綜合題專題訓練 【以三角形為根底的綜合題四】專題解析1在 Rt ABC 中, ACB90 , AC5,以斜邊 AB 為底邊向外作等腰三角形 PAB,連接 PC1如圖 1,當 APB90 時,求證： PC平分 ACB；假設 PC6 2,求 BC 的長；2如圖 2,當 APB60 , PC5 2時,求 BC的長P A 圖 1 B A B P C C 圖 2 1證明：過點P 分別作 AC、BC 的垂線,垂足為E、 FE P 那么四邊形ECFP 是矩形, EPF90 APB90 , EPA FPB90APF又 PAPB, PEA PFB 90 ,PEA PFBPEPF,矩形 ECFP

2、是正方形A PC 平分 ACB解：延長CB 至 D,使 BDAC5,連接 PDC F B D 在四邊形ACBP 中, ACB APB90 PACPBC180 PBDPBC180 , PAC PBD圖 1 又 PAPB,ACBD, PAC PBDPCPD, APC BPD APCBPC90 , BPDBPC90即 CPD90 ,PCD 是等腰直角三角形CD2PC12 BCCDBD1257 2以 AC 為邊向外作等邊三角形ACD,作 DE BC 于 E,連接 DB那么 DE1 2AC5 2, CE3 2AC53 DA E P 2PAPB, APB60 ,PAB 是等邊三角形ABAP, BAP60

3、DAC, DAB CAP又 AD AC,ADB ACPEA C B 圖 2 - -.可修編 - . - 2 . BDPC5在 Rt BDE 中,由勾股定理得：5 2 25 22 3BC52 2,解得 BC5 273 AB 與直線 l：y3 4x 平行, AB2在平面直角坐標系中,點A 5,0,點 B 在第一象限,且長為 8,假設點 P 是直線 l 上的動點,求解： AB 直線 l,點 P 在直線 l 上 PAB 的面積 S PAB是定值PAB 的切圓面積的最大值y l B O A x 設 PAB 的切圓的半徑為r,那么 S1 2PA r1 2PB r1 2AB rr2S PAB PAPBABA

4、B 長為 8,是定值,當PAPB 最小時, r 最大,從而切圓面積最大作點 B 關于直線 l 的對稱點 B,連接 AB交直線 l 于點 P,連接 PB,那么 PAPB 最小l x 此時 PAPBPAPBAB點 B 和點 B關于直線 l 對稱y B直線 l 垂直平分線段BBAB 直線 l, ABBBM P B ABB是直角三角形且ABB90O N A 作 AM直線 l 于 M,作 MNOA 于 N,設 M m,3 4m- -.可修編 - . - 16 9. 那么 ONm,MN3 4m,OM5 4m由 OAM OMN,得AM OAMN OM35AM3 5OA3 5 53, BB2AM6 又 AB8

5、, AB10 r2S PABABAM8 3 8104ABABABAB3 PAB 的切圓面積的最大值是：4 2 33 ABC 中, BAC 120 ,ABAC4過點 C 作直線 l AB點 D 在線段 BC 上,點 E 在直線 l 上假設 ADE 120 ,CE1,求 DC 的長解：當點E 在點 C 上方時,如圖1 在 AC 上取點 F,使 DFDC,連接 DF BAC 120 ,ABAC, ACB B30 DFC DCF 30B A F D G C E l FDC120 , DFA 150圖 1 CE AB, ACE BAC 120 DCE150 , DFA DCE ADE FDC 120 A

6、DF EDC 120 FDE 在 ADF 和 EDC 中ADF EDC, DFDC, DFA DCE ADF EDC, AFCE1 FCACAF413 過 D 作 DGAC 于 G,那么 GC1 2FC3B F A E C l 2DCGC cos30 3 D 當點 E 在點 C 下方時圖 2 i情形 1,如圖 2 在 CA 延長線上取點F,使 DFDC,連接 DF那么 F DCF DCE30 , FDC 120 又 ADE 120 ,ADF EDC 120 ADC - -.可修編 - . - . ADF EDC, AFCE1 FCACAF415, DC53 3ii 情形 2,如圖 3 過 D

7、作 DFAC 于 F,過 E 作 EGBC于 G那么 BDF90 30 120 又 ADE 120 ,ADF EDG 120 ADB ADF EDG ,AF DFEG DGABC 和 CDA C l 設 DCx,那么 DG 3 2xB F G D 3 42x1 2x13舍去, x25339圖 3 E 23 2x解得 x15339433E疊放在一起 C3或53或5339綜上所述, DC 的長為334如圖 1 是邊長分別為43和 3 的兩個等邊三角形紙片與 C重合,固定 ABC,將 CDE繞點 C 順時針旋轉 30 得到CDE,連接 AD 、BE,CE 的延長線交 AB 于 F如圖 21探究線段

