2022年中考數(shù)學(xué)綜合題專題訓(xùn)練某以三角形為基礎(chǔ)的綜合題四某專題解析

1、- . 中考數(shù)學(xué)綜合題專題訓(xùn)練 【以三角形為根底的綜合題四】專題解析1在 Rt ABC 中, ACB90 , AC5,以斜邊 AB 為底邊向外作等腰三角形 PAB,連接 PC1如圖 1,當(dāng) APB90 時(shí),求證： PC平分 ACB；假設(shè) PC6 2,求 BC 的長；2如圖 2,當(dāng) APB60 , PC5 2時(shí),求 BC的長P A 圖 1 B A B P C C 圖 2 1證明：過點(diǎn)P 分別作 AC、BC 的垂線,垂足為E、 FE P 那么四邊形ECFP 是矩形, EPF90 APB90 , EPA FPB90APF又 PAPB, PEA PFB 90 ,PEA PFBPEPF,矩形 ECFP

2、是正方形A PC 平分 ACB解：延長CB 至 D,使 BDAC5,連接 PDC F B D 在四邊形ACBP 中, ACB APB90 PACPBC180 PBDPBC180 , PAC PBD圖 1 又 PAPB,ACBD, PAC PBDPCPD, APC BPD APCBPC90 , BPDBPC90即 CPD90 ,PCD 是等腰直角三角形CD2PC12 BCCDBD1257 2以 AC 為邊向外作等邊三角形ACD,作 DE BC 于 E,連接 DB那么 DE1 2AC5 2, CE3 2AC53 DA E P 2PAPB, APB60 ,PAB 是等邊三角形ABAP, BAP60

3、DAC, DAB CAP又 AD AC,ADB ACPEA C B 圖 2 - -.可修編 - . - 2 . BDPC5在 Rt BDE 中,由勾股定理得：5 2 25 22 3BC52 2,解得 BC5 273 AB 與直線 l：y3 4x 平行, AB2在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A 5,0,點(diǎn) B 在第一象限,且長為 8,假設(shè)點(diǎn) P 是直線 l 上的動(dòng)點(diǎn),求解： AB 直線 l,點(diǎn) P 在直線 l 上 PAB 的面積 S PAB是定值PAB 的切圓面積的最大值y l B O A x 設(shè) PAB 的切圓的半徑為r,那么 S1 2PA r1 2PB r1 2AB rr2S PAB PAPBABA

4、B 長為 8,是定值,當(dāng)PAPB 最小時(shí), r 最大,從而切圓面積最大作點(diǎn) B 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) B,連接 AB交直線 l 于點(diǎn) P,連接 PB,那么 PAPB 最小l x 此時(shí) PAPBPAPBAB點(diǎn) B 和點(diǎn) B關(guān)于直線 l 對(duì)稱y B直線 l 垂直平分線段BBAB 直線 l, ABBBM P B ABB是直角三角形且ABB90O N A 作 AM直線 l 于 M,作 MNOA 于 N,設(shè) M m,3 4m- -.可修編 - . - 16 9. 那么 ONm,MN3 4m,OM5 4m由 OAM OMN,得AM OAMN OM35AM3 5OA3 5 53, BB2AM6 又 AB8

5、, AB10 r2S PABABAM8 3 8104ABABABAB3 PAB 的切圓面積的最大值是：4 2 33 ABC 中, BAC 120 ,ABAC4過點(diǎn) C 作直線 l AB點(diǎn) D 在線段 BC 上,點(diǎn) E 在直線 l 上假設(shè) ADE 120 ,CE1,求 DC 的長解：當(dāng)點(diǎn)E 在點(diǎn) C 上方時(shí),如圖1 在 AC 上取點(diǎn) F,使 DFDC,連接 DF BAC 120 ,ABAC, ACB B30 DFC DCF 30B A F D G C E l FDC120 , DFA 150圖 1 CE AB, ACE BAC 120 DCE150 , DFA DCE ADE FDC 120 A

6、DF EDC 120 FDE 在 ADF 和 EDC 中ADF EDC, DFDC, DFA DCE ADF EDC, AFCE1 FCACAF413 過 D 作 DGAC 于 G,那么 GC1 2FC3B F A E C l 2DCGC cos30 3 D 當(dāng)點(diǎn) E 在點(diǎn) C 下方時(shí)圖 2 i情形 1,如圖 2 在 CA 延長線上取點(diǎn)F,使 DFDC,連接 DF那么 F DCF DCE30 , FDC 120 又 ADE 120 ,ADF EDC 120 ADC - -.可修編 - . - . ADF EDC, AFCE1 FCACAF415, DC53 3ii 情形 2,如圖 3 過 D