8、BE 與 AD 之間的大小關系,并證明你的結論；2將圖 2 中的 CDE 沿射線 CF 方向以每秒 1 個單位的速度平移,平移后的CDE 記為 PQR如圖 3,當點 Q 與點 F 重合時停頓平移設PQR 移動的時間為 t 秒, PQR 與 AFC 重疊局部的面積為 S,求 S與 t 之間的函數關系式,并寫出自變量 t 的取值圍；3在 2的條件下,假如對于同一個 S 的值,對應的 t 值恰好有兩個,直接寫出 t 的取值圍- B A DC B F A E D B A R C F E圖 1 C圖 2 CC P Q 圖 3 -.可修編 - . - . A 解：1BEAD證明：ABC, CDE 都是等邊

9、三角形ACBC, DCEC, DCE ACB 60 B F PR C BCE 30 , ACE 30 Q ACD 30 ,ACD BCE ACD BCE, BEAD2當點 R 恰好落在 AC 上時如圖1 ACF 30 ,RPQ 60 ,PRC90圖 1 PC2PR6,QC633 又 CFBCcos30 433 26 P F A C R PCCF,此時點 P 與點 F 重合Q 所需時間 t13 13秒當點 R 恰好落在 AB 上時如圖2B 所需時間 t263 2 19 2秒圖 2 當點 Q 與點 F 重合時,所需時間t36 16秒A 此時點 P 與點 F 重合,所需時間為3 秒當 0t3 時如圖

10、 3設 PR、RQ 分別交 AC 于 M、N ACF 30 ,PQR 60 ,QNC30B P F M R C QNQC, RNM QNC 30 N RMN 90 ,RNRQNQ RQQC3tP RM1 23t, MN3 2 3t 圖 3 Q S RMN1 2MN RM3 8 3t2 B A C G R 而 S PQR1 2 3 33 2943F SS PQRS RMN9433 2 8 3tQ 即 y 3 2 8t33 4t983圖 4 - -.可修編 - . - . C 當 3 t9 2時如圖 4R A 設 PR交 AB 于 G,那么 PFt3,GF3t3 SS PQRS PFG9433 2

11、 2 t3即 y 3 2t 233t943P H 當9 2t6 時如圖 5F Q 設 RQ 交 AB 于 H,那么 FQ 6t, HQ36t B SS FQH3 22 6t圖 5 30t9 2且 t 3 m 得到線段 AD5在等腰ABC 中, ABAC,邊 AB 繞點 A 逆時針旋轉角度1如圖 1,假設 BAC 30 , 30 m 180 ,連接 BD,請用含 m 的式子表示 DBC的度數；2如圖 2,假設 BAC 60 , 0 m360 ,連接 BD、DC,直接寫出BDC 為等腰三角形時 m 全部可能的取值_ ；B 3如圖 3,假設 BAC90 ,射線 AD 與直線 BC 相交于點 E,是否

12、存在旋轉角度m,使AE BE2,假設存在,求出全部符合條件的m 的值；假設不存在,請說明理由C A A A D D B E D B C 圖 3 圖 2 解：1 AB AD, BADm圖 1 ABD ADB 90 1 2m- -.可修編 - . - . ABAC, BAC 30 ,ABC ACB75 DBC ABC ABD7590 1 2m D 即 DBC1 2m15230 、 120 、 210 、 300分四種情形,如下圖A A A D B C D B A C E B C B D C m 的值, m30 或 m3303存在兩個符合條件的如圖 1,當點 E 在線段 BC 上時,作 EFAB 于

13、 F在 ABC 中, BAC90 , ABAC, ABC45在 Rt BEF 中, FBE45 , BE2EFE B F F A D C A C 在 Rt AEF 中,AE BE2, AE2BE2EF E D sinmEF AE1 2, m30圖 1 B 如圖 2,當點 E 在 CB延長線上時,作EFAB 于 F那么 BE2EF AE BE2, AE2BE2EF sinEAFEF AE1 2, EAF30圖 2 m3306如圖,在ABC 中, BAC 90 ,ABAC 6,D 為 BC 的中點1假設 E、 F 分別是 AB、AC 上的點,且 AECF,求證：AED CFD；2當點 F、E 分別