7、作 DFAC 于 F,過 E 作 EGBC于 G那么 BDF90 30 120 又 ADE 120 ,ADF EDG 120 ADB ADF EDG ,AF DFEG DGABC 和 CDA C l 設(shè) DCx,那么 DG 3 2xB F G D 3 42x1 2x13舍去, x25339圖 3 E 23 2x解得 x15339433E疊放在一起 C3或53或5339綜上所述, DC 的長為334如圖 1 是邊長分別為43和 3 的兩個(gè)等邊三角形紙片與 C重合,固定 ABC,將 CDE繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30 得到CDE,連接 AD 、BE,CE 的延長線交 AB 于 F如圖 21探究線段

8、BE 與 AD 之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論；2將圖 2 中的 CDE 沿射線 CF 方向以每秒 1 個(gè)單位的速度平移,平移后的CDE 記為 PQR如圖 3,當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn) F 重合時(shí)停頓平移設(shè)PQR 移動(dòng)的時(shí)間為 t 秒, PQR 與 AFC 重疊局部的面積為 S,求 S與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量 t 的取值圍；3在 2的條件下,假如對(duì)于同一個(gè) S 的值,對(duì)應(yīng)的 t 值恰好有兩個(gè),直接寫出 t 的取值圍- B A DC B F A E D B A R C F E圖 1 C圖 2 CC P Q 圖 3 -.可修編 - . - . A 解：1BEAD證明：ABC, CDE 都是等邊

9、三角形ACBC, DCEC, DCE ACB 60 B F PR C BCE 30 , ACE 30 Q ACD 30 ,ACD BCE ACD BCE, BEAD2當(dāng)點(diǎn) R 恰好落在 AC 上時(shí)如圖1 ACF 30 ,RPQ 60 ,PRC90圖 1 PC2PR6,QC633 又 CFBCcos30 433 26 P F A C R PCCF,此時(shí)點(diǎn) P 與點(diǎn) F 重合Q 所需時(shí)間 t13 13秒當(dāng)點(diǎn) R 恰好落在 AB 上時(shí)如圖2B 所需時(shí)間 t263 2 19 2秒圖 2 當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn) F 重合時(shí),所需時(shí)間t36 16秒A 此時(shí)點(diǎn) P 與點(diǎn) F 重合,所需時(shí)間為3 秒當(dāng) 0t3 時(shí)如圖

10、 3設(shè) PR、RQ 分別交 AC 于 M、N ACF 30 ,PQR 60 ,QNC30B P F M R C QNQC, RNM QNC 30 N RMN 90 ,RNRQNQ RQQC3tP RM1 23t, MN3 2 3t 圖 3 Q S RMN1 2MN RM3 8 3t2 B A C G R 而 S PQR1 2 3 33 2943F SS PQRS RMN9433 2 8 3tQ 即 y 3 2 8t33 4t983圖 4 - -.可修編 - . - . C 當(dāng) 3 t9 2時(shí)如圖 4R A 設(shè) PR交 AB 于 G,那么 PFt3,GF3t3 SS PQRS PFG9433 2

11、 2 t3即 y 3 2t 233t943P H 當(dāng)9 2t6 時(shí)如圖 5F Q 設(shè) RQ 交 AB 于 H,那么 FQ 6t, HQ36t B SS FQH3 22 6t圖 5 30t9 2且 t 3 m 得到線段 AD5在等腰ABC 中, ABAC,邊 AB 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度1如圖 1,假設(shè) BAC 30 , 30 m 180 ,連接 BD,請用含 m 的式子表示 DBC的度數(shù)；2如圖 2,假設(shè) BAC 60 , 0 m360 ,連接 BD、DC,直接寫出BDC 為等腰三角形時(shí) m 全部可能的取值_ ；B 3如圖 3,假設(shè) BAC90 ,射線 AD 與直線 BC 相交于點(diǎn) E,是否

12、存在旋轉(zhuǎn)角度m,使AE BE2,假設(shè)存在,求出全部符合條件的m 的值；假設(shè)不存在,請說明理由C A A A D D B E D B C 圖 3 圖 2 解：1 AB AD, BADm圖 1 ABD ADB 90 1 2m- -.可修編 - . - . ABAC, BAC 30 ,ABC ACB75 DBC ABC ABD7590 1 2m D 即 DBC1 2m15230 、 120 、 210 、 300分四種情形,如下圖A A A D B C D B A C E B C B D C m 的值, m30 或 m3303存在兩個(gè)符合條件的如圖 1,當(dāng)點(diǎn) E 在線段 BC 上時(shí),作 EFAB 于

13、 F在 ABC 中, BAC90 , ABAC, ABC45在 Rt BEF 中, FBE45 , BE2EFE B F F A D C A C 在 Rt AEF 中,AE BE2, AE2BE2EF E D sinmEF AE1 2, m30圖 1 B 如圖 2,當(dāng)點(diǎn) E 在 CB延長線上時(shí),作EFAB 于 F那么 BE2EF AE BE2, AE2BE2EF sinEAFEF AE1 2, EAF30圖 2 m3306如圖,在ABC 中, BAC 90 ,ABAC 6,D 為 BC 的中點(diǎn)1假設(shè) E、 F 分別是 AB、AC 上的點(diǎn),且 AECF,求證：AED CFD；2當(dāng)點(diǎn) F、E 分別