14、從 C、A 兩點同時動身,以每秒 1 個單位長度的速度沿 CA、AB 運動,到點 A、B 時停頓；設FED 的面積為 y,F 點運動的時間為 x,求 y 與 x 的函數關系式；- -.可修編 - . - F、E 分別沿 CA、AB 的延長線連續(xù)運動,求此時. 3在 2的條件下,點y 與 x 的函數關系式F A A E F B D C E B D C 圖 1 圖 2 1證明： BAC 90 ,ABAC6,D 為 BC 的中點 BAD DAC B C 45 AD BDDCAECF, AED CFD2解：依題意有：FCAEx AED CFD S 四邊形 AEDF S AEDS ADFS CFDS A

15、DFS ADC 9 S EDFS四邊形 AEDFS AEF91 26xx1 22x3x9 y1 2x 23x9 3依題意有： AFBEx6,AD DB, ABD DAC 45 DAF DBE 135 ADF BDE, S ADFS BDE1 1 2S EDFS EAFS ADB2x6x 92x3x9 1 2y2x3x9 7如圖 1,過ABC 的頂點 A 作高 AD,將點 A 折疊到點 D如圖 2,這時 EF 為折痕,且 BED 和 CFD 都是等腰三角形,再將BED 和 CFD 沿它們各自的對稱軸 EH、FG折疊,使 B、C 兩點都與點 D 重合,得到一個矩形 EFGH 如圖 3,我們稱矩形

16、EFGH 為 ABC 的邊 BC 上的折合矩形1假設ABC 的面積為 6,那么折合矩形 EFGH 的面積為 _；2如圖 4, ABC,在圖 4 中畫出ABC 的邊 BC 上的折合矩形 EFGH；3假如ABC 的邊 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形,且 BC2a,那么, BC 邊上的高 AD _,正方形 EFGH 的對角線長為 _- -.可修編 - . B - C B E D AF C E F . B A C A D H D G 圖 4 圖 1 圖 2 圖 3 13 2作出的折合矩形 EFGH 為網格正方形A E F B H G C 32a,2a8如圖,在ABC 中,點 D、E 分別在邊

17、BC、AC 上,連接 AD、DE,且 1 B C1由題設條件,請寫出三個正確 結論；要求：不再添加其它字母和幫助線,找結論過程中添加的字母或幫助線不能顯現在結論中,不必證明A 答：結論一： _ ；結論二： _ ；結論三： _ D 不B D 1 E C 2假設 B45 , BC2,當點 D 在 BC 上運動時點與點 B、C 重合,求 CE 的最大值；假設ADE 是等腰三角形,求此時 BD 的長A 留意：在第2小題求解過程中,假設有運用1中得出的結論,須加以證明B C 備用圖1如： ABAC； BAD CDE； ADB DEC； ADC AED ； ABD DCE； ADE ACD；AB DCAD

18、 DEBD CE；AE ADAD ACDE CD；等2 B C45 , AB AC, BAC90BC2, AB AC2 B D 1 A E C 解法一：1EDC BDAB, 1B-.可修編 - . EDC DAB, ABD DCE - BD CE- . AB DC,即 BD DCCE AB設 BDx,CEy,那么 DC2x2 2 2有 x2x2y,即 y 2x 22x 2 x1 222 220,當 x1 時, y 最大值 22CE 的最大值為2解法二：1C, DAE CAD, ADE ACDAD ACAEAD, AD 2AE ACACCE AC22CE 2 2CE22AD當 AD 最小時, C

19、E 最大由垂線段最短,可知 AD BCABAC, D 為 BC 的中點 BAC90 , AD 1 2BC1 2 1 2CE22 2 122即 CE 的最大值為2 2分三種情形加以爭論：1當 AEDE 時,那么 DAE 1 45 BAC90 , AD 平分 BACABAC, D 為 BC 的中點BD1 2BC1 2當 AD DE 時解法一：1EDC BDAB, EDC DAB又 B C, ABD DCEABDC2, BDBCDC 22 -.可修編 - . - - . 解法二：1C, DAE CAD ADE ACD當 AD DE 時, DC AC2 BDBCDC22 2當 AD AE 時,那么 A

20、ED 1 45 ,DAE 90此時點 D 與 B 重合,與題意不符,應舍去綜上所述,假設ADE 是等腰三角形,那么 BD 的長為 1 或 22 91如圖,在 Rt ABC 中, ABC 90 ,BDAC 于點 D求證： AB 2 AD AC；2如圖,在 Rt ABC 中, ABC 90 ,點 D 為 BC 邊上的點, BEAD 于點 E,延長AB BD AFBE 交 AC 于點 F假設 BCDC1,求 FC的值；3在 Rt ABC 中, ABC 90 ,點 D 為直線 BC 上的動點點 D 不與 B、C 重合,AB BD AF直線 BEAD 于點 E,交直線 AC 于點 F假設 BCDCn,請

21、探究并直接寫出 FC的全部可能的值用含 n 的式子表示,不必證明B B D 1證明：如圖,BDAC, ABC 90 ,ADB ABC 又 A=A,ADB ABC E A 圖B C A ABACAD D AB, ABC A 2AD AC圖F C D 2解：方法一：如圖,過點C 作 CGAD 交 AD 的延長線于點G BEAD , CGD BED 90 ,CG BF又AB BCBD DC1, ABBC2BD2DC, BDDC又 BDE CDG , BDE CDG ED GD 1 2EG A B F D G C 由 1可知： AB2AE AD ,BD2DE ADE AE DEAB22 2BD 2 4

22、, AE4DE BD2BDAE EG4DE 2DE 2 圖- -.可修編 - . - A . B F D C 又 CG BF,AF FCAE EG2 方法二：如圖,過點D 作 DG BF 交 AC 于點 GAB BCBD DC1,ABBC,BDDC1 2BCDG BF,FC FGBC BD2, FC2FG由 1可知： AB2AEAD ,BD2DEADE AE EDAB22 BC24 BD2圖G BD又 DG BF,AF FGAE ED 4 AF FCAF 2FG2 3當點 D 在 BC 邊上時,AF FC的值為 n2n當點 D 在 BC 延長線上時,AF FC的值為 n2n當點 D 在 CB

23、延長線上時,AF FC的值為 nn210某數學愛好小組開展了一次活動,過程如下：如圖 1,在等腰直角ABC 中, ABAC, BAC90 ,小敏將一塊三角板中含 45 角的頂點放在點 A 上,從 AB 邊開場繞點 A 逆時針旋轉一個角 ,其中三角板斜邊所在的直線交直線 BC 于點 D,直角邊所在的直線交直線 BC 于點 E1小敏在線段 BC 上取一點 M,連接 AM,旋轉中發(fā)覺：假設 AD 平分 BAM,那么 AE也平分 MAC請你證明小敏發(fā)覺的結論；2當 0 45 時,小敏在旋轉中仍發(fā)覺線段BD、CE、DE 之間存在如下等量關系：BD2 2CEDE2同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進

24、展解決：小穎的方法：將ABD 沿 AD 所在的直線對折得到ADF,連接 EF如圖 2；小亮的方法：將ABD 繞點 A 逆時針旋轉90 得到ACG,連接 EG如圖 3請你從中任選一種方法進展證明；3小敏連續(xù)旋轉三角板,在探究中得出： 當 45 135 且 90 時,等量關系2 BD2 BDA CE 2DE2 仍舊成立現請你連續(xù)探究：當135 180 時如圖4,等量關系CE 2DE2是否仍舊成立？假設成立,給出證明；假設不成立,說明理由A A G - B D M 圖 1 E C B D F E C B D -.可修編 - . E C 圖 2 圖 3 - . A B C 圖 4 證明：1 BAC90

25、 , DAE 45A BAD EAC 9045 45 , DAM MAE 45AD 平分 BAM, BAD DAM MAE EAC, AE 平分 MACB D M 圖 1 E C 2法一小穎的方法：將ABD 沿 AD 對折得到AFD,連接 EF如圖 2由對折可得：BAD FAD, DFA B45 , DFDB由 1的結論可得：FAE CAEA AFAB,ABAC, AF ACAEAE, AEF AEC AFE C45 , EFEC DFE4545 90DE2B D F E C E G 在 Rt DEF 中, DF2 2EF即 BD2CE 2 DE2圖 2 法二小亮的方法：將ABD 繞點 A 逆

26、時針旋轉90 得到ACG,連接 EG如圖 3由旋轉可得：GAC DAB, ACG B45 , CGBD,AGADA BAD EAC 45 , GAC EAC45 GAE DAE 45AEAE, AGE ADEGEDE , ECG4545 90B D C 在 Rt ECG 中, CG 2CE 2GE2即 BD2CE 2 DE2圖 3 3等量關系BD2CE 2DE2 仍舊成立法一：將ABD 沿 AD 對折得到AFD,連接 EF如圖 41那么 BDFD,AFABAC, AFD ABD18045 135- F -.可修編 - . A 45- . FAD BAD, DAE45 EAF FAD 45 ,