14、從 C、A 兩點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身,以每秒 1 個(gè)單位長度的速度沿 CA、AB 運(yùn)動(dòng),到點(diǎn) A、B 時(shí)停頓；設(shè)FED 的面積為 y,F 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x,求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；- -.可修編 - . - F、E 分別沿 CA、AB 的延長線連續(xù)運(yùn)動(dòng),求此時(shí). 3在 2的條件下,點(diǎn)y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式F A A E F B D C E B D C 圖 1 圖 2 1證明： BAC 90 ,ABAC6,D 為 BC 的中點(diǎn) BAD DAC B C 45 AD BDDCAECF, AED CFD2解：依題意有：FCAEx AED CFD S 四邊形 AEDF S AEDS ADFS CFDS A

15、DFS ADC 9 S EDFS四邊形 AEDFS AEF91 26xx1 22x3x9 y1 2x 23x9 3依題意有： AFBEx6,AD DB, ABD DAC 45 DAF DBE 135 ADF BDE, S ADFS BDE1 1 2S EDFS EAFS ADB2x6x 92x3x9 1 2y2x3x9 7如圖 1,過ABC 的頂點(diǎn) A 作高 AD,將點(diǎn) A 折疊到點(diǎn) D如圖 2,這時(shí) EF 為折痕,且 BED 和 CFD 都是等腰三角形,再將BED 和 CFD 沿它們各自的對(duì)稱軸 EH、FG折疊,使 B、C 兩點(diǎn)都與點(diǎn) D 重合,得到一個(gè)矩形 EFGH 如圖 3,我們稱矩形

16、EFGH 為 ABC 的邊 BC 上的折合矩形1假設(shè)ABC 的面積為 6,那么折合矩形 EFGH 的面積為 _；2如圖 4, ABC,在圖 4 中畫出ABC 的邊 BC 上的折合矩形 EFGH；3假如ABC 的邊 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形,且 BC2a,那么, BC 邊上的高 AD _,正方形 EFGH 的對(duì)角線長為 _- -.可修編 - . B - C B E D AF C E F . B A C A D H D G 圖 4 圖 1 圖 2 圖 3 13 2作出的折合矩形 EFGH 為網(wǎng)格正方形A E F B H G C 32a,2a8如圖,在ABC 中,點(diǎn) D、E 分別在邊

17、BC、AC 上,連接 AD、DE,且 1 B C1由題設(shè)條件,請寫出三個(gè)正確 結(jié)論；要求：不再添加其它字母和幫助線,找結(jié)論過程中添加的字母或幫助線不能顯現(xiàn)在結(jié)論中,不必證明A 答：結(jié)論一： _ ；結(jié)論二： _ ；結(jié)論三： _ D 不B D 1 E C 2假設(shè) B45 , BC2,當(dāng)點(diǎn) D 在 BC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)與點(diǎn) B、C 重合,求 CE 的最大值；假設(shè)ADE 是等腰三角形,求此時(shí) BD 的長A 留意：在第2小題求解過程中,假設(shè)有運(yùn)用1中得出的結(jié)論,須加以證明B C 備用圖1如： ABAC； BAD CDE； ADB DEC； ADC AED ； ABD DCE； ADE ACD；AB DCAD

18、 DEBD CE；AE ADAD ACDE CD；等2 B C45 , AB AC, BAC90BC2, AB AC2 B D 1 A E C 解法一：1EDC BDAB, 1B-.可修編 - . EDC DAB, ABD DCE - BD CE- . AB DC,即 BD DCCE AB設(shè) BDx,CEy,那么 DC2x2 2 2有 x2x2y,即 y 2x 22x 2 x1 222 220,當(dāng) x1 時(shí), y 最大值 22CE 的最大值為2解法二：1C, DAE CAD, ADE ACDAD ACAEAD, AD 2AE ACACCE AC22CE 2 2CE22AD當(dāng) AD 最小時(shí), C

19、E 最大由垂線段最短,可知 AD BCABAC, D 為 BC 的中點(diǎn) BAC90 , AD 1 2BC1 2 1 2CE22 2 122即 CE 的最大值為2 2分三種情形加以爭論：1當(dāng) AEDE 時(shí),那么 DAE 1 45 BAC90 , AD 平分 BACABAC, D 為 BC 的中點(diǎn)BD1 2BC1 2當(dāng) AD DE 時(shí)解法一：1EDC BDAB, EDC DAB又 B C, ABD DCEABDC2, BDBCDC 22 -.可修編 - . - - . 解法二：1C, DAE CAD ADE ACD當(dāng) AD DE 時(shí), DC AC2 BDBCDC22 2當(dāng) AD AE 時(shí),那么 A

20、ED 1 45 ,DAE 90此時(shí)點(diǎn) D 與 B 重合,與題意不符,應(yīng)舍去綜上所述,假設(shè)ADE 是等腰三角形,那么 BD 的長為 1 或 22 91如圖,在 Rt ABC 中, ABC 90 ,BDAC 于點(diǎn) D求證： AB 2 AD AC；2如圖,在 Rt ABC 中, ABC 90 ,點(diǎn) D 為 BC 邊上的點(diǎn), BEAD 于點(diǎn) E,延長AB BD AFBE 交 AC 于點(diǎn) F假設(shè) BCDC1,求 FC的值；3在 Rt ABC 中, ABC 90 ,點(diǎn) D 為直線 BC 上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn) D 不與 B、C 重合,AB BD AF直線 BEAD 于點(diǎn) E,交直線 AC 于點(diǎn) F假設(shè) BCDCn,請

21、探究并直接寫出 FC的全部可能的值用含 n 的式子表示,不必證明B B D 1證明：如圖,BDAC, ABC 90 ,ADB ABC 又 A=A,ADB ABC E A 圖B C A ABACAD D AB, ABC A 2AD AC圖F C D 2解：方法一：如圖,過點(diǎn)C 作 CGAD 交 AD 的延長線于點(diǎn)G BEAD , CGD BED 90 ,CG BF又AB BCBD DC1, ABBC2BD2DC, BDDC又 BDE CDG , BDE CDG ED GD 1 2EG A B F D G C 由 1可知： AB2AE AD ,BD2DE ADE AE DEAB22 2BD 2 4

22、, AE4DE BD2BDAE EG4DE 2DE 2 圖- -.可修編 - . - A . B F D C 又 CG BF,AF FCAE EG2 方法二：如圖,過點(diǎn)D 作 DG BF 交 AC 于點(diǎn) GAB BCBD DC1,ABBC,BDDC1 2BCDG BF,FC FGBC BD2, FC2FG由 1可知： AB2AEAD ,BD2DEADE AE EDAB22 BC24 BD2圖G BD又 DG BF,AF FGAE ED 4 AF FCAF 2FG2 3當(dāng)點(diǎn) D 在 BC 邊上時(shí),AF FC的值為 n2n當(dāng)點(diǎn) D 在 BC 延長線上時(shí),AF FC的值為 n2n當(dāng)點(diǎn) D 在 CB

23、延長線上時(shí),AF FC的值為 nn210某數(shù)學(xué)愛好小組開展了一次活動(dòng),過程如下：如圖 1,在等腰直角ABC 中, ABAC, BAC90 ,小敏將一塊三角板中含 45 角的頂點(diǎn)放在點(diǎn) A 上,從 AB 邊開場繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角 ,其中三角板斜邊所在的直線交直線 BC 于點(diǎn) D,直角邊所在的直線交直線 BC 于點(diǎn) E1小敏在線段 BC 上取一點(diǎn) M,連接 AM,旋轉(zhuǎn)中發(fā)覺：假設(shè) AD 平分 BAM,那么 AE也平分 MAC請你證明小敏發(fā)覺的結(jié)論；2當(dāng) 0 45 時(shí),小敏在旋轉(zhuǎn)中仍發(fā)覺線段BD、CE、DE 之間存在如下等量關(guān)系：BD2 2CEDE2同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)

24、展解決：小穎的方法：將ABD 沿 AD 所在的直線對(duì)折得到ADF,連接 EF如圖 2；小亮的方法：將ABD 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得到ACG,連接 EG如圖 3請你從中任選一種方法進(jìn)展證明；3小敏連續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板,在探究中得出： 當(dāng) 45 135 且 90 時(shí),等量關(guān)系2 BD2 BDA CE 2DE2 仍舊成立現(xiàn)請你連續(xù)探究：當(dāng)135 180 時(shí)如圖4,等量關(guān)系CE 2DE2是否仍舊成立？假設(shè)成立,給出證明；假設(shè)不成立,說明理由A A G - B D M 圖 1 E C B D F E C B D -.可修編 - . E C 圖 2 圖 3 - . A B C 圖 4 證明：1 BAC90

25、 , DAE 45A BAD EAC 9045 45 , DAM MAE 45AD 平分 BAM, BAD DAM MAE EAC, AE 平分 MACB D M 圖 1 E C 2法一小穎的方法：將ABD 沿 AD 對(duì)折得到AFD,連接 EF如圖 2由對(duì)折可得：BAD FAD, DFA B45 , DFDB由 1的結(jié)論可得：FAE CAEA AFAB,ABAC, AF ACAEAE, AEF AEC AFE C45 , EFEC DFE4545 90DE2B D F E C E G 在 Rt DEF 中, DF2 2EF即 BD2CE 2 DE2圖 2 法二小亮的方法：將ABD 繞點(diǎn) A 逆

26、時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得到ACG,連接 EG如圖 3由旋轉(zhuǎn)可得：GAC DAB, ACG B45 , CGBD,AGADA BAD EAC 45 , GAC EAC45 GAE DAE 45AEAE, AGE ADEGEDE , ECG4545 90B D C 在 Rt ECG 中, CG 2CE 2GE2即 BD2CE 2 DE2圖 3 3等量關(guān)系BD2CE 2DE2 仍舊成立法一：將ABD 沿 AD 對(duì)折得到AFD,連接 EF如圖 41那么 BDFD,AFABAC, AFD ABD18045 135- F -.可修編 - . A 45- . FAD BAD, DAE45 EAF FAD 45 ,