27、EAC90 EAF EACAEAE, AFE ACEEFEC, AFE C45 DFE13545 902在 Rt DEF 中, DF2 2EFDE即 BD2CE 2 DE2 BAD 45 BAD 45法二：將ABD 繞點 A 逆時針旋轉 90 得到ACG,連接 EG如圖 42那么 BDCG,AD AG, ACG ABD18045 135DAG 90 , DAE45 DAE45 , GAE9045A 45 DAE GAEAEAE, ADE AGE, GEDE ECG13545 90A、C 在 Rt ECG 中, CG 2CE 2GE2D B E 即 BD2CE 2 DE2G 圖 42 11模擬如

28、圖,在ABC 中, ABAC5,BC6,點 D 為 AB 邊上的一動點不與B 重合,過 D 作 DE BC,交 AC 于點 E把 ADE 沿直線 DE 折疊, 點 A 落在點 A處,連接 BA設 AD x, ADE 的邊 DE 上的高為 y1求 y 與 x 的函數關系式；2當 x 取何值時,以點A、B、 D 為頂點的三角形與ABC 相像；A 3當 x 取何值時,ADB 是直角三角形？4當 x 取何值時,ADB 是等腰三角形？A D E A- B C B -.可修編 - . C 備用圖- 1 2BC6 . 解：1過 A 作 AMBC于 M,交 DE 于 N,那么 BMDE BC, ANDE,即

29、y ANEAEB D A E C 在 Rt ABM 中, AM523 24 N DE BC, ADE ABCAAD ABAN AM,x 5yM 4y4 5x0 x52 A DE 由 ADE 折疊得到, ADAD ,A由 1可得ADE 是等腰三角形,即AD AEAD ADAEAE,四邊形ADA E 是菱形DA AC, BDA BACABAC5,BC6, BAC ABC, BAC C BDA ABC, BDA CB AM 上A E 有且只有當BDAD 時, DBA ABC5x x, x5 23 BDA A 90 ,D 不行能為直角頂點假設 BAD 90 四邊形 ADAE 是菱形,點A必在 DE 垂

30、直平分線上,即直線ANAN y4 5x,AM4, AM|4 8 5x| 在 Rt ABM 中, A B2AM2BM2 48 5x23 2在 Rt ABD 中, AB 2AD2BD2x 25x 2- D -.可修編 - . N M C - . 8 3545x 23 2x 25x 2,解得 x0舍去或 x32假設 ABD 90 解法一： AMB 90 , BAM ABMBABM BA3 15ABAM,54, BA4在 Rt ABD 中, A D 2A B 2BD 215 2 125x 2 4 5x 2,解得 x328解法二：由知,AM |4 5x| 在 Rt ABM 中, AB 2AM 2BM 2

31、 485x 23 2在 Rt ABD 中, AB 2ADBD 2x5x 2 2 28 2 2 12545x3 2x5x 2,解得 x5舍去或 x3235 125綜上,當 x32或 x32時, ADB 是直角三角形54假設 BD AD ,由 2知, x2假設 BDBA,那么 BD 2AB 28 705x 2 45x 23 2,解得 x0舍去或 x39假設 ADA B,那么 AD 2AB 28 125x 245x 23 2,解得 x5舍去或 x3912模擬如圖,在 Rt ABC 中, ACB90 , AC8,BC6,點 D 是射線 CA 上的- -.可修編 - . - C、 A 重合, DE直線

32、AB 于 E 點,點 F 是 BD 的中點,過點. 一個動點不與F 作 FG直線 AB 于 G 點,連接 EF,設 AD x1假設點 D 在 AC 邊上,求 FG 的長用含 x 的式子表示 ；假設點 D 在射線 CA 上, BEF 的面積為 S,求 S 與 x 的函數關系式,并寫出 x 的取值圍2假設點 D 在 AC 邊上,點 P 是 AB 邊上的一個動點,DP 與 EF 相交于 O 點,當 DPFP 的值最小時,推測DO 與 PO 之間的數量關系,并加以證明A C B C D F A E G B 備用圖解：1 ACB90 , AC 8,BC6,ABAC2BC 2826 210 A A D C