27、EAC90 EAF EACAEAE, AFE ACEEFEC, AFE C45 DFE13545 902在 Rt DEF 中, DF2 2EFDE即 BD2CE 2 DE2 BAD 45 BAD 45法二：將ABD 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 得到ACG,連接 EG如圖 42那么 BDCG,AD AG, ACG ABD18045 135DAG 90 , DAE45 DAE45 , GAE9045A 45 DAE GAEAEAE, ADE AGE, GEDE ECG13545 90A、C 在 Rt ECG 中, CG 2CE 2GE2D B E 即 BD2CE 2 DE2G 圖 42 11模擬如

28、圖,在ABC 中, ABAC5,BC6,點(diǎn) D 為 AB 邊上的一動(dòng)點(diǎn)不與B 重合,過 D 作 DE BC,交 AC 于點(diǎn) E把 ADE 沿直線 DE 折疊, 點(diǎn) A 落在點(diǎn) A處,連接 BA設(shè) AD x, ADE 的邊 DE 上的高為 y1求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；2當(dāng) x 取何值時(shí),以點(diǎn)A、B、 D 為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相像；A 3當(dāng) x 取何值時(shí),ADB 是直角三角形？4當(dāng) x 取何值時(shí),ADB 是等腰三角形？A D E A- B C B -.可修編 - . C 備用圖- 1 2BC6 . 解：1過 A 作 AMBC于 M,交 DE 于 N,那么 BMDE BC, ANDE,即

29、y ANEAEB D A E C 在 Rt ABM 中, AM523 24 N DE BC, ADE ABCAAD ABAN AM,x 5yM 4y4 5x0 x52 A DE 由 ADE 折疊得到, ADAD ,A由 1可得ADE 是等腰三角形,即AD AEAD ADAEAE,四邊形ADA E 是菱形DA AC, BDA BACABAC5,BC6, BAC ABC, BAC C BDA ABC, BDA CB AM 上A E 有且只有當(dāng)BDAD 時(shí), DBA ABC5x x, x5 23 BDA A 90 ,D 不行能為直角頂點(diǎn)假設(shè) BAD 90 四邊形 ADAE 是菱形,點(diǎn)A必在 DE 垂

30、直平分線上,即直線ANAN y4 5x,AM4, AM|4 8 5x| 在 Rt ABM 中, A B2AM2BM2 48 5x23 2在 Rt ABD 中, AB 2AD2BD2x 25x 2- D -.可修編 - . N M C - . 8 3545x 23 2x 25x 2,解得 x0舍去或 x32假設(shè) ABD 90 解法一： AMB 90 , BAM ABMBABM BA3 15ABAM,54, BA4在 Rt ABD 中, A D 2A B 2BD 215 2 125x 2 4 5x 2,解得 x328解法二：由知,AM |4 5x| 在 Rt ABM 中, AB 2AM 2BM 2

31、 485x 23 2在 Rt ABD 中, AB 2ADBD 2x5x 2 2 28 2 2 12545x3 2x5x 2,解得 x5舍去或 x3235 125綜上,當(dāng) x32或 x32時(shí), ADB 是直角三角形54假設(shè) BD AD ,由 2知, x2假設(shè) BDBA,那么 BD 2AB 28 705x 2 45x 23 2,解得 x0舍去或 x39假設(shè) ADA B,那么 AD 2AB 28 125x 245x 23 2,解得 x5舍去或 x3912模擬如圖,在 Rt ABC 中, ACB90 , AC8,BC6,點(diǎn) D 是射線 CA 上的- -.可修編 - . - C、 A 重合, DE直線

32、AB 于 E 點(diǎn),點(diǎn) F 是 BD 的中點(diǎn),過點(diǎn). 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與F 作 FG直線 AB 于 G 點(diǎn),連接 EF,設(shè) AD x1假設(shè)點(diǎn) D 在 AC 邊上,求 FG 的長用含 x 的式子表示 ；假設(shè)點(diǎn) D 在射線 CA 上, BEF 的面積為 S,求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式,并寫出 x 的取值圍2假設(shè)點(diǎn) D 在 AC 邊上,點(diǎn) P 是 AB 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),DP 與 EF 相交于 O 點(diǎn),當(dāng) DPFP 的值最小時(shí),推測DO 與 PO 之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明A C B C D F A E G B 備用圖解：1 ACB90 , AC 8,BC6,ABAC2BC 2826 210 A A D C

33、 C B B sinABC AB6 103 5,cosAAC AB8 1045 AED 90 ,ADx, DE AD sinA3 5xF DE AB,FGAB, FG DEE G 又 F 是 BD 的中點(diǎn), FG1 2DE3 10 x圖 1 在 Rt ADE 中, DE3 5x,AEAD cosA4 5xi當(dāng)點(diǎn) D 在 AC 邊上時(shí),如圖1 E G BEABAE104 5x S1 2BE FG1 2104 5x3 10 x3 25x 23 2x 0 x8ii 當(dāng)點(diǎn) D 在 CA 延長線上時(shí),如圖2 F D BEABAE104 5x圖 2 S1 2BE FG1 2104 5x3 10 x3 22

34、5x3 2x x0-.可修編 - . - - . 2推測： DO 3PO證明：作點(diǎn)D 關(guān)于 AB 的對(duì)稱點(diǎn) D,連接 DF 交 AB 于點(diǎn) P,如圖 3 O H C B 那么 DPFP 的值最小D F 由 1知 FG1 2DE1 2D E,即 DE2FGA E P G 由 DPE FPG,得 EP 2PG2 3EGD圖 3 過 P 作 PHAB 交 EF 于 H,那么 PH2 3FG1 3DE由 DOE POH,得 DO3PO13模擬如圖,在 Rt ABC 中, A 90 , AB 6,AC8,點(diǎn) D、E 分別是邊 AB、AC 上的動(dòng)點(diǎn)將ABC 沿 DE 折疊,使點(diǎn) A 落在 BC邊上的點(diǎn) F

35、 處1當(dāng) DE BC 時(shí),判定以 DE 為直徑的圓與 BC 的位置關(guān)系,并說明理由；2當(dāng) DEF 為等腰三角形時(shí),求 AD 的長；3假設(shè)以 D、E、F 為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相像,求 AD 的長；4隨著點(diǎn) D、E 的移動(dòng),點(diǎn)F 位置也在不斷變化,當(dāng)點(diǎn)D 從點(diǎn) B 開場移動(dòng),至點(diǎn)E 與點(diǎn)C 重合,直接寫出這一過程中點(diǎn)F 移動(dòng)的路徑的長A C A D E B 備用圖B F C 解：1連接 AF 交 DE 于 G,那么 AFDE ,AGFG1 2AF在 Rt ABC 中, A90 , AB6,AC8, BC 10 DE BC, AF BC, ADE ABC12 55B D A C 得 DE1 2B

36、C 5, GF5G E 2S ABC1 2BC AF1 2AB ACF AFABAC6 8 1024 5, GF1 2AFBC2-.可修編 - . - - BC 相交. 以 DE 為直徑的圓與2 DFE DAE 90 ,當(dāng)DEF 為等腰三角形時(shí),只能DF EFB D 2 1 A E C 此時(shí)DEF 為等腰直角三角形,145F 2 145 , ADF90DF AC, BDF BAC,BD DFBAAC設(shè) AD x,那么 DFx,BD6x6x x6 8,解得 x24 7即 AD 的長為24 73當(dāng) FDE ABC 時(shí), FDE ABC ADE FDE , ADE ABC, DE BC由 1知,此時(shí)

37、AD 1 2AB3 B D A G E C 當(dāng) FDE ACB 時(shí), FED ABC連接 AF 交 DE 于 G那么 AFDE ,AGFG1 2AF, DAG ADE90又 ADE FDE , BACB90F DAG B, AFBF同理 AFCF, AFBFCF1 2BC5 D A E AG1 2AF52由 ADG BCA,得AD AGBCBA得AD10 6, AD2556244 提示：當(dāng)點(diǎn)D 與點(diǎn) B 重合時(shí), BF1BA6 B F2 F1 C CF11064當(dāng)點(diǎn) E 與點(diǎn) C 重合時(shí), CF2CA 8 - -.可修編 - . - . 點(diǎn) F 移動(dòng)的路徑的長為 F1F2CF2CF1844 1

38、4模擬如圖,ABC 中, ABAC10, BC12,P 是邊 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn) P作 PDAB 交 BC 相于點(diǎn) D,以點(diǎn) D 為正方形的一個(gè)頂點(diǎn),在中 D、E 在邊 BC 上, F 在邊 AC 上ABC 作正方形 DEFG ,其1設(shè) BP 的長為 x,正方形 DEFG 的邊長為 y,求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式,并確定函數(shù)的 定義域；2當(dāng) P、G、F 三點(diǎn)共線時(shí),求 BP的長；3P、D、G 三點(diǎn)能否構(gòu)成等腰三角形？假設(shè)能,求出BP的長；假設(shè)不能,請說明理由G A F A A P B D E C B B P B P C B 備用圖C C 備用圖解：1 ABC 中, ABAC10,BC

39、12 A F BHHC6,AHAB2BH28 G 過 A 作 AH BC 于 H,那么DBP ABHBD ABPD AHBP BH,即BD 10PD 8xD H E C 6BD5 3x,PD4 3xG A F 又四邊形DEFG 是正方形, EFBC,EFDE y由 FCE ABH,得 EC3 4yD H E 5 3xy3 4y12 B M A C y 20 21x487當(dāng)點(diǎn) G 落在邊 AB 上,易知AGF ABC得y 128y 8,即 y24H 5- -.可修編 - . 20 21x- 54. 48 724 5,解得 x25過 C 作 CMAB 于 M由 CBM ABC,得 BM36 5B