33、 C B B sinABC AB6 103 5,cosAAC AB8 1045 AED 90 ,ADx, DE AD sinA3 5xF DE AB,FGAB, FG DEE G 又 F 是 BD 的中點, FG1 2DE3 10 x圖 1 在 Rt ADE 中, DE3 5x,AEAD cosA4 5xi當點 D 在 AC 邊上時,如圖1 E G BEABAE104 5x S1 2BE FG1 2104 5x3 10 x3 25x 23 2x 0 x8ii 當點 D 在 CA 延長線上時,如圖2 F D BEABAE104 5x圖 2 S1 2BE FG1 2104 5x3 10 x3 22

34、5x3 2x x0-.可修編 - . - - . 2推測： DO 3PO證明：作點D 關于 AB 的對稱點 D,連接 DF 交 AB 于點 P,如圖 3 O H C B 那么 DPFP 的值最小D F 由 1知 FG1 2DE1 2D E,即 DE2FGA E P G 由 DPE FPG,得 EP 2PG2 3EGD圖 3 過 P 作 PHAB 交 EF 于 H,那么 PH2 3FG1 3DE由 DOE POH,得 DO3PO13模擬如圖,在 Rt ABC 中, A 90 , AB 6,AC8,點 D、E 分別是邊 AB、AC 上的動點將ABC 沿 DE 折疊,使點 A 落在 BC邊上的點 F

35、 處1當 DE BC 時,判定以 DE 為直徑的圓與 BC 的位置關系,并說明理由；2當 DEF 為等腰三角形時,求 AD 的長；3假設以 D、E、F 為頂點的三角形與ABC 相像,求 AD 的長；4隨著點 D、E 的移動,點F 位置也在不斷變化,當點D 從點 B 開場移動,至點E 與點C 重合,直接寫出這一過程中點F 移動的路徑的長A C A D E B 備用圖B F C 解：1連接 AF 交 DE 于 G,那么 AFDE ,AGFG1 2AF在 Rt ABC 中, A90 , AB6,AC8, BC 10 DE BC, AF BC, ADE ABC12 55B D A C 得 DE1 2B

36、C 5, GF5G E 2S ABC1 2BC AF1 2AB ACF AFABAC6 8 1024 5, GF1 2AFBC2-.可修編 - . - - BC 相交. 以 DE 為直徑的圓與2 DFE DAE 90 ,當DEF 為等腰三角形時,只能DF EFB D 2 1 A E C 此時DEF 為等腰直角三角形,145F 2 145 , ADF90DF AC, BDF BAC,BD DFBAAC設 AD x,那么 DFx,BD6x6x x6 8,解得 x24 7即 AD 的長為24 73當 FDE ABC 時, FDE ABC ADE FDE , ADE ABC, DE BC由 1知,此時

37、AD 1 2AB3 B D A G E C 當 FDE ACB 時, FED ABC連接 AF 交 DE 于 G那么 AFDE ,AGFG1 2AF, DAG ADE90又 ADE FDE , BACB90F DAG B, AFBF同理 AFCF, AFBFCF1 2BC5 D A E AG1 2AF52由 ADG BCA,得AD AGBCBA得AD10 6, AD2556244 提示：當點D 與點 B 重合時, BF1BA6 B F2 F1 C CF11064當點 E 與點 C 重合時, CF2CA 8 - -.可修編 - . - . 點 F 移動的路徑的長為 F1F2CF2CF1844 1

38、4模擬如圖,ABC 中, ABAC10, BC12,P 是邊 AB 上的一個動點,過點 P作 PDAB 交 BC 相于點 D,以點 D 為正方形的一個頂點,在中 D、E 在邊 BC 上, F 在邊 AC 上ABC 作正方形 DEFG ,其1設 BP 的長為 x,正方形 DEFG 的邊長為 y,求 y 關于 x 的函數關系式,并確定函數的 定義域；2當 P、G、F 三點共線時,求 BP的長；3P、D、G 三點能否構成等腰三角形？假設能,求出BP的長；假設不能,請說明理由G A F A A P B D E C B B P B P C B 備用圖C C 備用圖解：1 ABC 中, ABAC10,BC

39、12 A F BHHC6,AHAB2BH28 G 過 A 作 AH BC 于 H,那么DBP ABHBD ABPD AHBP BH,即BD 10PD 8xD H E C 6BD5 3x,PD4 3xG A F 又四邊形DEFG 是正方形, EFBC,EFDE y由 FCE ABH,得 EC3 4yD H E 5 3xy3 4y12 B M A C y 20 21x487當點 G 落在邊 AB 上,易知AGF ABC得y 128y 8,即 y24H 5- -.可修編 - . 20 21x- 54. 48 724 5,解得 x25過 C 作 CMAB 于 M由 CBM ABC,得 BM36 5B