40、P A F C 54 25x36G 52當(dāng) P、G、F 三點(diǎn)共線時(shí),連接PGH D E 那么 PG BD, PGD90 AHB DPG BDP 90 BAH PDG ABH ,得 PG4 3y72B P G A F C 由 APF ABC,得4 3yy128y 8,即 y23 20 21x48 772 23,解得 x90P D A E 23即 BP 的長為90 23G F 3假設(shè) PDGD那么4 3x 20 21x48 7,解得 x3 假設(shè) PDPG,那么 PDG PGD PDGPDB 90 , BPDB90 , B C PDG PGD B C5 6PD10 9xB P D E C PDG A

41、BC,得 PD5 6yB A C 4 3x5 620 21x48 7,解得 x180G F 67假設(shè) PGDGD E 同理可得GPD ABC,GD- -.可修編 - . - . 20 48 10 216 21x79x,解得 x6515模擬如圖,直線 l：y3x6 與 x 軸、y 軸分別相交于 A、B 兩點(diǎn),點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 8,0直線 l 沿 x 軸正方向平移 m 個(gè)單位 0m10得到直線 l,直線 l與 x 軸、直線BC 分別相交于點(diǎn) D、E1求 sinACB 的值；2當(dāng) CDE 的面積為15 2時(shí),求直線l的解析式；3將 CDE 沿直線 l對(duì)折得到CDE,記 CDE 與四邊形 ADEB 重

42、疊局部的面積為 S,求 S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)S最大時(shí)四邊形DCECy 的周長l lB E 解：1 y3x6,當(dāng) x0 時(shí), y6 A O y l D C x lB0,6, OB6 B C8,0, OC8 BC2 68210 3A O D E C x sinACBOB BC6 1052 y3x6,當(dāng) y0 時(shí), x 2 A 2,0, ACBC10 S ABC1 2AC OB1 10 630 2y l E l由題意知 l l, CDEN CABB - C-.可修編 - . A O D C x - . 15S CDECD 2 CA,2 CD 230 10S ABCCD5, D3,0設(shè)直

43、線 l的解析式為y3xb,把 D3,0代入,得b 9 l D E lC x 直線 l的解析式為y3x9 3由 2可知,當(dāng)m5 時(shí),點(diǎn) C正好落在 AB 上當(dāng) 5 m 10 時(shí),點(diǎn) C在 ABCSS CCD 2 10m 2DES CDE CA S ABC 10303 1010m2y 當(dāng) 0m5 時(shí),點(diǎn) C在 ABC 外,設(shè) CD、CE 分別交 AB 于點(diǎn) F、GB ACBC 10, ABC 是等腰三角形CG 易知DAF、 EBG、 CDE 都是與CAB 相像的等腰三角形F m 2S DAFS EBG 10 S ABC3 2 10mA O S3023 10m23 1010m 26m9 210m綜上

44、可知, S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式如下：S6m9 10m 20m 510 3時(shí), S 最大10 -.可修編 - . 3 1010m25m10明顯,在 5m10 圍,當(dāng) m5 時(shí), S 最大15 2在 0m5 圍, S6m9 10m 29 10m10 2310,當(dāng) m當(dāng) m10 3時(shí), S 最大 10 易知四邊形DCEC是菱形,所以當(dāng)S最大時(shí)- - 的周長 4 10m4 1010 380. 四邊形 DCEC316模擬車輛轉(zhuǎn)彎時(shí),能否順當(dāng)通過直角彎道的標(biāo)準(zhǔn)是：車輛是否可以行駛到和路的邊界夾角是 45 的位置 如圖 1 中的位 置例如,圖 2 是某巷子的俯視圖, 巷子路面寬 4m,轉(zhuǎn)彎處為直角,車輛

45、的車身為矩形 ABCD,CD 與 DE、CE 的夾角都是 45 時(shí),連接 EF,交 CD 于點(diǎn) G,假設(shè) GF 的長度至少能到達(dá)車身寬度,那么車輛就能通過1試說明長 8m,寬 3m 的消防車不能通過該直角轉(zhuǎn)彎；2為了能使長 8m,寬 3m 的 消防車通過該彎道,可以將轉(zhuǎn)彎處改為圓弧 MM和NN 分別是以 O 為圓心,以 OM 和 ON 為半徑的弧 ,詳細(xì)方案如圖 3,其中 OMOM,請你求出 ON 的最小值D G B E M NG B MA F C N O 圖 1 圖 2 A 圖 3 E 解：1作 FHEC 于 H,那么 FHEH4 D EF42且 GEC 45 F H GC1 2DC 4,