40、P A F C 54 25x36G 52當 P、G、F 三點共線時,連接PGH D E 那么 PG BD, PGD90 AHB DPG BDP 90 BAH PDG ABH ,得 PG4 3y72B P G A F C 由 APF ABC,得4 3yy128y 8,即 y23 20 21x48 772 23,解得 x90P D A E 23即 BP 的長為90 23G F 3假設 PDGD那么4 3x 20 21x48 7,解得 x3 假設 PDPG,那么 PDG PGD PDGPDB 90 , BPDB90 , B C PDG PGD B C5 6PD10 9xB P D E C PDG A

41、BC,得 PD5 6yB A C 4 3x5 620 21x48 7,解得 x180G F 67假設 PGDGD E 同理可得GPD ABC,GD- -.可修編 - . - . 20 48 10 216 21x79x,解得 x6515模擬如圖,直線 l：y3x6 與 x 軸、y 軸分別相交于 A、B 兩點,點 C 的坐標為 8,0直線 l 沿 x 軸正方向平移 m 個單位 0m10得到直線 l,直線 l與 x 軸、直線BC 分別相交于點 D、E1求 sinACB 的值；2當 CDE 的面積為15 2時,求直線l的解析式；3將 CDE 沿直線 l對折得到CDE,記 CDE 與四邊形 ADEB 重

42、疊局部的面積為 S,求 S 關于 m 的函數關系式,并求當S最大時四邊形DCECy 的周長l lB E 解：1 y3x6,當 x0 時, y6 A O y l D C x lB0,6, OB6 B C8,0, OC8 BC2 68210 3A O D E C x sinACBOB BC6 1052 y3x6,當 y0 時, x 2 A 2,0, ACBC10 S ABC1 2AC OB1 10 630 2y l E l由題意知 l l, CDEN CABB - C-.可修編 - . A O D C x - . 15S CDECD 2 CA,2 CD 230 10S ABCCD5, D3,0設直

43、線 l的解析式為y3xb,把 D3,0代入,得b 9 l D E lC x 直線 l的解析式為y3x9 3由 2可知,當m5 時,點 C正好落在 AB 上當 5 m 10 時,點 C在 ABCSS CCD 2 10m 2DES CDE CA S ABC 10303 1010m2y 當 0m5 時,點 C在 ABC 外,設 CD、CE 分別交 AB 于點 F、GB ACBC 10, ABC 是等腰三角形CG 易知DAF、 EBG、 CDE 都是與CAB 相像的等腰三角形F m 2S DAFS EBG 10 S ABC3 2 10mA O S3023 10m23 1010m 26m9 210m綜上

44、可知, S 關于 m 的函數關系式如下：S6m9 10m 20m 510 3時, S 最大10 -.可修編 - . 3 1010m25m10明顯,在 5m10 圍,當 m5 時, S 最大15 2在 0m5 圍, S6m9 10m 29 10m10 2310,當 m當 m10 3時, S 最大 10 易知四邊形DCEC是菱形,所以當S最大時- - 的周長 4 10m4 1010 380. 四邊形 DCEC316模擬車輛轉彎時,能否順當通過直角彎道的標準是：車輛是否可以行駛到和路的邊界夾角是 45 的位置 如圖 1 中的位 置例如,圖 2 是某巷子的俯視圖, 巷子路面寬 4m,轉彎處為直角,車輛

45、的車身為矩形 ABCD,CD 與 DE、CE 的夾角都是 45 時,連接 EF,交 CD 于點 G,假設 GF 的長度至少能到達車身寬度,那么車輛就能通過1試說明長 8m,寬 3m 的消防車不能通過該直角轉彎；2為了能使長 8m,寬 3m 的 消防車通過該彎道,可以將轉彎處改為圓弧 MM和NN 分別是以 O 為圓心,以 OM 和 ON 為半徑的弧 ,詳細方案如圖 3,其中 OMOM,請你求出 ON 的最小值D G B E M NG B MA F C N O 圖 1 圖 2 A 圖 3 E 解：1作 FHEC 于 H,那么 FHEH4 D EF42且 GEC 45 F H GC1 2DC 4,