46、GEGC4 C GF4243,即 GF 的長度未到達(dá)車身寬度消防車不能通過該直角轉(zhuǎn)彎2假設(shè) C、D 分別與 M、M 重合,那么OGM 為等腰直角三角形M D E C OG4,OM42 OFON OM MN 424 FG8423 C、 D 在MM上A F G N 連接 OC,設(shè) ONx在 Rt OCG 中, OGx3,OCx4,CG4 O B M 2 由勾股定理得 x342x4 2N解得 x 4.5 即 ON 的最小值為4.5米-.可修編 - . - - . 17模擬如圖,在 Rt ABC 中, C90 ,點(diǎn) O 為 AB 中點(diǎn),以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn), x 軸與 AC 平行,y 軸與 CB 平行,

47、建立直角坐標(biāo)系, AC 與 y 軸交于點(diǎn) M,BC 與 x 軸交于點(diǎn) N將一把三角尺的直角頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn) 射線 CA、射線 BC 于點(diǎn) P、Q1證明：OMP ONQ ；O 處,繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)三角尺,三角尺的兩直角邊分別交2假設(shè) A60 ,AB4,設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為x,PQ 長為 y當(dāng)點(diǎn) P 在邊 AC 上運(yùn)動(dòng)時(shí),B x 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式及定義域；y 3假設(shè) A60 , AB4,當(dāng) PQC 的面積為3 2時(shí),求 CP 的長O Q N A M P C 1證明：由題意知POQ MON 90 PONQON 90 ,POMPON 90 QON POMON AC,OM BC,且 C 90

48、 ,OMP ONQ 90 OMP ONQA O y B x 2解：在 Rt ABC 中, C90 , A60 , AB4 AC2,BC23 Q O 是 AB 的中點(diǎn),且ON AC,OM BCN OM3,ON1 M P C 那么 Px, 3, CP1x由 OMP ONQ ,得OM ONMPNQNQMP ON| x|,CQ3x3 OM3在 Rt CPQ 中,yPQCP 2CQ 21x 2x3 223x 292-.可修編 - . 33- - y23x 29 2 1x1. 即 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系為33當(dāng)點(diǎn) Q 在邊 BC 上時(shí)由 2知, CP1x,CQx33 y F B x B S PQC1 2

49、CP CQ1 21xx33O 32N 解得 x10, x2 2 CP1 或 3 P A M C 當(dāng)點(diǎn) Q 在 BC 延長線上時(shí)Q 易知, CP1x,CQ x33 S PQC1 2CP CQ1 21xx333D 2解得 x1 17,x2 17 x330, x 3 x 17不合題意,應(yīng)舍去,x 17 CP27 綜上所述,當(dāng)PQC 的面積為3 2時(shí), CP 的長為 1 或 3 或 27 18模擬如圖,線段AB 長為 12,點(diǎn) C、D 在線段 AB 上,且 ACDB2動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn)C 動(dòng)身沿線段CD 向點(diǎn) D 移動(dòng)移動(dòng)到點(diǎn)D 停頓 ,分別以 AP、BP 為斜邊在線段AB 同側(cè)作等腰 Rt AEP 和等

50、腰 Rt BFP,連接 EF,設(shè) APx1求線段 EF 長的最小值；AB 相切；E G 2當(dāng) x 為何值時(shí),EPF 的外接圓與3求四邊形AEFB 的面積 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；4設(shè) EF 的中點(diǎn)為 G,直接寫出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)G 移動(dòng)A C P 的路徑的長解：1作 EHAB 于 H,FK AB 于 K,EL FK 于 LAPx, PB12x2x10A E G N F B - P M -.可修編 - . L C H K D - . 1 1 1 1 1EH 2AP2x,FK 2PB212x62x1 1EL HK HPPK2AP2PB6 1 1FLFKLK FK EH 62x2x6xEF 2EL

51、 2FL 26 26x 2當(dāng) x6 時(shí), EF 2有最小值 36 線段 EF 長的最小值是 6 12作 GM AB 于 M,那么 GM2EH FK3 可見在點(diǎn) P 由點(diǎn) C 向點(diǎn) D 移動(dòng)過程中,點(diǎn) G 到 AB 的距離始終為 3,而由 1知線段 EF的長隨 x 的變化而變化,當(dāng) x6,即點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到 AB 中點(diǎn)時(shí), EF62GM,而由題意可得EPF 90 , EPF 是直角三角形,所以點(diǎn) G 是 EPF 外接圓的圓心,只有此時(shí)EPF的外接圓才與 AB 相切當(dāng) x 6 時(shí), EPF 的外接圓與 AB 相切3延長 AE、BF 交于點(diǎn) H易知ANB 是等腰直角三角形,四邊形PENF 是矩形S 四邊形 AEFB S ANBS ENFS ANBS EPF 1 12 62122 2x2 2 12x P 的移動(dòng),點(diǎn) G 的移動(dòng)路徑是一條1 4x23x36 即 y1 24x3x36 4由2知點(diǎn) G 到 AB 的距離始終為3,所以隨著點(diǎn)平行于 AB 的線段AB12,ACDB2, AD10 點(diǎn) P 在線段 CD