46、GEGC4 C GF4243,即 GF 的長度未到達車身寬度消防車不能通過該直角轉彎2假設 C、D 分別與 M、M 重合,那么OGM 為等腰直角三角形M D E C OG4,OM42 OFON OM MN 424 FG8423 C、 D 在MM上A F G N 連接 OC,設 ONx在 Rt OCG 中, OGx3,OCx4,CG4 O B M 2 由勾股定理得 x342x4 2N解得 x 4.5 即 ON 的最小值為4.5米-.可修編 - . - - . 17模擬如圖,在 Rt ABC 中, C90 ,點 O 為 AB 中點,以 O 為坐標原點, x 軸與 AC 平行,y 軸與 CB 平行,

47、建立直角坐標系, AC 與 y 軸交于點 M,BC 與 x 軸交于點 N將一把三角尺的直角頂點放在坐標原點 射線 CA、射線 BC 于點 P、Q1證明：OMP ONQ ；O 處,繞點 O 旋轉三角尺,三角尺的兩直角邊分別交2假設 A60 ,AB4,設點 P 的橫坐標為x,PQ 長為 y當點 P 在邊 AC 上運動時,B x 求 y 關于 x 的函數關系式及定義域；y 3假設 A60 , AB4,當 PQC 的面積為3 2時,求 CP 的長O Q N A M P C 1證明：由題意知POQ MON 90 PONQON 90 ,POMPON 90 QON POMON AC,OM BC,且 C 90

48、 ,OMP ONQ 90 OMP ONQA O y B x 2解：在 Rt ABC 中, C90 , A60 , AB4 AC2,BC23 Q O 是 AB 的中點,且ON AC,OM BCN OM3,ON1 M P C 那么 Px, 3, CP1x由 OMP ONQ ,得OM ONMPNQNQMP ON| x|,CQ3x3 OM3在 Rt CPQ 中,yPQCP 2CQ 21x 2x3 223x 292-.可修編 - . 33- - y23x 29 2 1x1. 即 y 關于 x 的函數關系為33當點 Q 在邊 BC 上時由 2知, CP1x,CQx33 y F B x B S PQC1 2

49、CP CQ1 21xx33O 32N 解得 x10, x2 2 CP1 或 3 P A M C 當點 Q 在 BC 延長線上時Q 易知, CP1x,CQ x33 S PQC1 2CP CQ1 21xx333D 2解得 x1 17,x2 17 x330, x 3 x 17不合題意,應舍去,x 17 CP27 綜上所述,當PQC 的面積為3 2時, CP 的長為 1 或 3 或 27 18模擬如圖,線段AB 長為 12,點 C、D 在線段 AB 上,且 ACDB2動點 P 從點C 動身沿線段CD 向點 D 移動移動到點D 停頓 ,分別以 AP、BP 為斜邊在線段AB 同側作等腰 Rt AEP 和等

50、腰 Rt BFP,連接 EF,設 APx1求線段 EF 長的最小值；AB 相切；E G 2當 x 為何值時,EPF 的外接圓與3求四邊形AEFB 的面積 y 與 x 的函數關系式；4設 EF 的中點為 G,直接寫出整個運動過程中點G 移動A C P 的路徑的長解：1作 EHAB 于 H,FK AB 于 K,EL FK 于 LAPx, PB12x2x10A E G N F B - P M -.可修編 - . L C H K D - . 1 1 1 1 1EH 2AP2x,FK 2PB212x62x1 1EL HK HPPK2AP2PB6 1 1FLFKLK FK EH 62x2x6xEF 2EL

51、 2FL 26 26x 2當 x6 時, EF 2有最小值 36 線段 EF 長的最小值是 6 12作 GM AB 于 M,那么 GM2EH FK3 可見在點 P 由點 C 向點 D 移動過程中,點 G 到 AB 的距離始終為 3,而由 1知線段 EF的長隨 x 的變化而變化,當 x6,即點 P 運動到 AB 中點時, EF62GM,而由題意可得EPF 90 , EPF 是直角三角形,所以點 G 是 EPF 外接圓的圓心,只有此時EPF的外接圓才與 AB 相切當 x 6 時, EPF 的外接圓與 AB 相切3延長 AE、BF 交于點 H易知ANB 是等腰直角三角形,四邊形PENF 是矩形S 四邊形 AEFB S ANBS ENFS ANBS EPF 1 12 62122 2x2 2 12x P 的移動,點 G 的移動路徑是一條1 4x23x36 即 y1 24x3x36 4由2知點 G 到 AB 的距離始終為3,所以隨著點平行于 AB 的線段AB12,ACDB2, AD10 點 P 在線段 CD